李志新 許迪 李益農(nóng)

摘要 為實(shí)現(xiàn)畦灌施肥技術(shù)參數(shù)的優(yōu)化組合，建立合理的模型工具至關(guān)重要。基于零慣性量模型和一維對(duì)流彌散方程ADE作為畦灌施肥水流和溶質(zhì)運(yùn)移方程，分別利用有限差和特征線法進(jìn)行求解，建立基于特征線法的畦灌施肥地表水流溶質(zhì)運(yùn)移模型。以隱式有限差解法為對(duì)照，對(duì)特征線法引入的數(shù)值誤差狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)。結(jié)果表明，相對(duì)于隱式有限差解法，采取特征線法求解ADE時(shí)引入的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散有顯著減少，基于特征線法的畦灌施肥地表水流溶質(zhì)運(yùn)移模型更合理。

關(guān)鍵詞 畦灌施肥；地表水流；溶質(zhì)運(yùn)移；對(duì)流-彌散；數(shù)值誤差

中圖分類號(hào) S275.3；S153.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 0517-6611（2015）05-084-04

Study on Model of Overland Water Flow and Solute Transport to Border Strip Fertigation Based on Characteristic Curve Method

LI Zhixing1， XU Di2， LI Yinong2

（1. School of Civil Engineering， Guizhou Institute of Technology， Guiyang， Guizhou 550003； 2. National Center of Efficient Irrigation Engineering and Technology Research， China Institute of Water Resources and Hydropower Research， Beijing 100044）

Abstract In order to realize the optimized combination of technical factors of border strip fertigation， it is necessary to establish a reasonable model tool. Based on zeroinertia model as flow equation solved by finite difference method， and 1D ADE as solute transport equation solved by characteristic curve method， a overland flow and solute transport model was established based on characteristic curve method. With finite difference method as contrast method， the numerical errors introduced by characteristic curve method were evaluated. The results suggested that when compared with finite method， the numerical errors introduced by characteristic curve method is obviously smaller， and the model of overland flow and solute transport based on the numerical errors introduced by characteristic curve method should be more reasonable.

Key words Border strip fertigation； Overland water flow； Solute transport； Advectiondiffusion； Numerical errors

基金項(xiàng)目 國(guó)家863計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目課題（2006AA100210）；國(guó)家科技支撐計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目課題（2006BAD11B02）。

作者簡(jiǎn)介 李志新（1976- ），男，江西撫州人，博士研究生，研究方向：地面灌溉技術(shù)。

收稿日期 20141223

畦灌施肥是地面灌溉施肥的一種，預(yù)先將化肥充分溶解，并與灌溉水流，混合實(shí)施液體施撒的新型施肥方式[1-2]。與地面灌溉的傳統(tǒng)氮素化肥施用方式相比，這種施肥方式具有減少能耗、勞動(dòng)力及其對(duì)土壤或作物的擾動(dòng)破壞等優(yōu)點(diǎn)[3]，在國(guó)外已得到越來(lái)越多的推廣應(yīng)用[1-2]，在我國(guó)尚處于起步階段。但是，若缺乏合理的技術(shù)管理措施，該方法在施肥均勻性方面的效果不理想，還會(huì)產(chǎn)生肥料在土壤深層滲漏的問(wèn)題[4]。因此，畦灌施肥研究通過(guò)探討施肥時(shí)機(jī)、入地流量、土壤入滲性能、微地形、坡度等重要技術(shù)要素對(duì)土壤水氮時(shí)空分布的影響[5]，為畦灌施肥系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)管理提供指導(dǎo)。畦灌施肥技術(shù)要素及其組合范圍較寬泛。對(duì)技術(shù)要素組合方案進(jìn)行計(jì)算、評(píng)價(jià)，需要通過(guò)數(shù)十或數(shù)百次的灌溉施肥模擬在較短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。因此，合理的模型是畦灌施肥系統(tǒng)中優(yōu)化管理的理想工具。

Abassi等[6]在對(duì)地面灌施肥進(jìn)行模擬研究中，以圣維南方程和一維對(duì)流彌散方程ADE作為模型水流和溶質(zhì)運(yùn)移控制方程，分別采用有限體積法和CrankNicolson格式隱式有限差進(jìn)行求解，通過(guò)降低網(wǎng)格皮克里特?cái)?shù)（Pe）克服對(duì)流項(xiàng)離散帶來(lái)的數(shù)值震蕩和彌散問(wèn)題。結(jié)果表明，彌散度和輸入溶質(zhì)的濃度對(duì)灌溉施肥均勻性的影響較小。值得指出的是，上述研究中在處理ADE中對(duì)流項(xiàng)離散帶來(lái)的數(shù)值震蕩和彌散問(wèn)題時(shí)，采取降低Pe的方法，對(duì)于時(shí)空網(wǎng)格剖分有嚴(yán)格限制性要求，而實(shí)際中的研究對(duì)象時(shí)空網(wǎng)格剖分細(xì)化程度相當(dāng)有限[7]。特征線法利用有限差求解ADE中彌散項(xiàng)，而利用質(zhì)點(diǎn)追蹤Lagrange法求解ADE中對(duì)流項(xiàng)，最后將兩者組合起來(lái)，能夠有效地解決數(shù)值誤差問(wèn)題，而在網(wǎng)格剖分上沒(méi)有限制[7-8]。

筆者以零慣性量模型和一維ADE作為畦灌施肥水流和溶質(zhì)運(yùn)移方程，分別利用有限差和特征線法進(jìn)行求解，建立畦灌施肥地表水流溶質(zhì)運(yùn)移模型，并將特征線法與作為對(duì)照的隱式有限差解法引入的數(shù)值誤差狀況進(jìn)行對(duì)比分析，以評(píng)價(jià)基于特征線法的畦灌施肥地表水流溶質(zhì)運(yùn)移模型的性能和合理性。

1 地表水流運(yùn)動(dòng)模型

1.1 控制方程及初始和邊界條件 采用的零慣性量模型是由完全水動(dòng)力模型忽略加速度項(xiàng)簡(jiǎn)化而來(lái)的[9]。

qt+qx+I=0

hx=SL-Sf

Sf=q2C2R3

C=1nR1/6（1）

式中，q為入畦水流在任一時(shí)刻的斷面單寬流量，m3/（min·m）；I為單位長(zhǎng)度的入滲率，m3/（min·m）；SL為畦田縱坡；Sf為阻力坡降；h為任意時(shí)刻的田面入流水深，m；n為曼寧糙率；t為時(shí)間坐標(biāo)，min；x為距離坐標(biāo)，m；R為水力半徑，m。

初始條件：

h=0，q=0 （t=0）（2）

左邊界條件：

q=q0 （0

q=0 （t1

h=0，hx=0（t2

右邊界條件：

h=0 （0

q=0 （t3

式中，t1為畦口停水時(shí)間，min ；t2為畦口退水時(shí)間，min；t3為水流前鋒到達(dá)畦尾時(shí)間，min；t4為退水時(shí)間，min；xL為畦長(zhǎng)，m；xa為水流前進(jìn)鋒面到達(dá)位置，m；其他符號(hào)意義同前。

1.2 求解方法 對(duì)零慣性量模型采用有限差數(shù)值求解[10]。首先，構(gòu)造其差分格式，單元格劃分在時(shí)間t軸上采用等步長(zhǎng)，在空間x軸上采用不等步長(zhǎng)，其值為第k時(shí)段δt內(nèi)水流推進(jìn)距離δxk，按此構(gòu)造的單元為一四邊形單元，相應(yīng)的差分方程為非線性方程組，可采用泰勒展開(kāi)式線性化進(jìn)行迭代求解（即牛頓迭代法）。求解參數(shù)有各結(jié)點(diǎn)水深、流量。

由基本模型的邊界條件可知，第一時(shí)段的水流推進(jìn)距離與畦首水深不能用基本方程求解，因此根據(jù)初始條件與能量方程，建立如下方程組來(lái)計(jì)算。

q0t-δx1（h01+β+z01+α）=0（8）

βh0δx1+s0=n2q20h10/30（9）

式中，δx1為σt時(shí)刻的水流前鋒位置，m；β、α分別為反映地表水形狀的冪函數(shù)關(guān)系的指數(shù)和Kostiakov入滲公式中的指數(shù)（無(wú)量綱）；h0為畦首水深，m；其他符號(hào)意義同前。該式也是一非線性方程組，可采用牛頓迭代法求解。

2 地表溶質(zhì)運(yùn)移模型

2.1 控制方程及初始和邊界條件 對(duì)于條形畦田，畦田水流中溶質(zhì)運(yùn)移可用一維ADE方程[11]來(lái)描述。

（hC）t+（qC）x+Ci=x（hDxCx）（10）

式中，h為水深，m；C為溶質(zhì)濃度，g/m3；t為時(shí)間，min；q為單寬流量，m3/（min·m）；x為縱向距離，m；i為入滲速率，m3/（min·m）；Dx為縱向彌散系數(shù)，m2/s。

初始條件：在計(jì)算區(qū)域內(nèi)，給定初始溶質(zhì)濃度分布，即

C（x，t0）=0 （x ∈[0 L]，t0=0）（11）

式中，x為畦長(zhǎng)，m；t0為初始時(shí)刻，min；L為畦田總長(zhǎng)，m；其他含義同前。

邊界條件：分別為給定濃度和給定通量的邊界條件，即

C（x0，t）=C0 （x0=0，t∈[0 T]）（12）

x（hDxCx）-（（qC）x+Ci）|x=L=qL（x=L，t∈[0 T]）（13）

式中，C0為畦首給定邊界濃度條件，g/m3；qL為畦尾給定溶質(zhì)通量邊界條件，m3/（min·m）；其他含義同前。

2.2 求解方法

2.2.1 特征線法。對(duì)式（9）數(shù)值求解采用特征線法[7]。特征線法求解思路的特點(diǎn)是將溶質(zhì)在水流中的對(duì)流和彌散分開(kāi)，分別加以求解，然后疊加起來(lái)。溶質(zhì)在水流中的運(yùn)動(dòng)可視為沿著水流方向以水流速度（u）運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系中的純彌散問(wèn)題。由于對(duì)流作用，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)攜帶初始濃度在一個(gè)時(shí)步（Δt）內(nèi)運(yùn)動(dòng)了Δl=uΔt的距離，同時(shí)由于彌散作用，質(zhì)點(diǎn)濃度改變了Δc，在Δl位置的溶質(zhì)濃度為c=c0+Δc。該濃度又被視為下一個(gè)時(shí)步的初始濃度，還利用彌散作用結(jié)果對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)濃度進(jìn)行修正。然后，可以轉(zhuǎn)入下一個(gè)時(shí)步的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并計(jì)算出該時(shí)步末各位置的溶質(zhì)濃度。

求解具體步驟。首先，剖分研究域成等大小的網(wǎng)格，并放置一定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的初始濃度由初始條件確定。對(duì)于時(shí)間步（Δtk+1），每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在水流的作用下都沿著速度方向運(yùn)動(dòng)一段距離，新的位置通過(guò)對(duì)下式的差分。

ux=dxdt（14）

得到新位置為：

xk+1p=xkp+Δxp=xkp+uxΔtk+1（15）

p=1，2，L，Np；k=0，1，2，L，Nt-1（16）

式中，xk+1p、xkp分別為質(zhì)點(diǎn)p在k和k+1時(shí)間步的坐標(biāo)位置；Np為質(zhì)點(diǎn)總數(shù)；Nt為時(shí)間步數(shù)。

由于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，網(wǎng)格中的質(zhì)點(diǎn)及其濃度將發(fā)生變化。對(duì)于i 網(wǎng)格，由對(duì)流作用在k+1時(shí)間步流入此網(wǎng)格的各質(zhì)點(diǎn)的濃度平均為Ck+1*i，j。

在確定對(duì)流作用引起的濃度改變后，考慮彌散作用、源匯作用等對(duì)濃度改變的貢獻(xiàn)，可由下式特征線微分方程確定。

dCdt=1nbxi（nbDijCxj）+F（17）

通過(guò)對(duì)以上方程的差分，可得到彌散作用和源匯作用等所引起的濃度改變。

ΔCk+1i，j=（ΔCk+1i，j）1+（ΔCk+1i，j）2（18）

因此，在得到對(duì)流引起的濃度改變Ck+1*i，j和彌散作用、源匯作用等所引起的濃度增量ΔCk+1i，j后，可得到對(duì)流彌散方程的解。

Ck+1i，j=Ck+1*i，j+ΔCk+1i，j（19）

2.2.2 對(duì)照的隱式有限差解法。作為對(duì)照的隱式有限差解法主要包括空間域離散、空間一階和二階導(dǎo)數(shù)的差分、時(shí)間域離散、邊界條件施用、差分方程組求解等步驟[6-7]。首先，將一維線形研究域剖分成網(wǎng)格，即差分網(wǎng)格，網(wǎng)格線交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，網(wǎng)眼稱為網(wǎng)格，計(jì)算點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。差分法則以網(wǎng)格中央作為計(jì)算節(jié)點(diǎn)建立差分方程；在此基礎(chǔ)上，微分方程式（9）中的一階、二階導(dǎo)數(shù)用中央差分形式來(lái)表示；通過(guò)時(shí)間域離散，將時(shí)間域進(jìn)行等分，每個(gè)部分稱為時(shí)間步或簡(jiǎn)稱時(shí)步，用k來(lái)計(jì)數(shù)，每個(gè)部分的長(zhǎng)度稱為時(shí)間步長(zhǎng)；時(shí)間域離散之后，求t時(shí)刻數(shù)值解的基本思想是用本時(shí)間步k的已知值Ck來(lái)計(jì)算下一個(gè)時(shí)間步k+1的濃度Ck+1，使用第j個(gè)網(wǎng)格k+1時(shí)間步的濃度Ck+1j代替 Cj，得到微分方程式（9）的FTCS隱式差分格式，進(jìn)而形成以Ck+1j（j=1，2，…，Nx）為未知數(shù)的方程組；在施以邊界條件后，上述線性方程組未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相等，均為Nx個(gè)，可表示為：

[a][c]=（20）

式中，[a]為系數(shù)矩陣；[c]為待求濃度列向量； 為右端項(xiàng)列向量。對(duì)上述方程組求解程序在MATLAB環(huán)境下采用直接解法——追趕法實(shí)現(xiàn)。

3 結(jié)果與分析

為了對(duì)上述2種數(shù)值解法在強(qiáng)對(duì)流條件下求解ADE中所引入的數(shù)值誤差（數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散）進(jìn)行分析對(duì)比，對(duì)一個(gè)測(cè)試問(wèn)題分別進(jìn)行解析求解和數(shù)值求解，解析解作為比較基準(zhǔn)，其中數(shù)值求解分別采用隱式有限差和特征線法，隱式有限差作為對(duì)照數(shù)值解法。通過(guò)將每種數(shù)值解法求解結(jié)果分別與解析解結(jié)果對(duì)比，可以評(píng)價(jià)分析各中數(shù)值求解方法引入的數(shù)值誤差，進(jìn)而對(duì)數(shù)值解法之間的數(shù)值誤差及其方法優(yōu)劣進(jìn)行對(duì)比分析，以評(píng)價(jià)特征線求解法的性能和合理性。

3.1 測(cè)試問(wèn)題 測(cè)試問(wèn)題假定溶質(zhì)運(yùn)移是在一個(gè)等速均勻水流流場(chǎng)中進(jìn)行的，且在初始時(shí)刻水中無(wú)任何溶質(zhì)分布，在初始時(shí)刻開(kāi)始一端連續(xù)注入濃度為C0的保守性示蹤劑，溶質(zhì)的對(duì)流擴(kuò)散是一維的，相關(guān)數(shù)學(xué)模型[7]如下：

Ct=D2Cx2-uCx 0≤x≤+∞，t>0（21）

初始條件：C（x，t）|t=0=0 0≤x≤+∞（22）

邊界條件：C（x，t）|t=0=C0

limx→+∞C（x+t）=0 t>0（23）

式中，C為溶質(zhì)濃度，g/m3；D為彌散系數(shù)，m2/min；x為沿畦長(zhǎng)坐標(biāo)，m；u為水流流速，m/min；t為時(shí)間，min。

3.2 解析與數(shù)值求解

3.2.1 解析解。通過(guò)Fourier變換，可求得上述定解問(wèn)題的解析解[7]。

C（x，t）=12C0[erfc（x-ut4Dt）+exp（x+ut4Dt）erfc（x+ut4Dt）]（24）

式中，erfc（x）為余誤差函數(shù)；其他符號(hào)意義同前。

3.2.2 數(shù)值解。數(shù)值求解方法分別采用特征線法和作為對(duì)照的隱式有限差方法。數(shù)值求解輸入?yún)⒘坑校貉芯坑蜷L(zhǎng)度80 m，空間剖分單元數(shù)（Nx）=200，模擬時(shí)段為25 min，時(shí)步數(shù)（k）=200，水流速度（u）=3 m/min，注入溶質(zhì)初始濃度C0為5 g/m3。

溶質(zhì)運(yùn)移參數(shù)彌散系數(shù)（Kx）用以下公式[10]計(jì)算：

Kx=CeCdngh5/6v（25）

式中，Ce為常數(shù)（無(wú)量綱）；h為水深，m； v為流速，m/min；n為糙率；g為重力加速度，N/kg；Cd為常數(shù)，m0.5/min。文中Ce取值為4，n為0.11，Cd為60 m0.5/min。

3.2.3 求解方法數(shù)值誤差對(duì)比分析。

一個(gè)完整的數(shù)值模型由控制方程、定解條件和求解方法構(gòu)成。在控制方程和定解條件既定的條件下，數(shù)值求解方法的不同影響模型的精度及其優(yōu)劣。該文在相同時(shí)空域網(wǎng)格剖分及其他模型輸入?yún)?shù)相同的條件下，對(duì)采用的特征線法和隱式差分法引入的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散大小進(jìn)行比較分析，以評(píng)價(jià)強(qiáng)對(duì)流條件下求解地表溶質(zhì)運(yùn)移方程ADE采用特征線法的合理性。

作為比較基準(zhǔn)解析解結(jié)果沒(méi)有任何數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散，而數(shù)值解則由于數(shù)值近似存在數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散，因此分別將特征線法和隱式有限差的求解結(jié)果與解析解結(jié)果對(duì)比，分析各自引入的數(shù)值誤差狀況。最后，就各自引入的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)價(jià)特征線法相對(duì)于對(duì)照解法的性能及合理性。

（1）特征線法。

圖1為特征線法與解析解模擬在時(shí)刻t=4、12、20 min時(shí)沿畦長(zhǎng)的地表水流中溶質(zhì)濃度分布狀況。由圖可知，特征線法與解析解模擬結(jié)果吻合性很高，因此特征線法引入的數(shù)值誤差（包括數(shù)值彌散和數(shù)值震蕩）很小，有效克服了強(qiáng)對(duì)流條件下的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散問(wèn)題。在t=12、20 min的過(guò)渡帶（陡坡）曲線上，數(shù)值解曲線坡度略有放緩（比解析解結(jié)果曲線減少的坡度即是數(shù)值方法本身引入的數(shù)值彌散造成的，解析解過(guò)渡帶曲線的坡度才是由物理彌散系數(shù)（D）的真實(shí)反映）。由此可知，隨著時(shí)間的推移，特征線法求解結(jié)果的數(shù)值彌散變得更明顯，但總體上數(shù)值彌散量仍很??；特征線法模擬結(jié)果曲線單調(diào)下降，平滑而無(wú)任何起伏，說(shuō)明該解法不存在數(shù)值震蕩問(wèn)題。

（2）隱式有限差方法。

圖2為隱式有限差方法與解析解模擬在時(shí)刻t=4、12、20 min時(shí)沿畦長(zhǎng)的地表溶質(zhì)濃度分布狀況。由圖可知，隨著時(shí)間的推移，數(shù)值解曲線過(guò)渡帶坡度與解析解結(jié)果差異變得更加明顯，尤其是t=20 min時(shí)曲線，數(shù)值彌散現(xiàn)象較明顯，這是數(shù)值誤差的時(shí)間效應(yīng)形成的；數(shù)值解在溶質(zhì)濃度由高變低的突變處有較大的數(shù)值震蕩現(xiàn)象，與數(shù)值彌散現(xiàn)象相似，數(shù)值震蕩隨著時(shí)間推移明顯增大。由此可知，隱式有限差解法存在的數(shù)值震蕩現(xiàn)象較明顯，同時(shí)引入一定的數(shù)值彌散。

通過(guò)對(duì)特征性法和隱式有限差方法間數(shù)值誤差的對(duì)比分析，可知特征線法求解引入的數(shù)值誤差很小，存在輕微的數(shù)值彌散，而沒(méi)有數(shù)值震蕩現(xiàn)象；而隱式有限差會(huì)產(chǎn)生較明顯的數(shù)值震蕩現(xiàn)象，同時(shí)隱式有限差引入的數(shù)值彌散也較特征線法明顯。因此，在求解畦灌施肥地表溶質(zhì)運(yùn)移方程ADE時(shí)，采用特征線法進(jìn)行數(shù)值求解較合理，能夠有效地解決強(qiáng)對(duì)流條件下數(shù)值求解引入的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散問(wèn)題。

4 結(jié)論

基于零慣量模型和一維ADE分別作為水流和地表溶質(zhì)運(yùn)移控制方程，利用有限差和特征線法進(jìn)行數(shù)值求解，建立一維畦灌施肥地表水流溶質(zhì)運(yùn)移模型。特征線法和對(duì)照解法隱式有限差解法間的數(shù)值誤差對(duì)比分析表明，特征線法能夠更有效地解決數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散問(wèn)題，而隱式有限差方法則引入較大的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散，數(shù)值震蕩現(xiàn)象尤其突出，而且特征線法是借助于Lagrange方法求解對(duì)流項(xiàng)而克服數(shù)值誤差，而隱式有限差方法減少數(shù)值誤差必須通過(guò)細(xì)化網(wǎng)格剖分，在實(shí)際應(yīng)用中網(wǎng)格細(xì)化剖分卻往往受到限制。因此，采用基于特征線法的地表溶質(zhì)運(yùn)移模型顯然更合理。

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責(zé)任編輯 劉月娟 責(zé)任校對(duì) 李巖