傅海倫等

1數(shù)學研究性學習的內(nèi)涵

研究性學習是一種重要的數(shù)學學習方式.其廣義是指學生對數(shù)學問題進行主動探究的課程或活動.狹義是指在數(shù)學教師的指導下，學生根據(jù)自己的興趣愛好，結合自己的學習和生活，自主選擇數(shù)學研究課題，以主動探究的姿態(tài)和類似科學研究的方式，探究得出自己的結論.數(shù)學研究性學習作為在數(shù)學學科背景下開展的研究性學習方式，它能為學生的數(shù)學學習和研究提供自由的探索和創(chuàng)造氛圍，也為數(shù)學的應用提供有效的實踐途徑.

2數(shù)學模型化思維的內(nèi)涵及應用背景

數(shù)學模型化思維是高中數(shù)學教學中的一種重要的思維方法，是形成數(shù)學建模過程與方法的基礎，這種思維最突出的特點是要求學生具有較強的模型識別和轉(zhuǎn)化能力，注重從現(xiàn)象到本質(zhì)，從直觀到抽象，把實際問題進行提煉，加工，轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題.再用數(shù)學知識和經(jīng)驗將數(shù)學問題解出，然后用數(shù)學問題的答案說明和解釋實際問題.

普通高中數(shù)學課程標準重視用模型化思維去培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，數(shù)學建模（Mathematical Modeling）即建立數(shù)學模型的過程，它是一種數(shù)學的思維方法，一種以數(shù)學為工具，用數(shù)學解決實際問題的方法，包括對實際問題進行抽象、簡化，建立數(shù)學模型、求解數(shù)學模型、驗證數(shù)學模型解的求解全過程[1].當下，隨著數(shù)學建模競賽非常流行和受關注，數(shù)學模型化思維已深深地滲透和蘊涵在高中數(shù)學教學和對學生的思維能力培養(yǎng)之中.加之近幾年高考數(shù)學題中數(shù)學應用問題、數(shù)學開放題越來越受到人們的關注，教師更應該自覺地、主動地培養(yǎng)學生的數(shù)學模型化思維.3高中數(shù)學模型化思維在研究性學習中應用的理性分析

3.1數(shù)學模型化是數(shù)學建模的思維形式，而數(shù)學建模本身也是一種研究性學習

一方面，數(shù)學建模是讓數(shù)學與現(xiàn)實生活之間基于數(shù)學語言和數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化建立通向問題解決之路的大道.而數(shù)學模型化是數(shù)學建模的思維形式，研究性學習所關注的實際問題無法直接用數(shù)學方法解決，因為實際問題需要先被抽象為可以解決的數(shù)學問題，數(shù)學模型化思維的作用正是如此.另一方面，數(shù)學建模本身也是一種研究性學習，因為它強調(diào)學生對問題自主探究，學生通過分析和理解實際問題或預先設計的問題情境，把握問題中的核心內(nèi)涵并建立數(shù)學模型，這個過程伴隨著學生對數(shù)學知識的運用和學生問題意識的培養(yǎng)，這也正是研究性學習所提倡的.

3.2數(shù)學模型化思維具有開放性與發(fā)展性，促使研究性學習在實踐中得到拓展

數(shù)學模型化思維與研究性學習的結合讓學生突破了以教室、教師、教材為中心的傳統(tǒng)教學觀念.由于研究性學習讓學生走出課堂，面對現(xiàn)實社會，學習環(huán)境是開放、多元的，而數(shù)學模型化思維的開放性和發(fā)展性正是讓開放的現(xiàn)實生活與數(shù)學建立聯(lián)系.運用數(shù)學模型化思維的目的是讓學生學會利用自己的數(shù)學知識和數(shù)學經(jīng)驗去解決現(xiàn)實生活中的實際問題.整個過程培養(yǎng)了學生的問題意識，分析問題、解決問題的能力，更重要的是培養(yǎng)了創(chuàng)新能力[2].

3.3數(shù)學模型化思維應用于研究性學習，可以形成研究數(shù)學問題的一種新模式

將數(shù)學模型化思維應用于研究性學習，可以表征為：抽象—符號—應用的基本模式.學生在探索、獲得數(shù)學模型的過程中，不僅應用了所學的數(shù)學知識，也同時獲得了構建數(shù)學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，這對于學生的思維發(fā)展來說，其意義遠大于僅僅獲得數(shù)學知識本身.通過這種研究數(shù)學問題的模式的訓練，可以培養(yǎng)學生的提出問題、分析問題以及運算求解和驗證推廣能力，讓學生體會數(shù)學家的研究過程、創(chuàng)造的激情，有助于培養(yǎng)學生敢于質(zhì)疑、勤于反思的思想和習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和不畏艱難的科學精神[3].4高中數(shù)學模型化思維在研究性學習的應用的一般程序

4.1知識背景準備階段

首先讓學生明確進行研究性學習的目標、操作步驟和方法，以及本次學習活動的意義.教師開始對整個研究性學習過程做全程監(jiān)控.

4.2選題階段

學生根據(jù)自己的興趣愛好，社會熱點等從現(xiàn)實生活中自由選題，或者教師根據(jù)教材所學內(nèi)容為學生提供與所學知識聯(lián)系緊密的實際問題.

4.3制定計劃，分工合作

將研究性學習各時期任務合理分配給小組成員，可根據(jù)個人意愿、興趣自由分配.

4.4搜集分析資料，豐富研究背景

學生根據(jù)研究課題搜集資料，做調(diào)查研究，明確此次研究所用到的數(shù)學知識并整理做好研究準備.

4.5運用數(shù)學模型化思維實施研究性學習

（1）跟據(jù)生活經(jīng)驗，將現(xiàn)實問題通過自己的理解改造為現(xiàn)實模型.

（2）依據(jù)數(shù)學知識，將現(xiàn)實模型抽象概括為數(shù)學模型.

（3）運用數(shù)學思想和運算求解方法將數(shù)學模型的解解出.

（4）將數(shù)學模型的解還原為現(xiàn)實模型的答案，并就其轉(zhuǎn)換關系做合理解釋.

（5）依據(jù)現(xiàn)實模型的解為原現(xiàn)實問題做答，并檢驗判斷是否符合實際，以作進一步修改[4].

4.6處理結果，書寫研究課題報告

在教師的指導下將研究成果做規(guī)范化整理并形成書面報告.

4.7自我評價與同學互評，形成資源共享

對研究成果分別進行自我評價和同學互評，找出優(yōu)點與不足之處，相互吸取借鑒經(jīng)驗，整個過程使得每位同學的研究性學習成果形成資源共享.

4.8教師點評并作研究總結

教師對研究成果進行點評，更要對學生在整個研究性學習過程中表現(xiàn)出的亮點及不足點出，從而促進學生進步，使其認識到研究性學習的價值.5案例分析

在學習數(shù)列這一章的時候，教師布置了一個研究性學習任務，讓同學們在生活中找出與數(shù)列有關的事物，抽象成問題，并用數(shù)學建模的方法將問題解出.

有一個小組的同學根據(jù)教師的要求，細心觀察生活，發(fā)現(xiàn)生活中的養(yǎng)老金問題可以抽象為數(shù)列問題.然后小組成員分工合作，搜集關于養(yǎng)老金問題的資料，得到一個問題素材：

某位青年已經(jīng)工作了幾年，從開始工作就參加了養(yǎng)老保險.他每年年末存入等差額年金p元，第一年末存入了p元，第2年末存入了2p元，……，第n年末需要存入np元，年利率為r，則第n+1年初他可以一次性獲得養(yǎng)老金本利合計多少元？

案例分析在數(shù)學教學中由淺入深、由易到繁地運用模型法思想，不僅可以強化學生對數(shù)學基礎知識的學習，還可以培養(yǎng)數(shù)學應用意識，提高學生的實踐能力.本例中的這一組同學通過分析認為這個問題可以抽象為“數(shù)列模型”，運用數(shù)列的解題方法將其解出.從簡單問題入手，引導學生學會運用轉(zhuǎn)化思想建立數(shù)學模型，使實際問題具體化、數(shù)學化，然后運用數(shù)學方法求出了數(shù)學模型的解，從而使問題得到解決.以下是解題過程：

這人各年存款數(shù)本利合計為

p（1+r）n-1，2p（1+r）n-2，…，n-1p1+r，np

所以第n+1年初他有本利合計為

n=p（1+r）n-1+2p（1+r）n-2+…+n-1p1+r+np①

11+r×①，得

11+rn=p1+rn-2+2p1+rn-3+…+n-1p+np1+r②

①-②，得

r1+rn=p（1+r）n-1+p（1+r）n-2+…+p-np1+r，

即

r1+rn=p[（1+r）n-1]r-np1+r，

所以

n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2.

所以，第n+1年初他可以一次性獲得養(yǎng)老金本利合計n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2元.

這組同學在數(shù)學課上將自己的研究過程展示給全班同學，其他同學了解了他們的學習情況后，對有關問題進行評價和提問，這組同學為其解答，最后教師對整個過程做出評價，指出這組同學此次研究性學習的優(yōu)點與不足之處，也為其他同學提供了一次學習的機會[5].

在解決本題的過程中，學生們真正感受到了數(shù)學模型化思維方法的魅力，數(shù)學的應用價值；感受到了數(shù)學模型法使許多數(shù)學問題不再神秘莫測，能夠順利求解.數(shù)學模型法促使學生學會觀察、分析、綜合、概括、歸納、類比、判斷，學會怎樣應用數(shù)學、怎樣學習數(shù)學.6值得注意的幾個問題

6.1注重培養(yǎng)學生的元認知能力

“元認知”即“對認知的認知”，是學生學習的自我意識和自我監(jiān)控能力.在運用數(shù)學模型化思維于研究性學習之中時，教師應放手讓學生去獨立進行，研究性學習是學生根據(jù)自己的學習能力，學習任務的具體要求，積極主動地調(diào)整自己的學習策略，對自己的整個學習過程起到有效的監(jiān)控與調(diào)節(jié).并在學習的最后，讓學生進行自我審視，自我評價.

6.2數(shù)學教師面臨更高的要求

數(shù)學模型化思維應用于研究性學習，克服了傳統(tǒng)教學方法的弊端，同時它也給數(shù)學教師提出了更高的要求.在建模研究的過程中，數(shù)學教師要比學生更加擴大知識面，收集更多有用的信息和學生可能用到的數(shù)學工具，在開放的情境中把握方向，引領學生.面對不同的學習活動、不同的學生，實施靈活并且積極的教學評價，讓學生在學習實戰(zhàn)中增強自信心.

6.3重視引導反思，內(nèi)化新知

數(shù)學模型化思維應用于研究性學習，既要重視過程中學生的思維的發(fā)散性、開放性，又要重視后期階段的反思、提煉和思維的聚合性.因此，教師應善于捕捉思維的恰當時機，引導學生做到收發(fā)有度，聚焦本質(zhì)，促進研究性學習目標的有效達成.同時，教師要充分發(fā)揮問題驅(qū)動的作用，有意識地引導學生對自己、對別人的研究性學習過程和結果進行反思概括，這樣才能達到內(nèi)化新知，新舊知識建立聯(lián)結，促進同化與順應過程的實現(xiàn).參考文獻[1]夏師.關于在數(shù)學建模教學中開展研究性學習的思考＼[J＼].教育與職業(yè)，2010，（12）：96-97.

[2]劉魯文，黃娟.數(shù)學建模研究型學習理論架構與實踐模式探討＼[J＼].長江大學學報，2010，7（3）：688-690.

[3]白興波.數(shù)學建模與中學生研究性學習能力的培養(yǎng)＼[J＼].江西金融職工大學學報，2006，19：305-306.

[4]張碩，石俊娟.關于數(shù)學建模與數(shù)學研究性學習的研究＼[A＼].全國高師會數(shù)學教育研究會2006年學術年會論文集＼[C＼].2006.

[5]蘭永勝.數(shù)學思想方法與建模技巧＼[M＼].青島：青島海洋大學出版社，2000：226-229.

作者簡介傅海倫，男，1970年生，山東曹縣人，山東師范大學數(shù)學科學學院課程與教學論（數(shù)學）博士生導師，教授.王浩，男，1991年生，全日制教育碩士研究生.晁冉冉，女，1990年生，課程與教學論（數(shù)學）碩士研究生.