賈世元，賈英宏，徐世杰

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

機(jī)械臂的設(shè)計(jì)有多種準(zhǔn)則，大多數(shù)機(jī)械臂是在運(yùn)動(dòng)學(xué)可逆的情況下設(shè)計(jì)的.許多學(xué)者，如Roth和Lee等［1-2］最早開(kāi)始分析機(jī)械臂的工作空間，并將其作為機(jī)械臂設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.文獻(xiàn)［1］討論了給定結(jié)構(gòu)下機(jī)械臂工作空間的形狀，以及根據(jù)工作空間的形狀，如何設(shè)計(jì)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu).Bergamaschi等［3］提出了一種計(jì)算工作空間邊界的方法，并以工作空間的體積為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化了3R型機(jī)械臂.Snyman等［4］為確定平面機(jī)器人工作空間的邊界，提出了一種數(shù)值優(yōu)化算法，計(jì)算了平面Stewart平臺(tái)和具有冗余串聯(lián)機(jī)械臂的工作空間.在工作空間的基礎(chǔ)上，Klein和 Yoshikawa等［5-6］學(xué)者，最早考慮并定義機(jī)械臂的靈巧度和可操作度指標(biāo).平面機(jī)器人的靈巧度一般用“轉(zhuǎn)角范圍法”［7］表示，空間機(jī)器人的靈活度通常采用“工作角法”［8］和“立體角法”［9］表示.Gosselin 和 Angeles［10］則將機(jī)械臂雅克比矩陣的條件數(shù)作為首要考慮因素進(jìn)行機(jī)械臂設(shè)計(jì)，雅克比矩陣的條件數(shù)作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則滿足了機(jī)械臂設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)可逆性要求，同時(shí)也為優(yōu)化機(jī)械臂的路徑規(guī)劃提供了依據(jù)，但它并不適合作為機(jī)械臂設(shè)計(jì)的全局性能指標(biāo).Gosselin和 Angeles［11］又提出了將雅克比矩陣條件數(shù)和工作空間相結(jié)合的機(jī)械臂設(shè)計(jì)全局條件指標(biāo)(Global Conditioning Index，GCI)，GCI是一種基于雅克比矩陣條件數(shù)在整個(gè)機(jī)械臂工作空間上分布的性能指標(biāo)，它可以在整個(gè)工作空間上衡量機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)可逆性.文獻(xiàn)［12］采用基于各向同性條件數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)以最大化其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能;文獻(xiàn)［13-15］以局部條件指標(biāo)［13］或全局條件指標(biāo)［14-15］為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，優(yōu)化設(shè)計(jì)不同構(gòu)型的機(jī)械臂;文獻(xiàn)［16］對(duì)傳統(tǒng)的雅克比矩陣、可操作度及條件數(shù)等優(yōu)化指標(biāo)的意義及不足做了進(jìn)一步的闡述.另外，文獻(xiàn)［17］提出了一種基于任務(wù)導(dǎo)向的可操作度指標(biāo)，該指標(biāo)是任務(wù)點(diǎn)處期望可操作性橢球和實(shí)際可操作性橢球之間的相似性.

隨著工業(yè)機(jī)器人及空間機(jī)器人任務(wù)要求的不斷提高，為滿足機(jī)械臂執(zhí)行多任務(wù)的要求，使機(jī)械臂具有更好的通用性，機(jī)械臂的靈活性和可操作性顯得尤為重要.本文在基于以上設(shè)計(jì)指標(biāo)的基礎(chǔ)上，引入“工作球”［7］的概念，定義了靈活性數(shù)值指標(biāo)，以及姿態(tài)可操作度的算法，提出一種基于機(jī)械臂姿態(tài)可操作度的尺寸優(yōu)化方法.靈活性的數(shù)值定義能夠體現(xiàn)出機(jī)器人末端作用器位置和姿態(tài)在理論上的存在性，且優(yōu)化指標(biāo)容易求取，優(yōu)化算法能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械臂的全局優(yōu)化.

針對(duì)某一構(gòu)型的機(jī)械臂，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法求得機(jī)械臂的單點(diǎn)靈活性，所求得的靈活性體現(xiàn)出了機(jī)械臂工作球上姿態(tài)的存在性;在靈活性指標(biāo)的基礎(chǔ)上，繼而求得機(jī)械臂的姿態(tài)可操作度值，以姿態(tài)可操作度倒數(shù)為目標(biāo)函數(shù)利用遺傳算法對(duì)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并繪制了優(yōu)化前后機(jī)械臂的靈活性工作空間圖，優(yōu)化后的機(jī)械臂能夠在可達(dá)空間中具有較好的可操作性;且優(yōu)化后較優(yōu)化前機(jī)械臂可操作性得到了明顯的提高.

1 靈活性以及姿態(tài)可操作度的定義

機(jī)器人的靈活性可用姿態(tài)概率系數(shù)來(lái)表示.以圖1所示的機(jī)械臂為例，R1、R2和R3為機(jī)械臂的前3個(gè)回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，后3個(gè)關(guān)節(jié)可以看成一個(gè)球鉸，其球心在腕點(diǎn)Pw，末桿繞球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)后3個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng).此時(shí)引入“工作球”的概念，在該機(jī)械臂工作空間內(nèi)設(shè)立直角坐標(biāo)系S(Oxyz)，P1(x1，y1，z1)為工作空間中某一工作點(diǎn)，以該工作點(diǎn)作為球心，以末端桿長(zhǎng)為半徑，所作的球?yàn)椤肮ぷ髑颉?在理想情況下，當(dāng)機(jī)械臂運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其腕點(diǎn)Pw可以到達(dá)該球面上的任意點(diǎn)，并使末桿通過(guò)該點(diǎn)到達(dá)工作點(diǎn)P1.但實(shí)際上，由于結(jié)構(gòu)上的限制，腕點(diǎn)只能到達(dá)球面上的一定區(qū)域，該區(qū)域越大靈活性越好.在球面可達(dá)區(qū)域上采用數(shù)值離散點(diǎn)定義靈活性，表示該類(lèi)機(jī)器人靈活性指標(biāo)可用姿態(tài)概率系數(shù)φ表示，計(jì)算工作點(diǎn)P1靈活性時(shí)，在“工作球”上隨機(jī)取N個(gè)均勻樣本點(diǎn)，腕點(diǎn)能通過(guò)隨機(jī)均勻樣本點(diǎn)使末端點(diǎn)到達(dá)工作點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，此時(shí)定義姿態(tài)概率系數(shù)φ為

圖1 機(jī)器人末桿“工作球”Fig.1 “Working sphere”of robot end-effector

由式(1)可知φ值越大，機(jī)器人靈活性越好，當(dāng)φ=1時(shí)，機(jī)器人靈活性能最好.

根據(jù)機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)［18］可得

式中:i-1Ti為坐標(biāo)系Si與坐標(biāo)系Si-1之間的齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣;若已知機(jī)械臂末端作用器的位置和姿態(tài)，即0Tn已知，則由機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可以求得關(guān)節(jié)空間中的坐標(biāo)值，為求解q1，可用［0T1］-1同時(shí)左乘式(2)的兩端，得

利用兩端對(duì)應(yīng)元素相等，將方程化簡(jiǎn)最終求得q1，由此可以得出一般的遞推步驟［4］為

以式(1)的靈活性姿態(tài)概率系數(shù)只能判斷機(jī)器人在某點(diǎn)的靈活性，不能判斷機(jī)器人在整個(gè)可達(dá)工作空間上的整體操作性能，因此在靈活性的基礎(chǔ)上，定義了機(jī)器人的姿態(tài)可操作度，將可達(dá)操作空間中的點(diǎn)離散化，計(jì)算每一個(gè)離散化的點(diǎn)處的靈活性姿態(tài)概率系數(shù)值，之后加以統(tǒng)計(jì)，最后利用統(tǒng)計(jì)的百分比來(lái)表征姿態(tài)可操作度.即，機(jī)械臂可操作度可定義為一個(gè)標(biāo)量指標(biāo)λ(α)≤100%，其中0＜α≤1，α為姿態(tài)概率系數(shù)φ的值.姿態(tài)可操作度的意義就為:姿態(tài)概率系數(shù)大于α的工作空間占整個(gè)工作空間體積的百分比.例如，λ(0.75)=90%表示姿態(tài)概率系數(shù)α值大于0.75的工作空間占整個(gè)工作空間體積的百分比為90%.顯然，這個(gè)指標(biāo)越大，機(jī)械臂整體可操作性越好.

機(jī)械臂可操作度指標(biāo)的計(jì)算方法為

式中:m為工作空間中所取樣本點(diǎn)φ＞α的點(diǎn)的個(gè)數(shù);M為工作空間中所取均勻樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2 機(jī)械臂尺寸優(yōu)化算法流程

將機(jī)器人的尺寸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化評(píng)價(jià)函數(shù)J(h)最小值求解問(wèn)題，性能指標(biāo)為機(jī)器人姿態(tài)可操作度的倒數(shù):

式中:c為機(jī)械臂優(yōu)化桿長(zhǎng)參數(shù)之和;［limin，limax］為桿長(zhǎng)li的優(yōu)化長(zhǎng)度范圍，i為桿序號(hào).

機(jī)械臂尺寸優(yōu)化算法流程圖如圖2所示.

優(yōu)化算法包括6個(gè)部分:

1)初始化種群，設(shè)定尺寸參數(shù)分布范圍及參數(shù)滿足的要求，設(shè)置進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器ig←0;設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)I;生成K個(gè)體作為初始種群P(0)，其中I和K均為常數(shù)，且初始尺寸參數(shù)作為初始種群中的一個(gè)個(gè)體.

2)機(jī)器人末端作用器工作點(diǎn)及姿態(tài)生成，在工作空間區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成M個(gè)工作點(diǎn)，在每個(gè)工作點(diǎn)上生成一個(gè)“工作球”，在“工作球”上隨機(jī)選取N個(gè)點(diǎn)，工作球上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)到工作點(diǎn)的指向即為一個(gè)姿態(tài).

3)當(dāng)機(jī)器人的末端作用器在期望位置和姿態(tài)時(shí)，運(yùn)用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法求解機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)角的值.

4)計(jì)算性能指標(biāo)，對(duì)每個(gè)工作點(diǎn)根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法求得其姿態(tài)概率系數(shù)，對(duì)姿態(tài)概率系數(shù)大于α的工作點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到機(jī)械臂在整個(gè)工作空間上的姿態(tài)可操作度，繼而取姿態(tài)可操作度的倒數(shù)為性能指標(biāo)，計(jì)算出整個(gè)種群中的個(gè)體評(píng)價(jià)函數(shù).

圖2 機(jī)械臂尺寸優(yōu)化算法流程圖Fig.2 Flow chart of dimensions optimization algorithm for manipulator

5)種群進(jìn)化，在完成評(píng)價(jià)函數(shù)計(jì)算后對(duì)種群內(nèi)個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià)，然后選擇個(gè)體進(jìn)行交叉和變異操作，交叉算子和變異算子均采用固定值交叉概率和變異概率.

6)終止條件的判斷.若 ig＜I，則 ig←ig+1，進(jìn)化到下一代;若ig≥I或ig＜I但滿足設(shè)定終止條件，則輸出最終解，終止計(jì)算.

3 機(jī)械臂尺寸優(yōu)化算法示例

圖3為本文應(yīng)用對(duì)象機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖及桿件坐標(biāo)系圖.其中l(wèi)m和ln為相鄰桿間距.

圖3 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Structure schematic diagram of manipulator

由正向運(yùn)動(dòng)學(xué)式(2)可以求得機(jī)械臂末桿位姿矩陣［18］為

式中:向量 n=［nxnynz］T為法線矢量;o=［oxoyoz］T為方向矢量;a=［axayaz］T為接近矢量，3個(gè)矢量分別描述機(jī)器人末端操作器的姿態(tài);矩陣0R7=［n o a］為坐標(biāo)系S7相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系S0的旋轉(zhuǎn)變換矩陣;p=［pxpypz］T為坐標(biāo)系S7的坐標(biāo)原點(diǎn)o7在基礎(chǔ)坐標(biāo)系S0中的位置矢量.

若已知末桿某一特定的位姿矩陣，為了求解關(guān)節(jié)角 θ1，根據(jù)遞推式(4)可用［0T1］-1同時(shí)左乘式(7)得

化簡(jiǎn)式(8)得

式中:ci=cos θi;si=sin θi;θijk= θi+ θj+ θk，θi、θj和θk分別為第i、j和k個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角;lj為第j節(jié)桿的長(zhǎng)度.

將式(9)左側(cè)第2行第1列、第3列代入方程右側(cè)的第2行第4列并化簡(jiǎn)得

式中:k1=l5ax+l6nx-px;k2=-l5ay-l6ny+py;k3=l1.

由式(9)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的第1行第3列，第3行第3列分別相等，利用雙變量反正切函數(shù)可以求得

由式(9)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的第2行第1列、第2列分別相等有

可以求得

式(13)中第1式兩邊同乘以c6、第2式兩邊同時(shí)乘以s6并相減得

將式(9)中左側(cè)第2行第1列代入到右側(cè)第2行第4列化簡(jiǎn)可以求得

由θ5的正弦和余弦值，利用雙變量反正切函數(shù)可以求得

為了 求 θ2，根 據(jù) 遞 推 式 (4)，可 用［1T2］-1［0T1］-1同時(shí)左乘式(7)得

將式(18)中左右兩側(cè)矩陣中對(duì)應(yīng)位置的對(duì)應(yīng)元素相等可以推導(dǎo)出:

式中:

繼而可以求得

由式(12)、式(19)及式(21)可以求得

機(jī)械臂給定一種工作點(diǎn)位置和姿態(tài)后，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)該工作點(diǎn)位置的隨機(jī)姿態(tài)判斷關(guān)節(jié)空間中的解是否存在，從而求得單點(diǎn)靈活性的姿態(tài)概率系數(shù)，繼而可以求得機(jī)械臂工作空間中的姿態(tài)可操作度.

為保持機(jī)械臂結(jié)構(gòu)原有的特征，不改變機(jī)械臂的自由度布局，選擇機(jī)械臂的桿長(zhǎng)參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，則機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為

式中:l1～l6均為設(shè)計(jì)參數(shù)，與機(jī)械臂對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示，設(shè)計(jì)優(yōu)化參數(shù)范圍為 l1∈［0，0.5］，l2∈［0，1.0］，l3∈［0，1.0］，l4∈［0，0.5］，l5∈［0，0.5］，l6∈［0，0.5］，任意選擇一組優(yōu)化初值為h0=［0.12 0.4 0.9 0.1 0.1 0.15］，初始種群個(gè)數(shù)20，最大進(jìn)化代數(shù)為100，交叉概率0.8，變異概率0.2，優(yōu)化過(guò)程中工作點(diǎn)M的取值為工作空間中的均勻樣本點(diǎn)，其具體值為M=1 200，每個(gè)工作點(diǎn)對(duì)應(yīng)的工作球球面上所取的均勻樣本點(diǎn)為N=600，為使工作點(diǎn)的姿態(tài)概率系數(shù)α≥0.75，則n≥450，優(yōu)化前工作點(diǎn)滿足姿態(tài)概率系數(shù)要求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m=608，優(yōu)化算法結(jié)束條件為適應(yīng)度函數(shù)的平均變化小于10-4，適應(yīng)度函數(shù)為

式中:hL為避免機(jī)械臂自身碰撞的最小安全距離;rL為機(jī)械臂連桿半徑.優(yōu)化后結(jié)果如圖4、圖5所示，圖4所示為適應(yīng)度函數(shù)曲線，圖5所示為桿長(zhǎng)參數(shù)曲線，其中l(wèi)k0和lk分別為連桿優(yōu)化前后的桿長(zhǎng)參數(shù).

圖4 適應(yīng)度函數(shù)曲線Fig.4 Curve of fitness function

圖5 桿長(zhǎng)參數(shù)曲線Fig.5 Parameter curve of link length

算法實(shí)際進(jìn)化代數(shù)為61代，桿的最終優(yōu)化尺寸參數(shù)為 h'=［0.012 0.749 0.768 0.149 0.033 0.059］;優(yōu)化后滿足姿態(tài)概率系數(shù)的工作點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m'=1092，則優(yōu)化前和優(yōu)化后姿態(tài)可操作度為

由優(yōu)化結(jié)果可以看出l1桿縮短，優(yōu)化后長(zhǎng)度接近于零;l2桿長(zhǎng)度增長(zhǎng)，l3桿長(zhǎng)度縮短，優(yōu)化后l2和l3桿的長(zhǎng)度基本相同;l4桿長(zhǎng)度增長(zhǎng)，l5桿和l6桿長(zhǎng)度縮短.機(jī)械臂設(shè)計(jì)時(shí)短桿的長(zhǎng)度應(yīng)盡量縮短，整部機(jī)械臂可以看成由兩節(jié)大臂以及多節(jié)小臂組成，整體構(gòu)型類(lèi)似于人的手臂.

優(yōu)化前后機(jī)械臂靈活性工作空間圖如圖6(a)和圖6(b)所示.顏色條數(shù)值表示工作點(diǎn)姿態(tài)概率系數(shù)的大小;綠色區(qū)域?yàn)闈M足靈活性要求α≥0.75的工作空間，黃色區(qū)域?yàn)樽藨B(tài)概率系數(shù)0.5＜α≤0.75的工作空間，紅色區(qū)域表示姿態(tài)概率系數(shù)α≤0.5的工作空間.由圖6(a)可以看出優(yōu)化前，工作空間的邊緣及內(nèi)部紅色區(qū)域較大，靈活性較差;機(jī)械臂正上方部分區(qū)域?yàn)辄S色，優(yōu)化后黃色區(qū)域變?yōu)榫G色區(qū)域，且工作空間邊緣及內(nèi)部綠色區(qū)域均增大.

圖6 優(yōu)化前后機(jī)械臂靈活性工作空間圖Fig.6 Spatial graph of dexterous workspace of manipulator before and after optimization

其他初始條件不變的情況下，討論優(yōu)化算法中姿態(tài)概率系數(shù)αopt取值大小對(duì)結(jié)果的影響，針對(duì)機(jī)械臂靈活性而言，末端作用器可行姿態(tài)應(yīng)達(dá)到一定范圍.因此，αopt的取值應(yīng)大于0.5，否則算法的研究將不具有實(shí)際意義.優(yōu)化算法中對(duì)αopt取表1中數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果如表1中h'所示，優(yōu)化后不同姿態(tài)概率系數(shù)下的姿態(tài)可操作度值如表2所示.

表1 不同αopt取值的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimal results of different values of αopt

表2 優(yōu)化后不同α下的姿態(tài)可操作度值Table 2 Posture manipulability value of different α after optimization

從表1可以看出，優(yōu)化算法中不同姿態(tài)概率系數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果均趨向于仿人型機(jī)械臂，即機(jī)械臂均由兩節(jié)大臂和多節(jié)小臂組成;從表2可以看出，優(yōu)化算法中姿態(tài)概率系數(shù)αopt取值為0.55、0.65和0.75時(shí)，優(yōu)化結(jié)果在相應(yīng)的姿態(tài)概率系數(shù)下能夠得到較高的姿態(tài)可操作度值，當(dāng)αopt增大到一定程度，優(yōu)化后姿態(tài)可操作度值會(huì)逐漸降低，這與實(shí)際情況是相符的;但優(yōu)化結(jié)果在姿態(tài)可操作度λ'(0.75)下評(píng)價(jià)時(shí)，可以看出優(yōu)化結(jié)果h'(0.55)和 h'(0.95)相對(duì)較差，而優(yōu)化結(jié)果h'(0.75)最好，要使優(yōu)化結(jié)果在不同α下均具有相對(duì)較高的姿態(tài)可操作度，則αopt的取值不能太小也不能太大;另外算法采用數(shù)值仿真，αopt的取值太大，算法容易出現(xiàn)失真，因此優(yōu)化算法中αopt的一般取值范圍為［0.7，0.85］.

4 結(jié)論

本文給出了靈活性的數(shù)值計(jì)算方法，在靈活性的基礎(chǔ)上提出了一種新的姿態(tài)可操作度的概念;以姿態(tài)可操作度的倒數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，利用遺傳算法優(yōu)化了機(jī)械臂的尺寸參數(shù)，使優(yōu)化后的機(jī)械臂靈活性達(dá)到最優(yōu)，優(yōu)化結(jié)果可以得出:

1)機(jī)械臂的設(shè)計(jì)類(lèi)似于人的手臂，由兩節(jié)長(zhǎng)臂及若干節(jié)短臂組成，且兩節(jié)長(zhǎng)臂的長(zhǎng)度相差不大.

2)末端作用器的長(zhǎng)度越短機(jī)械臂的靈活性越好，因此在設(shè)計(jì)機(jī)械臂時(shí)應(yīng)盡量使短臂桿縮短，甚至可以設(shè)計(jì)為零桿.

3)優(yōu)化后的機(jī)械臂靈活性較優(yōu)化前的靈活性提高了40.33%，由此驗(yàn)證了所提出的機(jī)械臂尺寸優(yōu)化算法的合理性和有效性.

4)該算法中還可以加入不同約束條件實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂的尺寸優(yōu)化;還可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的設(shè)計(jì)-優(yōu)化-再設(shè)計(jì)-再優(yōu)化以獲得靈活性較高的機(jī)械臂布局構(gòu)型.因此，本文提出的機(jī)械臂尺寸優(yōu)化方法在工程上具有實(shí)用價(jià)值.

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