秦美青

（菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015）

一類變種半群上的格林?關(guān)系

秦美青

（菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015）

研究了一類變換半群POPE（X；θ）上的格林?關(guān)系，利用格林?關(guān)系的定義，得到了半群POPE（X；θ）上元素之間存在格林?關(guān)系的條件，這些結(jié)果推廣了這類變換半群上的格林關(guān)系.

部分變換；格林關(guān)系；格林?關(guān)系

1　引言

設(shè)X是一個非空集合，PX是X上的部分變換半群，E是集合X上的一個等價關(guān)系，文獻(xiàn)［1］考察了由等價關(guān)系E確定的保等價關(guān)系的部分變換半群

的任意元素間的格林關(guān)系.文獻(xiàn)［2］是在X為全序集X=｛1，2，···，mn｝（m≥2，n≥2），E為凸等價關(guān)系E=（A1×A1）∪（A2×A2）∪···∪（Am×Am），其中

下面討論半群PE（X）的子半群保序且保等價關(guān)系的部分變換半群

的任意元素間的格林關(guān)系.

取定θ∈POPE（X）且設(shè)dom θ=X.定義半群POPE（X）上的一個新的運算“?”：f?g=fθg，其中f，g∈POPE（X），乘積fθg為部分變換f，θ，g在一般意義下的合成運算.這樣，在運算“?”下，得到一個新的半群稱為半群POPE（X）的變種半群，記為POPE（X；θ）.文獻(xiàn)［3］討論了半群POPE（X；θ）一般元素間的格林關(guān)系.本文主要考察當(dāng)X是有限全序集時半群POPE（X；θ）上的格林?關(guān)系.

2　預(yù)備知識

定義2.1［4］設(shè)E是X上的等價關(guān)系，Y，Z?X.設(shè)?：Y→Z為映射，若（x，y）∈E蘊含（?（x），?（y））∈E，則稱?是E-保持的.若（x，y）∈E當(dāng)且僅當(dāng)（?（x），?（y））∈E，則稱?是E?-保持的.

定義2.2［4］設(shè)ψ為映射.若對于任意的A∈X/E，存在B∈X/E，使對于任意P∈πA（f），有θ（B）∩ψ（P）≠?，則稱ψ是Eθ-容許的.若ψ：π（f）→π（g）是雙射且ψ與ψ-1都是Eθ-容許的，則稱ψ是容許的.

定義2.3［5］設(shè)X是全序集，Y是X的子集.若對任意x，y∈Y且x＜y時，有

則稱Y是X的凸子集.若每個E-類都是X的凸子集，則稱等價關(guān)系E為凸的.

定義2.4［6］設(shè)f∈PX.對任意A?X，集合｛y∈dom f：f（y）∈A｝，記為f-1（A）.集合｛P∈π（f）：P∩A≠?｝，記為πA（f）.

定義2.5［6］集合｛f-1（A）：A∈X/E，A∩im f≠?｝，記為E（f）.

引理2.1［6］對每個f∈PE（X；θ），θ|imf是單射當(dāng)且僅當(dāng)π（θf）=π（f）.

設(shè)S是一個半群，a，b∈S，稱a，b是L?相關(guān)的.如果它們在某個半群T（S≤T）中是L相關(guān)的［7］.對偶地給出兩元素R?相關(guān)的定義.稱a，b是J?相關(guān)的，如果它們在某個半群T（S≤T）中是J相關(guān)的.

引理2.2［7］設(shè)S是為任意半群，a，b∈S，則下面的說法等價：

（1）（a，b）∈L?（R?）；

（2）對任意x，y∈S1，ax=ay（xa=ya）當(dāng)且僅當(dāng)bx=by（xb=yb）.

從引理2.2不難看出：關(guān)系L?和R?都是半群S上的等價關(guān)系，并且L?L?R?R?.半群S上的等價關(guān)系D?和H?如下定義：H?=L?∩R?D?=L?∨R?.半群S上的關(guān)系L?，R?，D?，H?，J?通稱為格林?關(guān)系.半群S上的格林?關(guān)系是格林關(guān)系的推廣.

引理2.3［8］設(shè)f，g∈PE（X；θ），則以下條件等價：

（1）（f，g）∈L；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）；

（3）存在E?-保持的雙射?：im f→im g，使得g=?f且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

引理2.4［8］設(shè)f，g∈PE（X；θ），則以下條件等價：

（1）（f，g）∈R；

（2）對每個A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

（3）存在E?θ-容許的雙射ψ：π（f）→π（g），使得f?=g?ψ.

引理2.5［9］等價關(guān)系L和R是可交換的.

引理2.6［9］設(shè)ρ，σ是集合S上的等價關(guān)系且滿足ρ?σ=σ?ρ則ρ∨σ=ρ?σ.

引理2.7［9］若S是周期半群，則D=J.

文中未說明的概念與符號參看文獻(xiàn)［9］.

3　主要結(jié)果

定理3.1設(shè)f，g∈POPE（X；θ）且f≠g則以下條件等價：

（1）（f，g）∈L?；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）；

（3）存在E?-保持的雙射?：im f→im g，使得g=?f且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

定理3.2設(shè)f，g∈POPE（X；θ）且f≠g則以下條件等價：

（1）（f，g）∈R?；

（2）對每個A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

（3）存在E?θ-容許的雙射ψ：π（f）→π（g），使得f?=g?ψ.

定理3.3設(shè)f，g∈POPE（X；θ）且f≠g，則以下條件等價：

（1）（f，g）∈H?；

（2）π（θf）=π（f）=π（g）=π（θg）和E（θf）=E（f）=E（g）=E（θg）且對任意A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得

證明由H?的定義和定理3.1以及定理3.2即得.

根據(jù)引理2.5和引理2.6知半群上的格林關(guān)系D=L∨R=L?R，易證半群上的等價關(guān)系L?，R?是可交換的，從而有D?=L?∨R?=L??R?.

定理3.4設(shè)f，g∈POPE（X；θ）且f≠g，則以下條件等價：

（1）（f，g）∈D?；

（2）存在E?θ-容許的雙射ψ：π（f）→π（g）和E?-保持的雙射?：im f→im g，使得g?ψ=?f?且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

證明（1）?（2）假設(shè)（f，g）∈D?，則存在k∈POPE（X；θ），使得（f，k）∈L?，（k，g）∈R?.因為（f，k）∈L?，所以由定理3.1知π（f）=π（k）和存在E?-保持的雙射?：im f→im k，使得k=?f且θ|imf和θ|imk是E?-保持的單射.再因為（k，g）∈R?，所以由定理3.2知im k=im g且存在E?θ-容許的雙射ψ：π（k）→π（g），使得k?=g?ψ.用π（f）代替π（k），im g代替im k，從而存在E?θ-容許的雙射ψ：π（f）→π（g），E?-保持的雙射?：im f→im g，使得對任意P∈π（f），g?ψ（P）=k?（P）=?f?（P）且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

（2）?（1）假設(shè)條件（2）成立，只須在半群POPE（X；θ）的某個擴半群中找到k，使得（f，k）∈L，（k，g）∈R.定義映射k：dom f→X，對任意x∈dom f，k（x）=?f（x），顯然k是良定義的，且由f∈POPE（X；θ），?|imf是E?-保持的知k∈PE（X；θ）.任取z∈im f，設(shè)x1，x2∈f-1（z）∈π（f），即f（x1）=f（x2）.k（x1）=?f（x1）=?f（x2）=k（x2），從而存在y∈im k，使得x1，x2∈k-1（y）∈π（k），故π（f）是π（k）的細(xì)化.任取z′∈im k.設(shè)x′1，x′2∈k-1（z′）∈π（k）.這樣?f（x′1）=k（x′1）=k（x′2）=?f（x′2）.因為?|imf是雙射，所以f（x′1）=f（x′2）.故存在y′∈im f，使得x′1，x′2∈f-1（y′）∈π（f），從而π（k）是π（f）的細(xì)化.綜上知π（k）=π（f）.對任意的P∈π（k）=π（f），k?（P）=?f?（P）=g?ψ（P），從而k?=g?ψ且im k=im g，這樣存在E?θ-容許的雙射ψ：π（k）→π（g），使得k?=g?ψ，故根據(jù)引理2.4知（k，g）∈R.用im k代替im g，存在E?-保持的雙射?：im f→im k，使得k=?f且θ|imf和θ|imk是E?-保持的單射，故根據(jù)引理2.3知（f，k）∈L，綜上知（f，g）∈D?.

定理3.5半群POPE（X；θ）上有D?=J?.

證明假設(shè)f，g∈POPE（X；θ）且（f，g）∈D?，則存在半群POPE（X；θ）的某個擴半群T，使得在半群T中，（f，g）∈D.因為X是有限集合，所以T是有限半群，從而是周期半群.根據(jù)引理2.7知，在半群T中（f，g）∈J，從而在半群POPE（X；θ）中（f，g）∈J?，類似可知若在半群POPE（X；θ）中（f，g）∈J?，可推出（f，g）∈D?，故D?=J?.

［1］Pei Huisheng，Zhou Huijuan.Semigroups of partial transformatons preserving an equivalence relation［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2009，38（1）：103-118.

［2］劉振玲.幾類變換半群的正則性及格林關(guān)系［D］.山東：山東師范大學(xué)圖書館，2008.

［3］秦美青.一類變種半群的格林關(guān)系［J］.江南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，11（5）：614-617.

［4］孫壘，裴惠生.一類廣義變換半群的格林關(guān)系［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（1）：73-78.

［5］裴惠生，鄧偉娜.保持序和等價關(guān)系的自然偏序變換半群［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2012，55（2）：235-250.

［6］秦美青，許新齋.保等價部分變換半群的變種半群上的正則元［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（5）：822-827.

［7］裴惠生，鄧偉娜.保持雙向等價關(guān)系的變換半群的若干結(jié)果［J］.西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，34（8）：6-10.

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［9］Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory［M］.New York：Oxford University Press，1995.

The Green′s?-relations on a class of transformation semigroups

Qin Meiqing
（Department of Mathematics，Heze University，Heze274015，China）

In this paper，we study the Green′s?-relations on a class of transformation semigroup POPE（X；θ）.Using the definition of Green′s?-relations，we get the conditions of Green′s?-relations between elements.These results generalize the Green′s relation on the semigroup POPE（X；θ）.

partial transformation，Green′s relation，Green′s?-relations

O152.7

A

1008-5513（2015）05-0480-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.007

2015-02-03.

山東省自然科學(xué)基金（ZR2014AM032）.

秦美青（1982-），碩士，講師，研究方向：半群的代數(shù)理論.

2010 MSC:20M20