丁撼，阿達依·謝爾亞孜旦

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球面漸開線齒面的形成理論及其NURBS精確擬合方法

丁撼，阿達依·謝爾亞孜旦

(新疆大學機械工程學院，新疆烏魯木齊，830046)

區(qū)別于螺旋錐齒輪研究領(lǐng)域一直占據(jù)主導地位的局部共軛原理及其所設(shè)計和加工出來的近似球面漸開線齒形，基于近些年相關(guān)球面漸開線的研究成果的探討，改進球面漸開線齒面形成理論，并對關(guān)鍵的產(chǎn)形線方程做推導。另外，利用球面漸開線齒面形成理論快速精確地求解邊界曲線和齒廓曲線族，并結(jié)合三次NURBS曲線曲面造型技術(shù)的在CAD/CAM中的優(yōu)勢完成球面漸開線齒面的精確擬合。最后，在利用蒙皮法構(gòu)造的NURBS齒面基礎(chǔ)上提出相關(guān)優(yōu)化方案，完成齒面數(shù)據(jù)的參數(shù)化和曲面的精確擬合，以進一步提高齒面精度，并為齒面接觸分析提供齒面數(shù)據(jù)和基礎(chǔ)模型。

螺旋錐齒輪；球面漸開線；產(chǎn)形線；齒廓曲線族；三次NURBS; 蒙皮法

螺旋錐齒輪是現(xiàn)代機械工業(yè)中不可替代的相交軸間的動力傳動部件[1]。一直以來，以Gleason公司為代表的配備有先進制造專家系統(tǒng)(GEMS)的Free-From型全功能數(shù)控銑齒機床代表著加工技術(shù)的最新最高水平[2]。其近似球面漸開線齒形的設(shè)計與加工研究也一直在螺旋錐齒輪研究領(lǐng)域占據(jù)著主導地位。而球面漸開線理論在螺旋錐齒輪設(shè)計與加工中的研究卻起步較晚，其中以我國的吉林大學的科研團隊最為突出，研究并創(chuàng)建了以球面漸開線理論為基礎(chǔ)的“產(chǎn)形線切齒法”這一新的加工方法，并獲得了發(fā)明專利[3]和研究成果[4]。另外，國外的Suh[5]和Dacak[6]也進行了球面漸開線在錐齒輪建模方面的研究。但是，對于球面漸開線理論在螺旋錐齒輪方面的基礎(chǔ)理論研究尤其是球面漸開線齒面形成理論的相關(guān)細節(jié)和重要結(jié)論還存在一些不足與缺陷，有待進一步完善和求證。另外，非均勻有理B樣條(NURBS)廣泛應(yīng)用于汽車、宇航、船舶、機械、模具等行業(yè)的CAD/CAM系統(tǒng)中，成為幾何造型強有力的工具。而且國際標準組織頒布的STEP標準中，NURBS方法是定義產(chǎn)品形狀的主導數(shù)學方 法[7]。本文作者立足于前人已取得的成果，改進了球面漸開線齒面形成理論，并對其關(guān)鍵環(huán)節(jié)作了推導和論述。同時借助三次NURBS造型技術(shù)在CAD/CAM中的強大功能和優(yōu)勢[8]，對球面漸開線齒面形成理論在螺旋錐齒輪快速精準自由造型設(shè)計方面作了相關(guān)的研究，提出了相關(guān)的方法和思路，以此為更加多元化的螺旋錐齒輪設(shè)計與加工創(chuàng)造條件。

1 球面漸開線原理應(yīng)用的探討

1.1 球面漸開線原理

當平面在基圓錐上滾動時，平面上的任一點的運動軌跡就稱為球面漸開線，該圓錐為基圓錐。如圖1所示，圓平面與基圓錐01相切并在錐面上作純滾動，圓平面上的一動點在空間的運動軌跡就是一條漸開線。由于動點在漸開線上任意位置到基圓錐頂點的距離始終相等，故該漸開線是在以點為球心的球面上。當圓平面由初始0位置滾動到位置時，動點的運動軌跡為球面漸開線00。根據(jù)球面三角學和邊角關(guān)系以上推導，則球面漸開線方程可由其線上的任意一點的球面偏角為[9]：

根據(jù)如圖球面坐標系，可以簡化為：

式中：，和分別為球面坐標系中對應(yīng)的坐標軸；δ為球面漸開線上某點所對應(yīng)的錐角，b為基圓錐角。

圖1 球面漸開線原理

1.2 有關(guān)應(yīng)用的探討

吉林大學開創(chuàng)性地提出的“形線切齒法”可以簡單轉(zhuǎn)化描述為；依照球面漸開線原理，當一圓面與一基錐面相切并在其上純滾動時，圓面上的點可構(gòu)成球面漸開線，而由這些連續(xù)的點所組成的線則可構(gòu)成球面漸開線齒面。如圖2所示，曲線段0K在空間的運動軌跡就形成了輪齒的齒面。圓面稱為發(fā)生面，曲線0稱為發(fā)生線，而曲線0K則稱為產(chǎn)形線。其中，產(chǎn)形線為發(fā)生圓面上的一條非切線的曲線，如果以該產(chǎn)形線為刀刃，通過一定裝置控制處于基圓錐位置的工件齒坯和刀刃的相對運動，完成其空間軌跡的加工運動，就可切出螺旋錐齒輪球面漸開線齒形。

圖2 產(chǎn)形線切齒法

但是，該研究團隊沒有對球面漸開線齒面形成理論做詳細的推導和求證，而在加工方法的實驗應(yīng)用和機床研制方面進行大量研究。其實，該加工方法所依據(jù)的如上描述的球面漸開線齒面形成理論也存在一定的誤差和缺陷：

1) 球面漸開線原理的重要前提就是平面與錐面作純滾動，則二者的唯一相交線有且只有錐面的母線。

但“產(chǎn)形線切齒法”中，雖然能夠控制平面與錐面的相對運動，但不能使產(chǎn)線既在基錐面上又在圓平面上。這樣就是得該切齒方法在切出的齒形存在誤差或者誤差無法有效修正。

2) 刀刃的具體形狀即產(chǎn)形線的方程表達式?jīng)]有做詳細且嚴格的推導。只是作了大小輪產(chǎn)形線的代用求導，且大輪所用的產(chǎn)形線卻是直線。而當產(chǎn)形線是直線時，按照正確的齒面形成原理就應(yīng)該是圓面與基錐面上的唯一相交線即切線上的一小段線段，所形成的卻是螺旋直齒輪，其運動軌跡仿真如圖3所示。

圖3 產(chǎn)形線為直線的螺旋直齒面

3) 該球面漸開線齒形能夠?qū)崿F(xiàn)正確的嚙合狀態(tài)即完全共軛狀態(tài)，但它有一個最大的缺點就是沒有可調(diào)性，對安裝誤差很敏感易造成載荷集中于齒面邊緣而造成破損現(xiàn)象[10]，相反卻沒有了“局部共軛理論”[11]的近似球面漸開線齒形的可調(diào)性的優(yōu)勢與特點。

4) 該加工方法所依托的實驗平臺機床的加工性能和加工精度較低，在實際加工過程中的機床和刀具精度，機床噪聲和振動、裝配及熱處理變形所帶來的誤差卻無法進行有效控制。另外，支撐其高精度高質(zhì)量齒面加工的CAM軟件技術(shù)卻有待完善和提高。

但是，基于球面漸開線理論的球面漸開線齒形還是有其獨特的優(yōu)勢和特點，主要為以下2大方面：

1) 在齒面的設(shè)計中，能夠?qū)崿F(xiàn)齒面方程的顯示表達，快速精準的完成齒面的參數(shù)化，并能實現(xiàn)齒輪設(shè)計的標準化、模塊化、柔性化，能有效提高了齒面主動設(shè)計和多元化設(shè)計的水平。

2) 避免了以往加工中近似齒形帶來的原理性誤差，即能到達正確的齒輪嚙合狀態(tài)，且瞬時傳動比恒定，減少了齒面接觸分析(TCA)所帶來的工作量和生產(chǎn)成本。

2 球面漸開線齒面形成理論及推論

2.1 球面漸開線齒面的組成

圖4所示為齒面的基本組成。如圖4所示，一個完整的齒面應(yīng)該包括1個頂面、2個側(cè)面、2個端面。頂面為齒頂面，是2條齒頂線與大小端面齒頂圓圍成；2個側(cè)面是指輪齒的成對稱形狀的凹面和凸面，包括工作齒面、齒根面、以及二者之間的過渡圓角曲面3個部分；大小端面是齒廓曲線圍成的，一個完整的齒廓曲線有至少包括齒頂圓弧、工作齒廓曲線、過渡圓角、齒根圓弧4個部分。球面漸開線齒面是指由大小端的工作齒廓曲線和齒頂線及過渡圓角線圍成的工作齒面。

圖4 齒面的基本組成

2.2 球面漸開線齒面的形成理論的提出

在螺旋錐齒輪副傳動過程中，輪齒上各點到節(jié)錐頂點距離始終是不變的，故理論上齒廓為球面曲 線[12]。因此，螺旋錐齒輪球面漸開線原理可以這樣論述：球面漸開線齒面由齒廓曲線從一端面向另一端面包絡(luò)而成。如圖5所示，在基錐面上的產(chǎn)形線上取等分點k(=0，1，…，)，當大端面點k=0每旋轉(zhuǎn)則完成一次齒廓曲線的軌跡運動后，直線段0為作純滾動時的切線就自動轉(zhuǎn)過一定的角度，以下一點k=1再次作空間球面漸開線運動形成一條齒廓曲線，諸如此類，直至產(chǎn)形線起點0向末點k取點時分別完成一次空間運動，則所有軌跡曲線構(gòu)成了整側(cè)齒面。同時也可以描述為：每改變一次圓面半徑即切線轉(zhuǎn)到一定角度θ，切線端點就完成一次空間運動，直至其切線由一端面轉(zhuǎn)向另一端面即切線端點k(=0，1，…，)形成的所有軌跡曲線就可構(gòu)成球面漸開線齒面。

圖5 球面漸開線齒面的形成

2.3 產(chǎn)形線方程的求解

由球面漸開線齒面形成理論可知，產(chǎn)形線0k是形成齒面的關(guān)鍵。根據(jù)螺旋錐齒輪齒面特征,基錐面上的產(chǎn)形線可以用基圓錐螺旋曲線表示。該螺旋曲線是一條阿基米德螺旋曲線即等螺距螺旋線。如圖6所示，根據(jù)螺旋線的定義,假設(shè)動點k到點的錐距為R，則螺旋線可以用方程表示為：

另有

式中：0和R分別表示基圓錐面上齒輪小端和大端到頂點的距離。

螺旋轉(zhuǎn)角θ的取值可由以下公式求?。?/p>

式中：r為切齒刀盤半徑，R為名義螺旋角處所對應(yīng)的錐距。

3 齒面的三次NURBS擬合

3.1 三次NURBS曲面的表達式

三次NURBS曲面為：

式中：，?[0，1]，為控制頂點，為權(quán)因子，向的節(jié)點矢量分別表示為：

=[0，0，0，0，4，…，u，1，1，1，1]?[0，1](8)

同理，向的節(jié)點矢量表示一致。,3()和,3()分別為沿向和向的三次B樣條基函數(shù)，可由以下遞推公式求解：

3.2 齒面的三次NURBS擬合

基于三次NURBS曲面造型技術(shù)采用蒙面法，通過提取齒面邊界和內(nèi)部截面線族構(gòu)造齒面。主要的步驟有：

Step 1：構(gòu)造內(nèi)部截面線族。如圖7所示，首先結(jié)合求導的產(chǎn)形線方程通過軟件繪制其圖形。然后在產(chǎn)形線上等分取點，取等份數(shù)可按以下公式求取

圖7 繪制出的產(chǎn)形線

Step 2：確定主要邊界曲線。如圖8所示，構(gòu)成球面漸開線齒面的主要邊界應(yīng)是大小端面的工作齒廓(=0)和(=1)、齒頂線(=1)和產(chǎn)形線即過渡圓角線(=0)。其中，向曲線族的起始曲線為(=0)為所求得的產(chǎn)形線，而(=1)可以通過三次NURBS曲線進行擬合，其擬合方法：通過計算機程序模擬出產(chǎn)形線等分點空間運動軌跡所形成的齒廓曲線并輸出其另一端點數(shù)據(jù)信息，記為一組型值點P，由于數(shù)據(jù)點等分故其權(quán)因子h(=0，1，…，)可依次等值選取。一條三次NURBS曲線可以表示為：

式中：節(jié)點矢量=[0，1，…，u+3+1]?[0，1]，(=0，1，…，)為控制點，(=0，1，…，)為權(quán)因子，而,3()為三次B樣條基函數(shù)。

則可利用NURBS曲線插值法反算出符合該條件的NURBS曲線的控制頂點(=0，1，…，)和權(quán)因子(=0，1，…，)，完成邊界線的擬合。對于反算過程的具體步驟參考文獻[9]。

Step 3：求取節(jié)點矢量。本文采用一種修正弦長向心積累參數(shù)法[13]，求取式(8)所示的節(jié)點矢量。

式中：表示向的節(jié)點矢量，=1，2，…，。

Step 4：統(tǒng)一各節(jié)點矢量。對各個截面曲線的矢量(設(shè)為向)做并運算。為了保證形狀可采用插入節(jié)點的算法，再次求取各截面曲線的控制頂點。

Step 5：求解向控制頂點。根據(jù)所求的齒根過渡曲線u線控制點，取統(tǒng)一節(jié)點矢量的平均值作為其節(jié)點矢量。然后以所求控制點為型值點，逐個反算出向的控制頂點。

Step 6：進行蒙面操作[8]。根據(jù)所得的邊界曲線和NURBS擬合后的內(nèi)部截線族，反求得所有的控制頂點后，即可完成NURBS齒面的構(gòu)造。

4 基于NURBS擬合齒面數(shù)據(jù)點優(yōu)化

為了進一步完成整個螺旋錐齒輪齒面的精確擬合，同時為螺旋錐齒輪加工制造中十分關(guān)鍵的齒面接觸分析(TCA)和齒面誤差修正等技術(shù)提供基礎(chǔ)模型與數(shù)據(jù)，本文基于已經(jīng)完成的球面漸開線NURBS擬合齒面提出了其齒面數(shù)據(jù)點的優(yōu)化方案。

4.1 齒面數(shù)據(jù)點的參數(shù)化

在對擬合的基面進行參數(shù)化時，通常選取控制點的數(shù)據(jù)投影點對應(yīng)的距曲面的最小距離點的參數(shù)值作為數(shù)據(jù)點的參數(shù)值。該映射過程中，數(shù)據(jù)點滿足以下公式[14]：

式中：為曲面的雅克比矩陣，為齒面點陣。

上式可采用牛頓迭代法求解：首先將網(wǎng)格劃分成等參數(shù)曲線網(wǎng)格，得出每一個網(wǎng)格點的坐標值和參數(shù)值。然后以距離該數(shù)據(jù)點最近的網(wǎng)格節(jié)點的參數(shù)值作為初始值，進行迭代搜索運算，就可完成數(shù)據(jù)的精確參數(shù)化。

4.2 齒面數(shù)據(jù)點的精確擬合

由于在齒面NURBS擬合中，曲面的控制點數(shù)、節(jié)點矢量、三次基樣條函數(shù)都進行了求解。建立NURBS重構(gòu)基面對原始齒面數(shù)據(jù)點的集合逼近誤差為目標函數(shù)的優(yōu)化模型，以基面的控制頂點為自由度，求解最優(yōu)解，就可完成最佳曲面逼近。因此，以原始數(shù)據(jù)點到基面上最近距離作誤差逼近優(yōu)化模型為：

式中：為基面上擬合曲線的數(shù)目，為數(shù)據(jù)點的數(shù)目。

該優(yōu)化模型實質(zhì)上是一個無約束的二次規(guī)劃問題，能轉(zhuǎn)化超線性方程組，根據(jù)擬合中的精度要求賦予權(quán)因子相應(yīng)的權(quán)值后，就可用豪斯荷爾德變換法[14]快速求解。

4.3 算例

本文給出了基于球面漸開線齒面形成理論和NURBS方法的齒面優(yōu)化后的算例。牛頓迭代的NURBS曲線擬合誤差如圖9所示，在NURBS精確擬合后的螺旋錐齒輪齒面取點進行牛頓迭代的參數(shù)點數(shù)值與理論值作比較，通過程序計算得出的牛頓迭代后，齒面誤差良好，且非常符合齒面精度要求。圖9所示為第5次和第30次迭代后的結(jié)果。前者牛頓迭代后的平均齒面擬合誤差為0.004 83 mm，后者的誤差為0.004 83 mm。齒面NURBS擬合及高斯云圖如圖10所示，基于球面漸開線齒面形成理論得到齒面進行NURBS重構(gòu)優(yōu)化后，并采用齒面插值逼近的方法得出的是12′14的非均勻網(wǎng)格，而且由齒面分析所得出的高斯云圖可知：該齒面擬合效果好，光順性強，能為后續(xù)研究提供精確的齒輪模型。

迭代數(shù)/次：1—5；2—30

圖10 齒面NURBS擬合及高斯云圖

5 結(jié)論

1) 對球面漸開線理論在螺旋錐齒輪領(lǐng)域的應(yīng)用作了較為詳細的論述，完善并提出了球面漸開線齒面形成理論，能夠進行螺旋錐齒輪齒面的快速參數(shù)化顯示表達。

2) 以NURBS曲線曲面造型技術(shù)為基礎(chǔ)，對球面漸開線齒面進行了一系列的曲線曲線擬合，為齒面的幾何表示提供了統(tǒng)一的標準，并便于為相關(guān)繪圖和分析軟件尤其是齒面接觸分析(TCA)提供數(shù)據(jù)信息和分析模型。

3) 該基于螺旋錐齒輪齒面設(shè)計的NURBS方法，可為螺旋錐齒輪的齒面NUEBS加工提供一定的思路和途徑，例如對刀具軌跡的計算和規(guī)劃、對NURBS插補的處理和優(yōu)化等，可以基于齒面的NURBS設(shè)計方法進行拓展和完善。

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(編輯 陳愛華)

Theory of forming spherical involute tooth surface and its accurate cubic NURBS fitting method

DING Han, ADAYI·Xieeryazidan

(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Distinguished from the approximate spherical involute tooth profile has been in a dominant position in the research field of spiral bevel gear, and whose design and processing were based on the local conjugate theory, discussing some research outcomes on recent relevant spherical involute, a theory of forming the spherical involute tooth surface was improved, and key part namely the generating line and its equation were detailed by derived. In addition, fast and accurate solutions of the boundary curves and the tooth profile curve families were done by taking advantage of forming principle of spherical involute tooth surface, and based on advantages of modeling techniques of the cubic NURBS curve and surface in CAD/CAM, spherical involute tooth surface precision fitting was completed. At last, related optimization program associated with constructed NURBS tooth surface in the use of the Skinning method was proposed, and the parameterization of tooth surface data and precise fitting surfaces were accomplished, so as to further improve the accuracy of the tooth surface and provide tooth contact analysis for the data of the tooth surfaces and the basic model.

spiral bevel gear; spherical involute; generating line; tooth profile curve families; cubic NURBS; Skinning method

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.06.011

TH122

A

1672?7207(2015)06?2052?07

2014?05?13；

2014?07?20

國家自然科學基金資助項目(50965017)( Project (50965017) supported by the National Natural Science Foundation of China)

阿達依·謝爾亞孜旦，博士，教授，從事機械現(xiàn)代設(shè)計理論研究；E-mail：adayxj@126.com