黃新生

一、 數(shù)學(xué)教師的困惑

要獲得結(jié)論“三角形的內(nèi)角和等于180°”，可以直接測量三個內(nèi)角求和，也可把三角形的三個內(nèi)角撕下來拼成一平角（或可以通過折紙，把三角形的三個內(nèi)角折成一個平角）。但這些操作有局限性，針對的對象總是具體的三角形，拼折中是否存在誤差不能判斷，需要更為嚴格的數(shù)學(xué)證明。數(shù)學(xué)證明方法可以添加輔助線，利用平行線性質(zhì)去獲得證明。而在實際教學(xué)中， 數(shù)學(xué)教師碰到了一個特殊的證明方法：長方形的四個內(nèi)角都是直角，其和為360°，長方形可分成兩個完全一樣的直角三角形，所以直角三角形的內(nèi)角和就是360°÷2=180°，又因為銳角三角形和鈍角三角形都可以分成兩個直角三角形，所以它們的內(nèi)角和就是180°×2，再減去合并在一起的兩個直角，最后結(jié)論也是180°。因此，任意三角形的內(nèi)角和都是180°。[1]

上述方法是否正確，教師們形成兩種截然不同的觀點。一種觀點認為“從長方形內(nèi)角和出發(fā)去證明三角形內(nèi)角和定理，沒有違背幾何的邏輯體系”。他們在《幾何原本》的卷1中找到定義22（部分）：角是直角且四邊不全相等的四邊形叫做長方形，從而得到長方形內(nèi)角和是360°，認為邏輯推理的起點是合理的，這種方法是可行的。另一種觀點認為“多邊形內(nèi)角和的知識基礎(chǔ)應(yīng)該是三角形的內(nèi)角和定理”。也就是說，我們只有從三角形內(nèi)角和定理出發(fā)，才能去推導(dǎo)出四邊形內(nèi)角和，倒過來證就會犯循環(huán)論證的錯誤。客觀上，教材的處理也是從三角形內(nèi)角和定理去獲得四邊形內(nèi)角和。

二、 關(guān)于特殊證明的初步分析

為什么在教學(xué)中會出現(xiàn)由長方形的內(nèi)角和去獲得結(jié)論？這很大程度上是由于教材編排的緣故，按照知識點出現(xiàn)的順序，教材上是先有長方形的認識，再有三角形內(nèi)角和定理，教師在對結(jié)論“長方形的四個角都是直角”或定義“四個角都是直角的平面四邊形叫長方形”確信無疑的情況下產(chǎn)生了該方法。為了進一步尋求支持，教師以《幾何原本》卷1中的定義22作為邏輯推理的出發(fā)點展開證明，這種支持是乏力的，因為《幾何原本》的公理按現(xiàn)代觀點來看是不夠嚴格的，1899年希爾伯特（D.Hilbert）出版的《幾何基礎(chǔ)》將它嚴格化。我們從作圖的角度來看，要在平面上作一個長方形，只能順次作三個直角，最后一個直角是直接形成的。

為什么教師們要從《幾何原本》上追溯特殊證法的源頭？他們尋求邏輯支撐的行為值得思考。這一定程度反映了教師的柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀，他們認為數(shù)學(xué)是一堆穩(wěn)定而統(tǒng)一的知識，是一套清楚的互相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)及真理，由邏輯及意義把它們聯(lián)系起來。大家都知道，《幾何原本》是用公理化方法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的典范。數(shù)學(xué)公理化的主要目的并不是要求我們通過公理化去現(xiàn)發(fā)數(shù)學(xué)結(jié)論，而是要把已有的數(shù)學(xué)結(jié)論納入到統(tǒng)一的知識結(jié)構(gòu)體系之中。可許多數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得一開始并不都是通過邏輯推理，而是先進行數(shù)學(xué)實驗或猜想，再驗證（證明或反駁）。在實際的三角形內(nèi)角和定理教學(xué)中，實驗方法獲得的結(jié)論為下一階段進一步嚴格證明提供了證明的方向，使人更容易想到要利用平角的定義和平行線的性質(zhì)來證明，整個過程是一個逐漸嚴格化的過程。同樣，不同的數(shù)學(xué)發(fā)展時期對數(shù)學(xué)的嚴謹性理解不盡相同，數(shù)學(xué)的真理性時時受到挑戰(zhàn)，“數(shù)學(xué)不再是絕對真理的集合”這樣的認識目前正在被大家所接受，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能按照公理化的方法演繹數(shù)學(xué)知識。

三、 如何看待數(shù)學(xué)教學(xué)中證明的合理性

康托（G.Cantor）在1883年曾作了這樣的著名論述：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于自由”。數(shù)學(xué)教學(xué)不要用數(shù)學(xué)的嚴謹性禁錮學(xué)生的思想，要讓學(xué)生敢于提出問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)教師要以“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”為基礎(chǔ)來展開證明教學(xué)，教學(xué)的出發(fā)點要始終落實在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上。數(shù)學(xué)教師要明白學(xué)生在不同階段對數(shù)學(xué)結(jié)論會有不同層次的證明，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的非邏輯、非演繹證明，可通過數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)軟件等來促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。

1.證明的合理性不能完全依賴于教材

數(shù)學(xué)課程通常擴大數(shù)學(xué)的公理系，即擴大邏輯推理的起點，增加邏輯推理的依據(jù)，擴大后的公理系不再是獨立的，是不嚴格的。這就降低了數(shù)學(xué)知識推理的難度，讓相同的數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生不同的證明有了更多的可能。人們總是希望數(shù)學(xué)越嚴格越完善就越好?？墒?，我們不能把數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)、公理化后的數(shù)學(xué)一古腦兒呈現(xiàn)給學(xué)生，而是要選擇對學(xué)生來說是有用的數(shù)學(xué)，核心的數(shù)學(xué)。也就是說，教材要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)需要和認知特點，對數(shù)學(xué)內(nèi)容作出選擇和處理。我國數(shù)學(xué)教材常常采用螺旋式遞進的方式編排數(shù)學(xué)內(nèi)容，同一課程標準下有多種數(shù)學(xué)教材，同一個數(shù)學(xué)概念在不同層次、不同版本的教材中表達也會不一樣。因此，教學(xué)中評判證明的合理性不能完全依賴于教材。我們雖然沒有必要讓學(xué)生用公理化的方法重新構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識的大廈，但應(yīng)該讓學(xué)生逐步養(yǎng)成說理的好習(xí)慣。

影響數(shù)學(xué)知識獲取順序的因素比較多，其中知識邏輯順序、知識歷史順序、教材編排順序和教學(xué)設(shè)計順序最終都要通過學(xué)習(xí)者已有的認知結(jié)構(gòu)才能發(fā)揮作用，而且有些順序之間并非是一致的。像數(shù)系擴充的歷史順序是先有無理數(shù)再有負數(shù)，而教材的編排順序是先有負數(shù)再有無理數(shù)，教材的這種安排主要考慮了知識的邏輯結(jié)構(gòu)。但學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程常常具有一定的相似性，這就需要數(shù)學(xué)教師去理清數(shù)學(xué)知識發(fā)展的歷史順序。教材中數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)總是有序的，知識甲到知識乙總是單向的，而知識甲、乙在數(shù)學(xué)知識課程體系中可能會有逆向的通道，先接受（證明）哪個知識點取決于學(xué)習(xí)者（包括教師）已有的數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗。教學(xué)中教師要區(qū)分科學(xué)的數(shù)學(xué)與課程的數(shù)學(xué)、教師自己的數(shù)學(xué)與學(xué)生的數(shù)學(xué)之間的不同。

2.證明的合理性應(yīng)側(cè)重于是否從已知去把握未知

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不都是從一個數(shù)學(xué)結(jié)論的證明到另一個數(shù)學(xué)結(jié)論的證明，通常是先要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，再接受、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，這樣的學(xué)習(xí)過程不可能一廂情愿地按照教材的知識結(jié)構(gòu)順序展開，它總是取決于學(xué)習(xí)者頭腦中已有的知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗。正如韜爾（D.Tall）提出的數(shù)學(xué)證明的三個水平：直觀形象性證明、過程概念性證明和形式化證明，不同的人在相同的數(shù)學(xué)知識證明上表現(xiàn)也會不同。就拿三角形內(nèi)角和定理的證明來說，小學(xué)生會選擇量一量、拼一拼、沿三角形的邊轉(zhuǎn)鉛筆等動手操作的方法，雖然這樣的方法更多的時候是用來發(fā)現(xiàn)知識的，并非是嚴格意義上的證明，但對他們來說這樣做就是一種“證明”。而初中生有平行線方面知識的基礎(chǔ)，會選擇利用平行線性質(zhì)來證明，兩者對數(shù)學(xué)知識證明的水平是不同的。我們不能用同一把尺子去要求不同層次的學(xué)生，教學(xué)中證明的合理性要與學(xué)生的知識層次相適應(yīng)。

在三角形內(nèi)角和定理的特殊證明中，教師們因不同的觀點產(chǎn)生碰撞而困惑，雙方都試圖尋找理由來說服對方，這樣的困惑往往是一個群體的困惑。同樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在一定的學(xué)習(xí)共同體中進行，需要數(shù)學(xué)交流，所學(xué)知識需要學(xué)習(xí)共同體的認可。而證明就是數(shù)學(xué)交流的一種方式，這種交流會受到學(xué)習(xí)共同體認知水平的局限，交流中的數(shù)學(xué)其嚴謹性也是相對的。如果對數(shù)學(xué)知識演繹結(jié)構(gòu)缺乏了解，但已接受結(jié)論“任意兩個完全一樣的直角三角形定能拼成一個長方形”，從而斷定中間結(jié)論“直角三角形的內(nèi)角和為180°”，產(chǎn)生類似于由長方形的內(nèi)角和去獲得三角形內(nèi)角和定理的證明方法，我們沒有必要擔心犯了循環(huán)論證的錯誤，這樣的方法同樣起到了證明所起到的驗證結(jié)論、增強知識理解的作用。我們這里所說的證明，既是數(shù)學(xué)上對結(jié)論對錯的探索，又是人參與的一項求真活動。證明教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從已知去探尋未知，其過程需要遵循一定的規(guī)則，但又不能完全依賴于邏輯，不能固守數(shù)學(xué)知識演繹的方向。

3.證明的合理性需要非邏輯過程的支撐

曾有人給出三角形內(nèi)角和定理獲得的7種證法，讓中學(xué)數(shù)學(xué)教師判斷哪些是數(shù)學(xué)證明。毫無疑問，利用平行線性質(zhì)的歐幾里德證明和畢達哥拉斯證明都是數(shù)學(xué)證明，而直接測量內(nèi)角獲得結(jié)論被認為不是數(shù)學(xué)證明，少數(shù)教師認為利用幾何畫板的動畫功能、撕角拼平角、一個頂點變動到極限位置來獲得結(jié)論是數(shù)學(xué)證明，44%的教師認為由“人繞三角形一周方向改變360°”來獲得結(jié)論是數(shù)學(xué)證明。[2]一般來說，證明基于推理，推理的依據(jù)可來自權(quán)威、案例和規(guī)則。而數(shù)學(xué)證明有特定的含義，需要對數(shù)學(xué)概念下定義，從條件出發(fā)，依據(jù)公理和已證定理，正確使用推理規(guī)則去獲得結(jié)論。小學(xué)階段學(xué)生不可能進行形式上的數(shù)學(xué)證明，他們推理的主要依據(jù)常常來自教師和課本，來自于不完全歸納。他們的證明通常是實驗、實踐證明而不是邏輯證明，他們用并不嚴格的方法發(fā)現(xiàn)、“證明”、解釋數(shù)學(xué)結(jié)論。我們要關(guān)注那些被中學(xué)數(shù)學(xué)教師認為不是數(shù)學(xué)證明的證明方法，正是這些方法成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的內(nèi)容，讓他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更加精彩。

歷史上與現(xiàn)在教師的特殊證明相類似的方法，是英國數(shù)學(xué)史家希思（T.L.Heath）關(guān)于泰勒斯如何獲得三角形內(nèi)角和定理所作的一個推測：等腰三角形（包括等邊三角形）沿底邊上的高分成兩個相同的直角三角形，這兩個直角三角形可拼成一長方形，從中可得直角三角形與等腰三角形的內(nèi)角和，不等邊三角形也可通過補成長方形的方法來獲得其內(nèi)角和。[3]教師的特殊證明方法與希思的方法都涉及到三角形任意性和具體性方面的邏輯問題，在數(shù)學(xué)知識的演繹方向上完全相同，都是在已知長方形的內(nèi)角和為360°的情況下展開推理，只是現(xiàn)在教師的方法側(cè)重于割而不是補，而割的方法更符合人們（特別是小學(xué)生）的認識特點。教師的特殊證明改變了教材上數(shù)學(xué)知識演繹的方向，從長方形、直角三角形內(nèi)角和再到一般的三角形內(nèi)角和，體現(xiàn)了特殊到一般的化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，一定程度上印證了古人的推理方法，還讓小學(xué)生也能去證初中生才能證明的數(shù)學(xué)結(jié)論。用這樣的特殊證明方法（或希思的推測）來設(shè)計今天的三角形內(nèi)角和定理教學(xué)，會帶來意想不到的效果?？傊?，我們不能用數(shù)學(xué)的嚴謹性來扼殺數(shù)學(xué)教學(xué)上的奇思妙想。

參考文獻

[1] 顧志能.“三角形內(nèi)角和”可以這樣教嗎[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2008（6）.

[2] 周超，鮑建生.對中學(xué)數(shù)學(xué)教師證明素養(yǎng)的一次調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（6）.

[3] 汪曉勤.三角形內(nèi)角和定理：從歷史到課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（6）.

【責(zé)任編輯：陳國慶】