陳小亮，陳世嵬，黃志敏

（重慶科技學(xué)院 數(shù) 理學(xué)院，重慶 401331）

地基梁在土建、水力、橋梁、生物力學(xué)等工程領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，地基梁的力學(xué)分析多采用Winkler地基梁模型，即假定地基和地基梁之間的作用力與梁的撓度成正比例關(guān)系。文獻(xiàn)[1]提出了無拉力Winkler彈性地基深淺梁的三角級數(shù)統(tǒng)一解法；文獻(xiàn)[2]根據(jù)Winkler彈性地基梁的計(jì)算原理和方法，編制了彈性桿系有限元計(jì)算程序，獲得了支護(hù)樁樁身位移和彎矩隨開挖過程的分布變化規(guī)律；文獻(xiàn)[3]考慮了地基土的橫向剪切作用，采用兩個(gè)參數(shù)來描述彈性地基對中厚板的抗力與中厚板撓度的關(guān)系，得到了彈性地基上自由矩形中厚板問題的一般內(nèi)力表達(dá)式；文獻(xiàn)[4]采用空間桿系有限元方法建立線彈性Winkler地基上框架梁柱的有限元計(jì)算模型，對預(yù)應(yīng)力錨桿作用下的框架梁柱進(jìn)行了內(nèi)力求解；文獻(xiàn)[5]用有限差分法計(jì)算分析了梁截面參數(shù)、彈性地基參數(shù)的變化對彈性地基梁彎曲變形的影響；文獻(xiàn)[6]采用Winkler彈性地基梁理論確定了彈性地基梁的撓度方程解析通解，得到了解析型彈性地基歐拉梁單元及鐵摩辛柯梁單元?jiǎng)偠染仃?。本文從?shí)測的P-S曲線（基地壓力與沉降的關(guān)系）出發(fā)，將P-S曲線擬合成三次多項(xiàng)式函數(shù)，推導(dǎo)出非線性彈性地基梁的基本理論方程式，并用有限差分法解出它的數(shù)值解。

1 非線性地基梁模型

如圖1所示，根據(jù)平衡方程有：

圖1 地基梁微元

根據(jù)梁的小變形彎曲理論有：

式（1）中R為地基對梁的分布反力，w為梁的撓度（向下為正）。 若梁段內(nèi)沒有分布外力（q=0），則由式（1）-（3）可得：

2 非線性地基反力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合

利用文獻(xiàn)[7]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖2所示，利用Origin軟件可作出非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項(xiàng)式擬合關(guān)系：

2.07343×1012N/m4。根據(jù)Origin軟件，三次多項(xiàng)式擬合和經(jīng)典Winkler地基梁正比例關(guān)系擬合的相關(guān)系數(shù) （Adj.R-Square）分別為0.99918和0.89918，可見三次多項(xiàng)式的擬合效果較好。

圖2 地基反力-撓度擬合

3 有限差分法和算例

圖3 一端固定的地基梁

如圖3所示，考慮一端固定的地基梁在自由端受集中力F作用，長度L=20m，集中力F=105N，抗彎剛度EI=2X109Pa·m4。 將梁分成n等份，將非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項(xiàng)式擬合關(guān)系式（5）代入式（4）中可得微分方程（4）的中心差分格式為：

固定端邊界條件的中心差分格式為：

自由端邊界條件：彎矩M(x=L)=0、剪力Q(x=L)=F的中心差分格式為：

方程式（4）的有限差分法求解方程組為：

利用牛頓迭代法[8-9]和MATLAB編程數(shù)值求解上面的非線性代數(shù)方程組，可以得到非線性和線性彈性地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩，分別如圖4、圖5、圖6、圖7所示。其中對線性彈性地基梁，k1取圖2中線性擬合的比例系數(shù)，k2、k3均為零。

4 結(jié)論

在圖4中，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的撓度約在x=17.94 m處達(dá)到最大相差1.42×10-4m，相對誤差為12%。在圖5中，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的轉(zhuǎn)角約在x=12.94 m處達(dá)到最大相差3.45×10-5rad，相對誤差為30%。在圖6中，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的剪力約在x=18.7 m處達(dá)到最大相差8886N，相對誤差為22%。在圖7中，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的彎矩約在x=16.48 m處達(dá)到最大相差19741N·m，相對誤差為17%。

圖4 地基梁的撓度曲線

經(jīng)典線彈性Winkler地基梁假定地基與地基梁之間的作用力與梁的撓度成正比例關(guān)系，此時(shí)撓曲線方程有解析解，方便進(jìn)行理論分析研究。但真實(shí)地基與地基梁之間的作用力與梁的撓度可能成復(fù)雜的非線性關(guān)系，此時(shí)基于線彈性地基梁的分析誤差較大，地基梁撓度、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩的相對誤差都可能達(dá)到10%~30%。對于非線性彈性地基梁，將實(shí)驗(yàn)測量的基地壓力與沉降關(guān)系曲線擬合成非線性函數(shù)關(guān)系，再用有限差分法解出數(shù)值解是一種可行的簡便方法，此方法還可以推廣應(yīng)用于非均質(zhì)地基的情況。

圖5 地基梁的轉(zhuǎn)角曲線

圖6 地基梁內(nèi)的剪力

圖7 地基梁內(nèi)的彎矩

[1]卜小明.無拉力Winkler彈性地基深淺梁的統(tǒng)一解[J].工業(yè)建筑，1996，26（1）：28-30.

[2]張強(qiáng)勇.彈性地基梁桿系有限元法在深大基坑工程支護(hù)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2005，26（3） ：114-117.

[3]杜永峰，王曉琴.雙參數(shù)彈性地基上自由矩形中厚板問題分析嘗試[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，31（4）：104-107.

[4]周勇，朱彥鵬.基于梁柱扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的框架預(yù)應(yīng)力錨桿柔性支護(hù)結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，35（2）：116-121.

[5]樊建領(lǐng)，誠斌，侯慧敏.彈性地基上線性變截面梁的彎曲變形[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，36（4）：112-115.

[6]李瀟，王宏志，李世萍，等.解析型Winkler彈性地基梁單元構(gòu)造[J].工程力學(xué)，2015，32（3）：66-72.

[7]Frydrysek K，Michenkova S，Nikodym M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations-Part 1(theory，experiments，numerical approach） [J].Applied Mechanics and Materials，2014，684：11-20.

[8]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：233-236.

[9]Michenkova S，F(xiàn)rydrysek K，Nikodym M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations– Part 2（numerical solutions，results and evaluation)[J].Applied Mechanics and Materials，2014，684：21-29.