閻慧臻

（大連工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧大連　116034）

Gompertz模型在人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問(wèn)題中的應(yīng)用

閻慧臻

（大連工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧大連116034）

Gompertz模型是常用的動(dòng)物種群生長(zhǎng)模型，可用于描述種群的生長(zhǎng)發(fā)育規(guī)律。利用分離變量的方法求出了Gompertz模型的解析解，利用MATLAB軟件描繪了Gompertz模型解析解的圖形?；贕ompertz模型，運(yùn)用最小二乘法，對(duì)1985—2012年中國(guó)人口數(shù)據(jù)進(jìn)行非線(xiàn)性擬合，建立了中國(guó)人口增長(zhǎng)的近似公式，運(yùn)用此公式估算了中國(guó)歷年人口數(shù)量，并對(duì)中國(guó)2020、2030和2050年的人口數(shù)量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。估算的中國(guó)人口數(shù)量與實(shí)際統(tǒng)計(jì)結(jié)果吻合情況良好。

Gompertz模型；人口數(shù)量；預(yù)測(cè)

0　引　言

中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵性因素之一。人口預(yù)測(cè)就是根據(jù)現(xiàn)有的人口狀況并考慮影響人口發(fā)展的各種因素，按照科學(xué)的方法，測(cè)算在未來(lái)某個(gè)時(shí)間的人口規(guī)模、水平和趨勢(shì)［1］。眾所周知，人口增長(zhǎng)規(guī)律符合S型生長(zhǎng)曲線(xiàn)。但在實(shí)際生活中，由于災(zāi)難、疾病等各種客觀(guān)因素的干擾，使得人口增長(zhǎng)的規(guī)律并不是理想中的完全對(duì)稱(chēng)的S型，因此，如果用Logistic模型［2］進(jìn)行人口預(yù)測(cè)，并不能很好地描述人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況。Gompertz模型［3］是當(dāng)前使用較多的用以描述生物種群生長(zhǎng)發(fā)育規(guī)律的生長(zhǎng)曲線(xiàn)模型。不僅如此，Gompertz模型在醫(yī)學(xué)、軟件開(kāi)發(fā)、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域的應(yīng)用都非常廣泛。作者利用Gompertz模型，以中國(guó)1985—2012年人口數(shù)據(jù)為依據(jù)，通過(guò)曲線(xiàn)擬合，建立了中國(guó)人口增長(zhǎng)的近似公式，并對(duì)中國(guó)未來(lái)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1　Gompertz模型

Gompertz種群增長(zhǎng)模型的基本方程是

式中：y（t）表示在t時(shí)刻種群個(gè)體的數(shù)量；k稱(chēng)為種群的相對(duì)增長(zhǎng)率，即平均出生率減去平均死亡率；M表示環(huán)境的最大容納量。

式（1）的平衡點(diǎn)為y＝M。由微分方程穩(wěn)定性理論［4］可知，y＝M是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

1.1Gompertz模型的解析解

由于方程（1）是可分離變量的微分方程，因此分離變量即可求得式（1）的解析解：

令M、k及初值y0為下面兩組數(shù)值：

①M(fèi)＝60，y0＝15，k＝0.4

②M＝90，y0＝35，k＝0.8

將兩組數(shù)值分別帶入式（2），利用MATLAB編制計(jì)算程序，計(jì)算所得結(jié)果見(jiàn)表1。

1.2利用MATLAB軟件描繪解析解圖形

Gompertz模型解析解的圖形可以利用MATLAB軟件描繪。

令式（1）M＝90，k＝0.8，初值y0分別取為y01＝5，y02＝30，y03＝90，y04＝120，y05＝150。其中y01，y02小于M，y03等于M，y04，y05大于M。

利用MATLAB編制繪圖程序，程序執(zhí)行后得到Gompertz模型解析解的圖形如圖1。圖1繪制了初值不同的5個(gè)解析解的圖形。由圖1可以看出，無(wú)論Gompertz模型的初值y0n是小于、等于還是大于環(huán)境容量M，隨著時(shí)間t的無(wú)限增大，總有種群個(gè)體的數(shù)量y（t）→M，也就是說(shuō)種群個(gè)體的數(shù)量將最終穩(wěn)定在環(huán)境容量M上。

圖1　解析解圖形Fig.1　Figure　of　analytic　solution

1.3用龍格－庫(kù)塔數(shù)值解法求Gompertz模型的數(shù)值解

龍格－庫(kù)塔法是高精度的數(shù)值計(jì)算方法，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。用MicrosoftVisual C＋＋編譯軟件編制Gompertz模型數(shù)值解的計(jì)算程序，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1　Gompertz模型解析解與數(shù)值解Tab.1　Analytic　solution　and　numerical　solution　of　Gompertz　model

2　基于Gompertz模型的人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

在Gompertz模型中，當(dāng)y（t）表示人口數(shù)量時(shí)，Gompertz模型即為人口增長(zhǎng)模型。利用該模型對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型（2）為三參數(shù)（M，β，k）S型增長(zhǎng)模型，對(duì)于3個(gè)參數(shù)的擬合可以先確定其中的M，并通過(guò)變換將其線(xiàn)性化，這樣便可由最小二乘法估計(jì)出另兩個(gè)參數(shù)值。

式（2）取對(duì)數(shù)：

設(shè)n組觀(guān)測(cè)值為（ti，yi），i＝1，2，…，n，取M＝ 20億，令由最小二乘法得

由文獻(xiàn)［5］獲得我國(guó)歷年人口基本數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。由于數(shù)據(jù)取1985—2012年，因此選擇這28年相應(yīng)的人口數(shù)據(jù)為觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)：y0＝10.5851， y1＝10.7507，y2＝10.9300，…，y26＝13.4735，y27＝13.5404。

令1985年為0年，則t0＝0，t1＝1，…，t26＝26，t27＝27。

用MicrosoftVisualC＋＋編譯軟件編制數(shù)據(jù)擬合程序，利用以上觀(guān)測(cè)值，得β＝0.6109532，k＝0.0178916，則

式（9）即為中國(guó)人口增長(zhǎng)的近似預(yù)測(cè)公式，利用此公式，可估算中國(guó)1985—2012年的人口數(shù)量，結(jié)果見(jiàn)表2。從表2可以看出，利用Gompertz模型進(jìn)行人口數(shù)量估算，估算結(jié)果與實(shí)際統(tǒng)計(jì)結(jié)果吻合良好。

表2　中國(guó)1985—2012年實(shí)際人口與預(yù)測(cè)人口Tab.2　Actual　value　and　predicted　value　of　China　population　from　1985to　2012

利用人口預(yù)測(cè)公式（9）分別對(duì)我國(guó)2020、2030、2050年人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3　中國(guó)人口數(shù)量預(yù)測(cè)值Tab.3　Predicted　value　of　China　population

3　結(jié)　論

利用Gompertz模型及已知的28年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，給出了中國(guó)人口增長(zhǎng)規(guī)律的預(yù)測(cè)公式。利用此公式，估算了中國(guó)1985—2012年的人口數(shù)量。結(jié)果顯示，用此預(yù)測(cè)公式對(duì)我國(guó)人口進(jìn)行估算的結(jié)果與實(shí)際人口數(shù)量吻合很好，最大預(yù)測(cè)誤差為2.5655%。同時(shí)，運(yùn)用此公式，給出了中國(guó)2020、2030及2050年人口數(shù)量的預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)值分別為：2020年約為14.4271億，2030年約為15.2201億，2050年約為16.5233億。

［1］蔣輝.我國(guó)人口預(yù)測(cè)分析［J］.科技管理研究，2005（11）：142－145.

［2］閻慧臻.Logistic模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.大連工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，27（4）：333－335.（YANHui－zhen.ApplicationofLogisticmodelin populationprediction［J］.JournalofDalianPolytechnicUniversity，2008，27（4）：333－335.）

［3］辛秋紅，尹海東.基于Gompertz模型的黑龍江省人口預(yù)測(cè)［J］.統(tǒng)計(jì)觀(guān)察，2008（23）：82－83.

［4］馬知恩，周義倉(cāng).常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：41－51.

［5］中華人民共和國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局.2012中國(guó)統(tǒng)計(jì)摘要［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2012：39－40.

ApplicationofGompertzmodelinpopulationprediction

YANHuizhen
（SchoolofInformationalScienceandEngineering，DalianPolytechnicUniversity，Dalian116034，China）

Gompertzmodelisacommonlyusedmodelforbiologicalpopulationgrowth，whichcan describethelawsofpopulationgrowth.Inthispaper，theanalyticalsolutionofGompertzmodelis obtainedwiththemethodofseparatingvariables，andthefigureofanalyticalsolutionisacquiredwith thehelpofMATLAB.Thenanapproximateformulaisestablishedbydoinganon－linearfittingtothe actualpopulationsofChinafrom1985to2012withGompertzmodelandtheleastsquaremethod，and thepopulationsofChinaarepredictedbyusingthisapproximateformula.Theresultsshowedthatthe calculationswereinconformitywiththestatisticaldatainprinciple.Atlast，thepopulationsofChina in2020，2030and2050canbepredictedbyusingtheapproximateformula.

Gompertzmodel；population；prediction

O29；Q141

A

1674－1404（2015）02－0150－03

2014－08－07.

遼寧省教育廳科技研究項(xiàng)目（2009A075）.

閻慧臻（1965－），女，教授.