李慧珍，韓 悅

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

一類(lèi)多葉解析函數(shù)的若干性質(zhì)

李慧珍*，韓 悅

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

利用微分從屬的方法并通過(guò)限制一些定義條件，定義了一個(gè)新的多葉解析函數(shù)類(lèi)Tλ，α，p（M，N），同時(shí)根據(jù)微分從屬的部分結(jié)論導(dǎo)出Tλ，α，p（M，N）內(nèi)函數(shù)的從屬關(guān)系、半徑問(wèn)題等性質(zhì).

多葉解析函數(shù)；微分從屬；超幾何函數(shù)

在復(fù)分析中，有關(guān)解析函數(shù)類(lèi)和微分從屬的研究已經(jīng)取得了諸多重要成果.Liu［1］，Mahzoon［2］等對(duì)某類(lèi)多葉解析函數(shù)類(lèi)微分從屬的最佳控制函數(shù)和包含關(guān)系進(jìn)行了分析探討.劉文娟［3］，Wang［4］，Ibrahim［5］等運(yùn)用不同的算子構(gòu)造出新的多葉解析函數(shù)子類(lèi)并分析了它們的性質(zhì).Srivastava［6］，Tang［7］等分析探討了微分從屬性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用.Singh［8］，Praiapat［9］等利用微分從屬理論研究了解析函數(shù)類(lèi)的一些性質(zhì).近年來(lái)，許多學(xué)者運(yùn)用微分從屬的方法來(lái)定義新的解析函數(shù)類(lèi)，如Praiapat等［10］利用微分從屬定義了單位圓U內(nèi)的解析函數(shù)類(lèi)，并得到該函數(shù)類(lèi)的多個(gè)性質(zhì)與結(jié)論.受此啟發(fā)，本文擬運(yùn)用微分從屬的方法定義單位圓U內(nèi)一個(gè)新的多葉解析函數(shù)類(lèi)，并探討該函數(shù)類(lèi)的從屬關(guān)系及半徑問(wèn)題等.

1　預(yù)備知識(shí)

本文中Ap表示形如

且在單位圓U=｛z∈C：|z|＜1｝內(nèi)解析的全體函數(shù)的集合，其中p∈N+.

定義1 若函數(shù)f（z）屬于多葉解析函數(shù)類(lèi)Tλ，α，p（M，N），則f（z）滿足f（z）∈Ap且

其中λ＞0，α＞0，-1≤N＜M≤1，p∈N+.

引理2 設(shè)φ（z）=1+a1z+a2z2+…在單位圓U內(nèi)解析，h（z）是U內(nèi)的凸函數(shù)，h（0）=1，如果φ（z）+γ-1zφ′（z）?h（z），其中Reγ≥0，γ≠0，z∈U，則

且ψ（z）為最佳控制函數(shù).

引理3 設(shè)q（z）在單位圓U內(nèi)單葉解析，θ（z）和φ（z）在D?q（U）內(nèi)解析，且對(duì)w∈q（U），有θ（w）≠0.令Q（z）=zq′（z）φ（q（z）），h（z）=θ（q（z））+Q（z），滿足如下條件：

1）Q（z）在U內(nèi)是星形的；

如果p（z）在U內(nèi)解析，p（0）=q（0），p（U）?D且θ（p（z））+zp′（z）φ（p（z））?θ（q（z））+ zq′（z）φ（q（z））=h（z），則p（z）?q（z），q（z）為最佳控制函數(shù).

引理4 對(duì)于復(fù)數(shù)a，b，c（c≠0，-1，-2，…），有

2　主要結(jié)果

定理5 若f（z）∈Tλ，α，p（M，N），則

其中

χ（z）為式（6）的最佳控制函數(shù)，且

是精確的.

證明 設(shè)函數(shù)f（z）∈Tλ，α，p（M，N），且

則p（z）=1+αap+1z+…在單位圓U內(nèi)解析，p（0）=1.對(duì)式（9）關(guān)于z求導(dǎo)并計(jì)算可得

根據(jù)引理1及式（4）（5）可得

χ（z）為式（6）的最佳控制.

定理6 若f（z）∈Ap且滿足不等式

其中z∈U，α＞0，0≤ρ＜1，p∈N+，則

其中|z|＜R1，λ＞0，且是精確的.

證明 設(shè)f（z）∈A且滿足式（11），有

其中w（z）=1+a1z+a2z+…在U 內(nèi)解析且有正實(shí)部.對(duì)式（13）關(guān)于z求導(dǎo)可得

當(dāng)|z|＜R1時(shí)，式（15）右邊為正，即f（z）∈Tλ，α，p（1-2ρ，-1）.又因f（z）∈Ap滿足（f（z）/zp）α=ρ+（1-ρ）（1-z）/（1+z），故當(dāng)z=R1時(shí)，有，從而邊界R1是精確的.

定理7 設(shè)f（z）∈Tλ，α，p（M，N），定義I（f）：Ap→Ap使得

證明 設(shè)f（z）∈Tλ，α，p（M，N），對(duì)式（16）左右兩邊關(guān)于z 求導(dǎo)，可得，進(jìn)而結(jié)合定理5得證.

定理8 設(shè)f（z）∈Ap，z∈U，-1＜M＜1，

證明 由p（z）=（z-pf（z））α，式（19）可轉(zhuǎn)化為

取q（z）=（1+Mz）/（1-z），θ（w）=w，φ（w）=λ/（αp），其中q（z）在U內(nèi)解析，q（0）=1，θ（w）和φ（w）在C/｛0｝內(nèi)解析，θ（w）≠0，可得而Q（z）在U內(nèi)為星形單葉是由于，進(jìn)一步地，，z∈U，所以有，即h（z）為近于凸函數(shù).據(jù)式（20）可知θ（p（z））+zp′（z）φ（p（z））?θ（q（z））+zq′（z）φ（q（z））.綜上所述，由引理3可得p（z）?q（z），即

［1］LIU Jinlin.Properties of certain multivalent analytic functions［J］.Adv Math，2002，31（6）：565-569.

［2］MAHZOON H.New subclasses of multivalent functions defined by differential subordination［J］.Appl Math Sci，2012，6：93-96.

［3］劉文娟，彭娟，楊清.與Noor積分算子有關(guān)的多葉解析函數(shù)子類(lèi)的性質(zhì)［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，15（3）：8-11.

［4］WANG Z G，AGHALARY R，DARUS M，et al.Some properties of certain multivalent analytic functions involving the Cho-Kwon-Srivastava operator［J］.Math Comput Model，2009，49（9）：1969-1984.

［5］IBRAHIM R W，DARUS M.On certain classes of multivalent analytic functions［J］.J Math Stat，2010，6（3）：271-275.

［6］SRIVASTAVA H M，ATTIYA A A.Some applications of differential subordination［J］.Appl Math Lett，2007，20（11）：1142-1147.

［7］TANG H，DENG G T，LI S H.Certain subclasses of p-valently analytic functions involving a generalized fractional differintegral operator［J］.J Egypt Math Soc，2014，22：36-44.

［8］SINGH S，GUPTA S.A differential subordination and starlikeness of analytic functions［J］.Appl Math Lett，2006，19（7）：618-627.

［9］PRAJAPAT J K，RAINA R K.Certain results on differential subordination for some classes of multivalently analytic functions associated with a convolution structure［J］.Bull Belg Math Soc Simon Stevin，2009，16（1）：153-165.

［10］PRAJAPAT J K，RAINA R K.Some result on certain class of analytic functions based on differential subordination［J］.Bull Korean Math Soc，2013，50（1）：1-10.

Properties of a certain subclass of multivalent analytic functions

LI Huizhen*，HAN Yue
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

Using the methods of differential subordination and sufficient conditions determined，the author defines a new class of multivalent analytic functions Tλ，α，p（M，N）.Making use of the familiar principle of differential subordination，subordination relationship and radius problems involving the function Tλ，α，p（M，N）are derived.

multivalent function；differential subordination；hypergeometric function

O 174.5

A

1007-824X（2015）01-0009-04

（責(zé)任編輯 林 子）

2014-04-21.*聯(lián)系人，E-mail：Lhzhen8959@163.com.

江蘇省大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201411117037z）.

李慧珍，韓悅.一類(lèi)多葉解析函數(shù)的若干性質(zhì)［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，18（1）：9-12.