【摘要】本文總結(jié)了求解幾種標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法，它們分別是施密特正交化方法、初等變換法、合同變換法和Givens 變換法等方法。

【關(guān)鍵詞】標(biāo)準(zhǔn)正交基 施密特正交化方法 初等變換 合同變換 Givens 變換法

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）10-0155-02

標(biāo)準(zhǔn)正交基是歐氏空間的重要內(nèi)容，在正交變換、二次型的正交線性替換等教學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著重要地位。因此，探究標(biāo)準(zhǔn)正交基的求解方法對(duì)理解標(biāo)準(zhǔn)正交基內(nèi)涵至關(guān)重要。眾所周知，在《線性代數(shù)》課程教學(xué)中，一般采用施密特正交化方法來求解標(biāo)準(zhǔn)正交基，其最大特點(diǎn)就是逐步擴(kuò)充得到正交基，再標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)正交基。構(gòu)造過程層次分明、結(jié)論直觀，但計(jì)算量大，而且也不能清晰體現(xiàn)所求標(biāo)準(zhǔn)正交基與原基間的關(guān)系。本文在討論施密特正交化方法的同時(shí)總結(jié)了另外3種求解標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法，這些方法較前者具有計(jì)算簡單的特點(diǎn)，同時(shí)也有利于更好地理解標(biāo)準(zhǔn)正交基與原基之間的關(guān)系。

設(shè)ε1，ε2，…εn為n維歐氏空間v中的一向量組，如果有（εi，εj）=δij，則稱ε1，ε2，…εn為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。下面，我們探討標(biāo)準(zhǔn)正交基的求解方法。

一、施密特正交化方法

Givens 變換法相對(duì)其他三種方法來講不容易理解和掌握。這是由于該方法需要學(xué)生對(duì)初等旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)變換有一定的了解，而這些知識(shí)點(diǎn)一般在《矩陣論》課程中才涉及到，而在《線性代數(shù)》課程教學(xué)中一般不涉及。Givens 變換法的核心理論基礎(chǔ)還是矩陣的初等變換，只不過是更特殊的初等變換而已。需要指出的是，本文總結(jié)的方法都是已有的方法，它們的理論基礎(chǔ)也是眾所周知的。我們所做的工作就是對(duì)這些方法進(jìn)行了更深入地分析與比較，這或許有助于學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握。

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作者簡介：

朱鳳娟（1972-），女，漢族， 寧夏中寧縣人，碩士，副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)。