鮑祥平

【摘 要】為了對(duì)數(shù)學(xué)有個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，并且不斷擴(kuò)大認(rèn)知領(lǐng)域，不但完善數(shù)學(xué)知識(shí)，在這里和大家共同研究復(fù)數(shù)的三維基本知識(shí)，為三維復(fù)數(shù)研究打好基礎(chǔ)，同時(shí)敲開超復(fù)數(shù)大門。

【關(guān)鍵詞】三維復(fù)數(shù)表達(dá)式；復(fù)數(shù)四則運(yùn)算；復(fù)數(shù)指數(shù)形式；超復(fù)數(shù)（四元數(shù)）；求導(dǎo)

一、四維空間

二維復(fù)數(shù)可由數(shù)對(duì)（x，y）表示，同理三維復(fù)數(shù)可表示成（x，y，z），這里z屬于復(fù)數(shù)，通常記為實(shí)數(shù)形式（在三維空間里x，y，z的模相同可視為同一三維復(fù)數(shù)）由圖 ⑴（x，y，z）=[（x，y）+（z，y）+（x，z）]/2，（x，y，z）=[﹙x，y），z]=x+yi+zj，（當(dāng)然還可以有其它組合，只取其一。）x+yi為二維復(fù)數(shù)，zj作為一個(gè)數(shù)軸與之對(duì)應(yīng)必須具有雙重性質(zhì)，即代表復(fù)平面，又可以視為數(shù)軸。為了很好的了解zj軸，先分析四維空間及超復(fù)數(shù)：四維空間的坐標(biāo)軸兩兩相互垂直，以兩根軸為一組形成兩個(gè)正交的平面（復(fù)平面），經(jīng)過同一原點(diǎn)o并且其中一平面里任意一條經(jīng)過或不經(jīng)過原點(diǎn)的直線垂直另一平面。我們把式子Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚，（Z，Z1，Z0，Z0′都為二維復(fù)數(shù)）稱為超復(fù)數(shù)的表達(dá)式，與四元數(shù)有所不同。在二維復(fù)數(shù)里，復(fù)數(shù)Z是以實(shí)數(shù)R為模進(jìn)行旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)得到復(fù)數(shù)Z，而超復(fù)數(shù)是以復(fù)數(shù)Z為基準(zhǔn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到超復(fù)數(shù)Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=（Z?+Z1?）?Z/（Z?+Z1?）?+j（Z?+Z1?）?Z1/（Z?+Z1?）?。因Z與Z1正交，且過一平面上的一點(diǎn)（原點(diǎn)）只能作一條直線與之垂直，所以可以視Z1平面濃縮在zj軸中，那么我們把Zcosβ+jZ1sinβ）中的第一項(xiàng)分成兩項(xiàng)的合Zcosβ=Rcosαcosβ+iRsinαcosβ，第二項(xiàng)jZ1sinβ歸并為一項(xiàng)，它就可以作為一個(gè)三維復(fù)數(shù)Rcosαcosβ+iRsinαcosβ+jR（cosα1+isinα1）sinβ進(jìn)行研究了，并且有Z+jZ1=Z′cosβ+jZ1′sinβ=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚=[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z′cosβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?+j[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?（Z1′sinβ）/[（Z′cosβ）?+（Z1′sinβ）?]?。超復(fù)數(shù)滿足四則運(yùn)算，分配律，結(jié)合律等。

圖 ⑴

二、三維復(fù)數(shù)三角式

我們把式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）=Zcosβ+jZ1sinβ與三維坐標(biāo)里的點(diǎn)s對(duì)應(yīng)（如圖一），稱其為全面表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)著超復(fù)數(shù)Z+jZ1=Z0﹙COSZ0′+jSINZ0′﹚的三角式。當(dāng)Z≠Z1時(shí)稱異步對(duì)應(yīng)，當(dāng)Z=Z1，（R=R1）稱同步對(duì)應(yīng)，因此同一三維復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)著不同的三角函數(shù)表達(dá)式，并且經(jīng)過某個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算后其結(jié)果不一定是同一復(fù)數(shù)。因此在三維空間里Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）=x+yi+zj表示同一三維復(fù)數(shù)的不同三角形式，那么在三維空間里式子Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）就不能通用，有必要時(shí)轉(zhuǎn)化成通用運(yùn)算式進(jìn)行計(jì)算，而表達(dá)式Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）一般由Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）做函數(shù)變換時(shí)用到，如求偏導(dǎo)數(shù)，所以不做特別注明時(shí)通常運(yùn)算式用Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα+isinα）=Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ，以免出現(xiàn)多個(gè)不同的結(jié)果。

三、指數(shù)形式

對(duì)于超復(fù)數(shù)的指數(shù)ez1+jz2=ex1+iy1+jz2=ex1cosz2（cosy1+isiny1）+jex1sinz2（cosy1+isiny1），當(dāng)z2是是實(shí)數(shù)時(shí)，我們把它當(dāng)做三維復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。令f（x+yi+zj）=ex+yi+zj=excosz（cosy+isiny）+jexsinz（cosy+isiny），z為實(shí)數(shù)。我們把形如ex+yi+zj稱為三維復(fù)數(shù)的通用指數(shù)形式，它是超復(fù)數(shù)指數(shù)式特例。

四、求導(dǎo)

知道了三維復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，知道了其指數(shù)形式，那么三維復(fù)變函數(shù)最終可以化為有關(guān)x，y，z三個(gè)變量的函數(shù)式子，可以分別對(duì)其變量求導(dǎo)。例如：f（x+yi+zj）=（x+yi+zj）?，f′（x+yi+zj）=fx（x+yi+zj）=fy（x+yi+zj）=fz（x+yi+zj）=[（x+yi）?-（x1+y1i）?]/j（x1+y1i）+j2（x+yi）（x1+y1i）/j（x1+y1i）=2（x+yi+zj），這里j（x1+y1i）=jz，因?yàn)槿S空間坐標(biāo)軸Z對(duì)應(yīng)的是復(fù)數(shù)。

五、四則運(yùn)算

（x1+y1i+z1j）+（x2+y2i+z2j）=（x1+x2）+i（y1+y2）+j（z1+z2），不做特別說明三維復(fù)數(shù)加法只做這類運(yùn)算，減法類似。

做乘法運(yùn)算這里主要討論Rcosβcosα+iRcosβsinα+jR1sinβ（cosα1+isinα1）中R=R1，α=α1的情形，通常三維復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算指的就是這一類型。以Rcosβcosα+iRcosβsinα+jRsinβ（cosα1+isinα1）這種表達(dá)式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算不常見，一般作函數(shù)變換先考慮同步運(yùn)算再考慮異步變換，四則運(yùn)算以同樣方式進(jìn)行，參考上面求導(dǎo)。[R1cosα1cosβ1+iR1sinα1cosβ1+jR1（cosα1+isinα1）sinβ1][R2cosα2cosβ2+iR2sinα2cosβ2+jR2（cosα2+isinα2）sinβ2]=R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2[cos（α1+α2）+isin（α1+α2）]sin（β1+β2）==R1R2cos（α1+α2）cos（β1+β2）+iR1R2sin（α1+α2）cos（β1+β2）+jR1R2sin（β1+β2），除法類似。