蔣曉艷

?

鏈狀卡塔型苯圖的反強迫數(shù)

蔣曉艷

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007）

設(shè)是一個有完美匹配的圖. 若的邊集滿足有唯一完美匹配，則稱為反強迫集. 包含邊數(shù)最少的反強迫集叫做極小反強迫集，其邊的數(shù)目叫做圖的反強迫數(shù). Damir Vukiěevi?等曾給出鏈狀卡塔型苯圖的反強迫數(shù)，但我們發(fā)現(xiàn)該結(jié)論存在問題，本文修正了并完善了鏈狀卡塔型苯圖的反強迫數(shù).

鏈狀卡塔型苯圖；完美匹配；反強迫數(shù)

圖的反強迫數(shù)的概念最初是2007年由Vukiěevi?等[1]在處理有缺陷的苯類化合物的過程中提出的，圖的反強迫集可以看作是圖刪去（破壞）一些邊后僅有的凱庫勒結(jié)構(gòu). 文獻[1]給出的反強迫數(shù)為1，其中是含有個六邊形的苯型平行四邊形，它共有行，每行有個六邊形. 本人研究了硼氮富勒烯圖的反強迫數(shù)[2].

1 鏈狀卡塔型苯圖的反強迫數(shù)

苯圖是平面上連通的、由一系列全等的正則六角形按照任兩個相鄰六角形恰有一條公共邊的方式堆砌而成的. 苯圖是簡單的平面二部圖，苯圖上無界面邊界上的點稱為外點，其他點（若存在）稱為內(nèi)點. 沒有內(nèi)點的苯圖稱為卡塔型苯圖. 每個六角形至多與兩個六角形相鄰的卡塔型苯圖稱為鏈狀卡塔型苯圖，它又可分為線性的和扭結(jié)的兩類，圖1給出含5個扭結(jié)的鏈狀卡塔型苯圖. 定義連結(jié)兩個相鄰六角形中心的線段的長度為一個單元，記一個扭結(jié)中包含單元的數(shù)目為其長度，則圖1中從左往右扭結(jié)的長度分別為2、1、1、1、3. 每個扭結(jié)的長度都是1的鏈狀卡塔型苯圖稱為zigzag型苯圖.

圖1為5的鏈狀卡塔型苯圖以及其扭結(jié)的長度和反強迫數(shù)

定理1是Damir Vukiěevi?等給出的鏈狀卡塔型苯圖的反強迫數(shù).

定理1[3]設(shè)是有個扭結(jié)的鏈狀卡塔型苯圖，則.

我們發(fā)現(xiàn)，在此條件下結(jié)論是不成立的，例如我們很容易看出圖1中集合是苯圖的一個大小為2的反強迫數(shù)，且此鏈狀卡塔型苯圖有5個扭結(jié)；但是，根據(jù)定理1，該圖的反強迫數(shù)應(yīng)為，矛盾. 下面我們給定理1添加一定的條件以得到正確結(jié)論.

圖2為1,2,3的鏈狀卡塔型苯圖的最小強迫集示意圖

圖3 情況1的證明示意圖

圖4 情況2的證明示意圖

綜上，定理3得證.

結(jié)合定理2和定理3可以得到定理4和定理5.

圖5 反強迫數(shù)為的圖的構(gòu)造與證明

定理證畢.

[1] VUKIEEVIC D, TRINAJSTIC N. On the anti-forcing number of benzenoids [J]. J Math Chem, 2007, 42: 575-582.

[2] 蔣曉艷，程曉勝. 硼氮富勒烯圖的反強迫數(shù)[J]. 湖北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013, 33(3): 28-30.

[3] VUKIEEVIC D, TRINAJSTIC N. On the anti-Kekule number and anti-forcing number of cata-condensed benzenoids [J]. J Math Chem, 2008, 43: 719-726.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

The Anti-forcing Number of Chain Cata-condensed Benzenoids

JIANGXiao-yan

(Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou 516007, China)

Letbe a graph that admits a perfect matching. An anti-forcing set ofis the edge setsuch thathas a unique perfect matching. The anti-forcing set of the smallest cardinality is called the minimal anti-forcing set, and its cardinality is the anti-forcing numberof. Damir and Trinajatic gave an anti-forcing number of chain cata-condensed benzenoids, but we find the conclusion has some faults. In this paper, we correct the result and consummate the anti-forcing number of cata-condensed benzenoids.

cata-condensed benzenoids; perfect matching; anti-forcing number

1006-7302（2015）03-0001-04

O157.5

A

2014-12-23

國家自然科學(xué)基金資助項目（11226286）；惠州學(xué)院博士啟動基金資助項目（）.

蔣曉艷（1982—），女，山東青島人，講師，博士，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué).