劉和剛等

摘 要 本文研究創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)問題， 利用Matlab計(jì)算出木條拼接的平板桌的每根木條的傾斜角，開槽長度，擬合出桌腳邊緣線，并進(jìn)行定量分析，再利用幾何模型，找出木條的傾斜角，開槽長度，木條長度之間的關(guān)系，逐步建立折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計(jì)模型.得到的結(jié)果最里側(cè)木條的傾斜角最大為111.15850，最里側(cè)木條的開槽長度也是最大，為17.8728 cm。最后利用主成分分析降維的方法得出平板桌的桌腳點(diǎn)不僅落在一個平面上，還在一條光滑的二次曲線上。

關(guān)鍵詞 傾斜角 開槽長度 幾何模型 主成份分析

一、研究背景

為達(dá)到節(jié)省空間、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、造型美觀的設(shè)計(jì)理念，某公司準(zhǔn)備生產(chǎn)一種可折疊的桌子。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。兩組桌腿由若干根木條組成，每組各用一根兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上的鋼筋將木條連接，為保證滑動的自由度，沿木條有空槽。

給定長方形平板尺寸為120cm？0cm？cm，每根木條寬2.5cm，若要求連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌面距離地面53cm。如何折疊桌的動態(tài)變化過程，依此給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述是本文的研究課題。

二、研究方案

首先以折疊桌平板狀態(tài)下利用幾何畫板建立直角坐標(biāo)系，從而求得桌腿各木條的長度。當(dāng)然，我們只需研究一組桌腳即可，甚至通過分析可知一組桌腳本身具有對稱性，故我們所求桌腳各木條的長度以折疊桌所有桌腳木條的四分之一為代表。在確定桌腿木條開槽的長度時，簡化三維空間計(jì)算的復(fù)雜性，將其分成各個子模塊：最外側(cè)木條與其余所研究的每根木條所在平面，利用初等幾何法確定出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，通過Matlab軟件擬合這些數(shù)據(jù)，確定出桌腳邊緣線。并在Matlab軟件上進(jìn)行編程模擬出折疊桌的動態(tài)變化過程。

三、研究過程

第一步：以圓桌的圓心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，將圓的半徑等分為10份，作為分割木條的標(biāo)準(zhǔn)，第一根木條與圓的交點(diǎn)為%Z0，%Z1，，第二根木條與圓的交點(diǎn)為%Z1，%Z2，依次，第十根木條與圓的交點(diǎn)為%Z9，%Z10，，為使數(shù)據(jù)更精確，故取相鄰兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平均值為木條切口，di為各木條切口到X軸的距離。從而求出我們所需要的代表性十根木條的長度Li：

x%Zi2+y%Zi2=R2（i=0，1，2，…，10），（R==25cm）di=

第二步：根據(jù)前面所得的di，以最外側(cè)木條與其余所研究的每根木條i=0，1，2，…，10所在平面建立子模塊。通過比較bi與GC的大小，可以判斷木條相對于XOZ平面而言是往外側(cè)靠還是往里側(cè)靠，如果biGC，木條往里側(cè)靠。并且可以求出開槽長度hi（i=0，1，2，…，10）。利用投影，推出公式：GC+OA=G2C2+O`A2，且AG=，H為桌子的高度。由于AF、AP1可以先由已知條件容易計(jì)算出，則

sin∠ACG=，GC=ACtan∠ACG，G2C2=GC+OA-O`A2

tan∠A2C2G2=，A2C2=

∠ACG和∠A2C2G2分別對應(yīng)第一、二根木條與地面的傾斜角度，這樣，可以由上述公式求出第一、二根木條的傾斜角，其他木條的傾斜角也可類似求得，開槽長度的具體計(jì)算如下：b=di+1-d1，JD=Li-L1/2，時，CD=

i=3，4，…，10時，CD=

無論木條往外側(cè)靠還是往里側(cè)靠，CD都可以表示為

于是給出各木條的開槽長度h2的表達(dá)式：

hi=JC=CD-JD=-（Li-L1/2）（i=3，4，…，10）

第三步：根據(jù)第二步中的幾何關(guān)系，可以求得點(diǎn)的空間坐標(biāo)：xP2=xP1-2.5=22.5

xP2=d2+MP1=，

ZP2=-3-DM=-3-

依次可以求其他點(diǎn)的空間坐標(biāo)：xp1=xp1-2.5（i-1）

根據(jù)所求Pi空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)和以上公式，利用Matlab軟件進(jìn)行了編程，求出了傾斜角度、開槽長度和桌腳邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)，模擬出折疊桌的動態(tài)變化過程。

四、研究結(jié)果

利用上述公式，用matlab軟件分別計(jì)算出各種相關(guān)數(shù)據(jù)，限于篇幅，表略。

（1）從計(jì)算結(jié)果看出，從第三根木條開始往里側(cè)靠，木條的開槽長度從外到內(nèi)依次變大，因此最里側(cè)木條的開槽長度最大。

（2）利用Matlab擬合出桌腳邊緣線的曲線，由于上述只對第V卦限進(jìn)行研究，從視圖上初步觀測，該空間曲線比較平緩，于是利用主成分法通過降維，判斷空間的三維點(diǎn)列是否會降到二維平面。

當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨(dú)立的。

利用主成分分析結(jié)果：將桌腳點(diǎn)的三維坐標(biāo)X，Y，Z上的點(diǎn)作為樣本點(diǎn)，共20組，調(diào)用Matlab中的函數(shù)princomp進(jìn)行主成分分析，計(jì)算協(xié)方差的三個特征值為218.7500，44.1224，2.0003。則第一和二主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率為99.24%，因此我們完全相信，桌腳點(diǎn)在一個平面上。

參考文獻(xiàn)：

[1]林佳欣，聶桂平.基于TRIZ理論的折疊家具設(shè)計(jì)研究[M].2014年9月14日.

[2]姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

（作者單位：江漢大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院）