桂芳

2015年高考是廣西進(jìn)入新課程改革以來的首屆高考，相比去年所使用的全國大綱版考卷，今年所使用的新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題在結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、立意方面都有不同程度的改變和創(chuàng)新.

一、2015年高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題分析

2015年高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題沿襲了2007年以來高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷的結(jié)構(gòu)，對教材不同板塊的考察特點明顯.

（一）試卷結(jié)構(gòu)及試題特點

2015年的新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷有12道選擇題（每題5分），全部為必考內(nèi)容.第Ⅱ卷為非選擇題，含必考和選考兩部分：必考部分有4道填空題（每題5分）和5道解答題（每題12分）；選考部分從選修系列4的“幾何證明選講”“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”與“不等式選講”中各命制1道解答題（每題10分），考生任選1題作答，多做則按所做的第一題給分.

下表為2014年、2015年高考部分全國卷數(shù)學(xué)（理科）試題分析對照表.

由上表可以看出，從對基礎(chǔ)知識的考查來看，今年高考數(shù)學(xué)學(xué)科的考點主要分布在函導(dǎo)數(shù)與方程、數(shù)列與不等式、平面向量、解析幾何、立體幾何和概率統(tǒng)計等高中數(shù)學(xué)知識體系中的六大知識板塊，分值達(dá)125分，凸顯了函數(shù)、數(shù)列、幾何與概率統(tǒng)計三大主干課程，體現(xiàn)了《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科·數(shù)學(xué)）》（以下簡稱數(shù)學(xué)考綱）關(guān)于“既要全面又要突出重點，對于支撐學(xué)科知識體系的重點內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面”的要求.與2014年我區(qū)所使用的全國大綱卷相比，今年的新課標(biāo)卷突出了新課程的內(nèi)容，增加了三視圖、算法、莖葉圖等內(nèi)容的考查.整卷試題以考查高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為主線：理科前8題是考查基本概念和公式的課本變式題；填空題前三題是難度較低的常規(guī)題；解答題前三題分別考查三角、概率統(tǒng)計和立體幾何知識，雖然難度不大，但因所需使用的解題方法不是常用方法，所以屬于中檔題.

從對數(shù)學(xué)思想方法的考查來看，考綱的要求是“從學(xué)科整體意義和思想價值立意，要有明確的目的，加強(qiáng)針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度”.2015年的考卷充分體現(xiàn)了這一點，如理科卷第12、16、21題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，第10、12、21、24題考查了分類討論的思想，第7、11、12、14、23題用到了數(shù)形結(jié)合的思想，而函數(shù)與方程的思想在本卷中更是考查頻繁.

從對數(shù)學(xué)能力的考查來看，考綱強(qiáng)調(diào)：“對能力的考查，以思維能力為核心.全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性，切合學(xué)生實際.”這里的“各種能力”，包括空間想象能力（立體幾何、導(dǎo)數(shù)題）、抽象概括能力（概率、導(dǎo)數(shù)題）、推理論證能力（立體幾何、函數(shù)圖像題）、運(yùn)算求解能力（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題）、數(shù)據(jù)處理能力（概率統(tǒng)計題）以及應(yīng)用意識（立體幾何、解析幾何題）和創(chuàng)新意識（函數(shù)題）等.另外，“知能并舉”是今年高考的命題核心.我們以理科（文科）卷第19題為例加以說明.

如圖1，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；

（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

【試題解析】（Ⅰ）由線面平行和面面平行的性質(zhì)畫平面α與長方體的面的交線，交線圍成的正方形EHGF如圖2；（Ⅱ）由交線圍成的正方形EHGF，計算相關(guān)數(shù)據(jù).以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，并求平面α的法向量和直線AF的方向向量，利用sinθ=|cos<，>|=，求直線AF與平面α所成角的正弦值.

今年高考剛結(jié)束，就有學(xué)生發(fā)帖“吐槽”：“做了三年立體幾何，第一次遇到第一問不用證明平行垂直的.”我們的高考備考，做得最多的就是證明線面、面面平行或垂直.本題第一問立足于長方體中，以“空間想象能力”為核心，綜合線面平行和面面平行的性質(zhì)，考查考生的應(yīng)用意識，體現(xiàn)了高考“強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性”的宗旨.“知能并舉”將是今后命題的核心方向.

（二）試題的三大亮點

1.體現(xiàn)在對統(tǒng)計的考查上.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（以下簡稱數(shù)學(xué)新課標(biāo)）指出：“現(xiàn)代社會是信息化的社會，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價值的信息，并做出合理的決策.”根據(jù)這一思想，新課標(biāo)高考命題也十分注重對統(tǒng)計的考查.如今年理科（文科）卷第3題.

根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖（如圖3）.以下結(jié)論不正確的是（ ）.

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【試題解析】本題以二氧化硫排放量為題材，考查考生對條形圖的理解，以及對數(shù)據(jù)的分析和處理能力.值柴靜《穹頂之下》播出引起熱議之后，該選材從正面宣傳了我國政府治理二氧化硫排放的決心和效果，背景新穎，切合實際.而且，本題所涉及的兩個變量的相關(guān)關(guān)系是高考的冷點，突破了以往對概念的記憶和對散點圖的繪圖考查，注重中學(xué)教學(xué)實際，體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的基本思想和數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求.由柱形圖可知，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D.

以往的大綱卷每年必有一道概率解答題，并且其第一問一定是個體個數(shù)或計算概率.而數(shù)學(xué)新課標(biāo)更注重學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和處理能力，要求學(xué)生“會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷……解決給定的實際問題”.如今年理科卷第18題第一問，考查了莖葉圖、從數(shù)據(jù)中提取平均值與分散程度等問題.

某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）.

【試題解析】（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如圖4：

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶的滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶的滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶的滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶的滿意度評分比較分散.

2.體現(xiàn)在對算法和程序框圖（流程圖）的考查上.算法與程序框圖是新課程增加的內(nèi)容，從2007年第一套新課標(biāo)全國卷問世以來，程序框圖每年必考.今年的程序框圖試題考查了三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，而且背景新穎，源自我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，它將古老的數(shù)學(xué)文化以考題的形式呈現(xiàn)出來，展示了中國古代數(shù)學(xué)在算法上的成就.縱觀近8年來的新課標(biāo)全國卷，算法與程序框圖的命題呈現(xiàn)為兩個階段兩種模式.

（1）第一階段：只考查考生對流程圖三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的掌握.這類考題通常是已知輸入的變量值，求輸出的值.解題的關(guān)鍵是將輸入值代入流程圖.如2011年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）第3題.

執(zhí)行圖5的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（ ）.

A.120 B.720 C.1440 D.5040

【答案】B.

（2）第二階段：不但考查考生對流程圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的掌握，還考查考生對數(shù)學(xué)思想方法的理解.如2012年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）第6題.

如果執(zhí)行圖6的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N≥2）和實數(shù)a1，a2，…，an，輸出A，B，則（ ）.

A.A+B為a1，a2，…，an的和

B.為a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù)

C.A和B分別是a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)

D.A和B分別是a1，a2，…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù)

【答案】C.

又如今年理科（文科）卷第8題.

圖7程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=（ ）.

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B.

程序框圖（流程圖）題展示了數(shù)學(xué)的思想方法，體現(xiàn)了新課程教材編寫者將算法融入高中數(shù)學(xué)的初衷：“應(yīng)該在其他有關(guān)內(nèi)容中注意滲透算法思想，鼓勵學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問題.”

3.體現(xiàn)在對解析幾何的考查上.今年理科、文科卷的解答題第20題都是對解析幾何的考查.只是理科卷的第（Ⅰ）題沒有遵循求標(biāo)準(zhǔn)方程或離心率的常規(guī)套路，而是轉(zhuǎn)向了弦的中點坐標(biāo)問題，考生可采取“點差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解.該題入口寬，起點低，獨(dú)具匠心.第（Ⅱ）題的設(shè)置與平面幾何相結(jié)合，突出了解析法的本質(zhì).本題采用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸以及函數(shù)與方程的思想，考查了考生的思維能力、運(yùn)算能力、圖形分析和處理能力.

二、2016年高考備考建議

很多學(xué)校在高中教學(xué)和高考備考時存在以下問題：高一、高二不注重教材，高三徹底拋開教材；復(fù)習(xí)注重進(jìn)度、不注重效度，多輪復(fù)習(xí)、輪輪夾生；不重視學(xué)習(xí)過程，只關(guān)注解題的方法模式；做題多，但不重視解題后反思.這樣教育出來的學(xué)生，容易成為解題的機(jī)器，而且是解簡單題的機(jī)器，遇中高檔題目將束手無策.那么，我們究竟應(yīng)該如何科學(xué)備考呢？筆者試就本人帶班的實踐經(jīng)驗談?wù)勼w會，供讀者參考.

（一）立足教材，重視基礎(chǔ)

從近幾年的高考試題來看，基礎(chǔ)題居多，并且很多是課本原題的變形，所以抓住課本，就能抓住至少90分.如今年理科（文科）卷第6題.

一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖8，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）.

【試題解析】由三視圖得，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截去四面體A-A1B1D1，如圖9所示，設(shè)正方體棱長為a，則VA-A1B1D1=×a3=a3，故剩余幾何體體積為a3-a3=a3，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D.

這道題是人教版必修2習(xí)題1.3第3題的變式延伸.可見只有注重課本、夯實基礎(chǔ)，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.因此，教師要特別引導(dǎo)學(xué)生掌握好新課程中的內(nèi)容.需要注意的是，對于舊教材中有而新教材已經(jīng)刪去的內(nèi)容，教師沒有必要補(bǔ)充，如兩直線夾角公式、圓錐曲線第二定義及文科數(shù)學(xué)中有關(guān)空間向量的計算等.對于新教材正文中沒有給出定義或者未曾涉及卻出現(xiàn)在課后習(xí)題中的舊教材知識，教師要注意挖掘，及時補(bǔ)充給學(xué)生，如：新教材授課內(nèi)容中沒有給出正四棱錐的定義，但是在必修2第37頁復(fù)習(xí)參考題B組第4題中卻給出了正四棱錐的定義；新教材空間向量授課內(nèi)容中沒有距離的定義，但在選修2-1習(xí)題3.2A組第5題第2問要求求點O到平面ABC的距離，第9題要求求兩異面直線的公垂線的長；等等.

（二）注重思想，重視能力

數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)就是在做思維體操，這項“體操運(yùn)動”的“魂”便是數(shù)學(xué)思想.新課程加強(qiáng)了與“圖”有關(guān)的內(nèi)容，如三視圖、統(tǒng)計圖、程序框圖（流程圖）、函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，這些都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及的是函數(shù)與方程的思想方法。在統(tǒng)計和概率、線性規(guī)劃等應(yīng)用問題中，數(shù)據(jù)處理能力則是決定性的.在教學(xué)中，教師不僅應(yīng)教會學(xué)生“解題”，還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生“悟題”，引導(dǎo)學(xué)生悟出數(shù)學(xué)的思想，數(shù)學(xué)的魂.

（三）關(guān)注反思，重視習(xí)得

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯告訴我們：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與解題緊密相關(guān)，數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而不是數(shù)量，因此教師要注重研究解題的方法和策略.備考的功夫不僅要下在解題上，而且要下在反思上.解題反思能夠有效提高學(xué)生的解題能力，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解，在復(fù)習(xí)時我們可以引導(dǎo)學(xué)生就審題、解題思維過程、一題多解、一解多題、解法規(guī)律、題型變式等進(jìn)行深度反思.解題后的思考不僅是知識的同化和順應(yīng)過程，而且是解題與復(fù)習(xí)的強(qiáng)化、提升過程.

（四）集體備課，成功利器

集體備課可以激發(fā)備課教師的智慧.教師們在集體備課過程中通過交流研討取長補(bǔ)短，獲得理性提升，進(jìn)而指導(dǎo)各自的教學(xué)實踐.集體備課不受時間和內(nèi)容限制，課間10分鐘、晚自習(xí)，一道題的解法、一個知識點的教法，都可以拿來集體研討.

（五）四輪復(fù)習(xí)，分層推進(jìn)

高三的復(fù)習(xí)通常分為四個階段，統(tǒng)稱“四輪復(fù)習(xí)法”.

1.第一輪復(fù)習(xí)：夯實基礎(chǔ)，全面回顧，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).第一輪復(fù)習(xí)是四輪中最細(xì)致、最詳盡也是歷時最長的一輪復(fù)習(xí).數(shù)學(xué)知識如一張大網(wǎng)，每一個知識點就是這張大網(wǎng)上的一個節(jié)點，它們互相聯(lián)系，彼此“照應(yīng)”.在第一輪復(fù)習(xí)中，我們不但要帶領(lǐng)學(xué)生重溫這些知識點，還要幫他們“織”好這張網(wǎng)，讓他們知曉知識的來龍去脈，努力做到融會貫通，對整個高中數(shù)學(xué)知識體系有一個全面的認(rèn)識和把握，以便于在備考應(yīng)考時順利實現(xiàn)知識的存儲、提取和應(yīng)用，同時提高思維品質(zhì).這是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié).例如《立體幾何》一章定理繁多，很多學(xué)生對證明點、線、面的平行垂直關(guān)系不知如何下手，如果在教學(xué)中把立體幾何的定理體系這張小網(wǎng)“織”好了，解題就可以水到渠成了.《立體幾何》定理體系如圖10（見下頁）所示.

俗語說：“萬變不離其宗.”物質(zhì)的表現(xiàn)形式是千變?nèi)f化的，但是隱藏在其中的本質(zhì)卻是不會改變的，只要我們能夠透過物質(zhì)的外表找到不變的內(nèi)在，我們就能做到以不變應(yīng)萬變，決勝高考.在每一章的教學(xué)中，教師自己應(yīng)找到支柱概念，引導(dǎo)學(xué)生掌握重點公式、提煉解題方法.例如針對“平面向量”一章教學(xué)，教師須突出以下幾點。（1）支柱概念：向量的加法（平行四邊形法則）和數(shù)量積的運(yùn)算；（2）解題方法：數(shù)形結(jié)合法和坐標(biāo)法；（3）重要公式：角的計算公式cosθ=和求模公式||2=·.此外，深化“平面向量”一章的學(xué)習(xí)，揭示其思維方法，亦有利于空間向量一章的知識擴(kuò)展.

美國著名教育家、心理學(xué)家布魯納（J.S.Bruner）認(rèn)為，整體把握知識的基本結(jié)構(gòu)有如下好處：（1）掌握結(jié)構(gòu)有助于解釋許多特殊現(xiàn)象，使學(xué)科更容易理解；（2）有助于促進(jìn)知識技能的遷移，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的；（3）有助于縮小高級知識與初級知識的差距.

高考試題有它的基本原則，也有熱點和冷點，但是誰也不能肯定哪個點一定考或不考，如今年理科第3題考查柱形圖、正相關(guān)，第8題考查“更相減損術(shù)”，都是以往比較少見的，因此不能只關(guān)注熱點.第一輪復(fù)習(xí)以“全面、細(xì)致、基礎(chǔ)”為要點.在這一階段，要特別注意培養(yǎng)和提高學(xué)生解答選擇填空題的能力.

2.第二輪復(fù)習(xí)：主攻專項，專題整理，螺旋式上升.布魯納認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基本觀念，必須通過反復(fù)地學(xué)習(xí)，通過在越來越復(fù)雜的形式中加以運(yùn)用，才能不斷加深理解，進(jìn)而逐漸掌握并有效地加以運(yùn)用.根據(jù)螺旋式上升理論，第一輪復(fù)習(xí)不宜過深過難，以建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)為目的；第二輪復(fù)習(xí)則不再重視知識結(jié)構(gòu)的先后順序，而是專題強(qiáng)化訓(xùn)練，目的是提高學(xué)生解答高考大題的能力，同時加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握.第二輪復(fù)習(xí)要關(guān)注高考解答題考查的八大熱點：①數(shù)列；②三角與平面向量；③不等式（解與證，奧賽班上）；④解析幾何；⑤立體幾何；⑥概率、統(tǒng)計；⑦導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用；⑧極坐標(biāo)與參數(shù)方程.此階段以典型例題為載體，以數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用為線索，講求解題策略，在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、完善、綜合、提高，并特別加強(qiáng)對思維品質(zhì)和綜合能力的培養(yǎng)，著眼于知識的重組，建立完整的知識能力結(jié)構(gòu)，包括學(xué)科的方法能力、思維能力、表達(dá)能力，但這都必須建立在識記能力基礎(chǔ)之上，理解知識的來源及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，把握知識的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)探索研究問題的能力.這輪開始要兩手抓，一手抓綜合性選擇填空題訓(xùn)練，一手抓解答題訓(xùn)練.

3.第三輪復(fù)習(xí)：綜合訓(xùn)練，以考促教，提高綜合能力.這一階段以套題為主，教師的講評圍繞上輪的高考熱點知識，并兼顧解題策略，教給學(xué)生一些解題的特殊方法與技巧，以提高學(xué)生的解題速度和應(yīng)試能力.此時，應(yīng)要求學(xué)生做題后積極反思，優(yōu)化解題過程，完善解題表達(dá).同時教師自己要注意研究近三年的高考題，落實到每一個考點，將考點分成熱門考點、冷門考點、高頻考點、低頻考點等，研究考點的考查難度，以此預(yù)測下年度高考命題趨勢，為停課階段的命題訓(xùn)練提供思路.

4.第四輪復(fù)習(xí)：回歸課本，沖刺保溫，調(diào)整競技心態(tài).高考前半個月，復(fù)習(xí)主動權(quán)交回給學(xué)生，教師僅作方向性的指導(dǎo)，學(xué)生回歸課本，再次夯實基礎(chǔ)，進(jìn)一步提煉數(shù)學(xué)思想方法，同時回顧前三輪復(fù)習(xí)的內(nèi)容，提升解題正確率.在這一階段，教師要指導(dǎo)學(xué)生識別陷阱，以及高中數(shù)學(xué)的易錯點，提醒學(xué)生要“見坑跳”不要“見坑鉆”.（注：本文所用高考真題的配圖系按本文用圖順序排序）