楊曉霞，范永輝

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

Panel數(shù)據(jù)模型中兩步估計在均方誤差意義下的優(yōu)良性

楊曉霞，范永輝

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

研究Panel數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計問題.在均方誤差矩陣意義下，得到了兩步估計優(yōu)于BetweenTime估計、Between Individual估計、Within估計的充分條件.從這個充分條件可以看出，對于中等大小的樣本容量，就有兩步估計優(yōu)于其他3個估計.

兩步估計；Within估計；Between Time估計；Between Individual估計

Panel數(shù)據(jù)模型是一種具有套誤差結(jié)構(gòu)的線性回歸模型，常產(chǎn)生于重復(fù)測量試驗、兩級抽樣調(diào)查、裂區(qū)試驗以及含時間和個體的經(jīng)濟調(diào)查等[1-2].這種模型常用在計量經(jīng)濟、市場分析、區(qū)域經(jīng)濟研究等領(lǐng)域[3-4].含有時間和個體效應(yīng)的Panel數(shù)據(jù)模型可表示為

其中：yit表示第i個個體在時刻t的因變量觀測值；xitj表示第i個個體上第j個自變量在時刻t的取值；β1，β2，…，βk為未知回歸系數(shù)；νt是時間效應(yīng)；μi是第i個個體的效應(yīng)，假定這N個個體是從一個大的個體總體中隨機抽取的，于是個體效應(yīng)是隨機的；εit是隨機誤差.假定所有μi、νt和εit都是彼此相互獨立的，且μi～N（0，σ2μ），εit～N（0，σ2ε），νt～N（0，σ2ν）.

為方便，將模型（1）寫成矩陣的形式：

其中：yT=（y11，y12，…，y1T，y21，…，y2T，yN1，…，yNT），εT=（ε11，ε12，…，ε1T，ε21，…，ε2T，…，εN1，…，εNT），1N為分量全為1的N維列向量，

IT表示T階的單位矩陣，茚是Kronecker乘積，μT=（μ1，μ2，…，μN），νT=（ν1，ν2，…，νT），βT=（β1，β2，…，βK），XT=（XT1，XT2，…，XTN），

由μ、ν、ε的正態(tài)性可知u服從正態(tài)分布，E（u）=0，且

許多學(xué)者研究了Panel模型的統(tǒng)計推斷問題.文獻[5]系統(tǒng)介紹了相關(guān)的參數(shù)估計結(jié)果及其實際應(yīng)用.文獻[2]研究了模型中誤差的結(jié)構(gòu)以及估計的性質(zhì).當(dāng)模型（1）中不包含時間效應(yīng)時，文獻[6]在均方誤差矩陣意義下，給出了兩步估計優(yōu)于Within估計和最小二乘估計的充分條件.文獻[7]在Pitman準(zhǔn)則下比較了幾種常見估計，給出了兩步估計優(yōu)于其他幾種估計的優(yōu)良性.文獻[8]利用廣義p值和廣義置信區(qū)間構(gòu)造了含3個隨機效應(yīng)的Panel模型的方差分量的新的精確檢驗和置信區(qū)間.文獻[9]采用兩階段估計步驟，對于非參數(shù)固定效應(yīng)Panel data模型給出了估計量的具體表達式.文獻[10]給出了兩步估計的一種改進.

1 Panel數(shù)據(jù)模型的估計

為方便，若A、B是方陣，用A＞0表示A是對稱正定矩陣，用A≥0表示A是對稱半正定矩陣，用A≥B表示A-B是半正定矩陣，A＞B表示A-B是正定矩陣.

考慮一個T階正交矩陣OT，其第1行為1TT/，令同樣，取一個N階正交矩陣ON，其第1行為）.分別令Q3=C2茚C1，易得引理1.

引理1 對于矩陣Q1、Q2、Q3有如下結(jié)論：

（1）Q1、Q2、Q3的秩分別為T-1、N-1、（N-1）·（T-1）；

將矩陣Q1、Q2、Q3應(yīng)用于模型（2），并做變換，得到3個新的模型：

用Σi表示ui的協(xié)方差矩陣（i=1，2，3），則有

注意到Σi，i=1，2，3的形式，易得到模型（4）～（6）中未知參數(shù)向量β的最佳線性無偏估計分別為

它們也是β的最小二乘估計，分別稱為Between Time估計，Between Individual估計和Within估計，這3個估計的協(xié)方差矩陣為

其中：n2=N-1-K，n3=（N-1）（T-1）-K=NT-NT+1-K，并且易知

將模型（4）～（6）聯(lián)立，得到新的模型

Σ4是對角矩陣，這表明u1、u2、u3是相互獨立的，自然y1、y2、y3也是相互獨立的.

對參數(shù)β而言，模型（7）和模型（2）是等價的，在模型（7）中β的最佳線性無偏估計為

基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)不完善，而且工程建設(shè)之后的維護與修整通常做不到位，即便是開展了新的農(nóng)田水利工程項目建設(shè)，也只是局限在少數(shù)環(huán)節(jié)，不能從整體角度對本地區(qū)水資源利用效率做出全面考量。再加上工程建設(shè)后期，由于缺少有效的養(yǎng)護管理，在較大程度上進一步限制了節(jié)水灌溉技術(shù)的推廣應(yīng)用。

2 兩步估計優(yōu)于Within估計的充分條件

其中H=ξ1W1+ξ2W2，則的充要條件是

因為

先考慮i=1的情況.注意到

其中V=W-1/21W2W-1/21.當(dāng)ξ1≤2ξ3時，（2ξ3-ξ1）ξ1≥0，

當(dāng)ξ1＞2ξ3時，（2ξ3-ξ1）ξ1＜0，ξ1I≥2ξ3I，

由ξi，i=1，2，3的獨立性有

綜上可知

利用同樣的方法考慮E（2ξ3-ξ2）ξ2（I+H）-1W2·（I+H）-1，則可得到如下定理.

定理1 如果nin3-8n3-2ni＞0，i=1，2，則，即在均方誤差矩陣意義下兩步估計優(yōu)于Within估計

注意到n1=T-1-K，n2=N-1-K，n3=（N-1）·（T-1）-K，所以當(dāng)T≥3，N≥3時，有n3≥2（N-1）-K＞n2，n3≥2（T-1）-K＞2n1.所以，當(dāng)ni≥9，i=1，2時，有

nin3-8n3-2ni=（ni-8）n3-2ni＞1×2ni-2ni=0因為當(dāng)ni≥9時，必有N≥3，T≥3，故有如下推論.

推論1 當(dāng)ni≥9，i=1，2時，

由推論1可知，對具有中等大小的N、T（即觀測的個體數(shù)和觀測的時間數(shù)比回歸自變量的個數(shù)大9），兩步估計優(yōu)于Within估計.

用類似的方法可討論兩步估計優(yōu)于Between Time估計和Between Individual估計的充分條件.在此不再證明，只列出結(jié)果.

推論2 （1）若n1n2-8n1-2n2＞0，n1n3-8n1-2n3＞0，則.

（2）若n2n1-8n2-2n1＞0，n2n3-8n2-2n3＞0，則.

因為ninj-8ni-2nj=（ni-2）（nj-8）-16，i≠j，所以，當(dāng)ni≥11，i=1，2，3時，總有ninj-8ni-2nj＞0.故有如下定理.

定理2 當(dāng)ni≥11，i=1，2，3時，在均方誤差矩陣意義下，優(yōu)于Between Time估計、Between Individual估計和Within估計

[1] 王松桂，史建紅，尹素菊，等.線性模型引論[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2]AVERY R B.Error components and seemingly unrelated regressions[J]. Econometrica，1977，45：194-208.

[3]金春雨，韓哲，張浩博.基于Panel模型的金融業(yè)發(fā)展與經(jīng)濟增長關(guān)聯(lián)性的計量檢驗[J].管理評論，2013，25（1）：16-23.

[4]孫德紅，李錫玲.基于Panel data模型的FDI對我國低碳經(jīng)濟發(fā)展的影響研究[J].生態(tài)經(jīng)濟，2013，28（2）：28-33.

[5]BALTAGI B H.Econometric analysis of Panel data[M].New York：John Wiley，1995.

[6]王松桂，范永輝.Panel數(shù)據(jù)模型中兩步估計的優(yōu)良性[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，1998，14（2）：177-184.

[7] 馬鐵豐，王松桂.Panel模型中常見估計的比較[J].數(shù)學(xué)進展，2008，37（1）：107-114.

[8] 程靖，王松桂，岳榮先.Panel數(shù)據(jù)模型中方差分量的精確檢驗[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2010，26（1）：89-97.

[9]解其昌.兩階段估計非參數(shù)固定效應(yīng)Panel data模型[J].復(fù)旦學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，54（3）：301-307.

[10]張蕊，范永輝.Panel數(shù)據(jù)模型中兩步估計的改進[J].天津師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，33（4）：4-8.

（責(zé)任編校 馬新光）

Optimality of two-stage estimator in Panel models under mean squared error criterion

YANG Xiaoxia，F(xiàn)AN Yonghui
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The parameter estimation in the Panel data models with random time and individual effects is studied.Under the mean square error criterion，a sufficient condition for the superiority of the two-stage estimator over Between Time estimator，Between Individual estimator and Within estimator is obtained.The condition shows that the two-stage estimator is better than the other three estimators even for medium sample size.

two-stage estimator；Within estimator；Between Time estimator；Between Individual estimator

1671-1114（2015）04-0008-04

O212.4

A

2015-03-15

中國水利水電科學(xué)研究院開放研究基金資助項目（IWHR-SKL-201403）.

楊曉霞（1990—），女，碩士研究生.

范永輝（1972—），男，教授，主要從事概率統(tǒng)計方面的研究.