石保艮

[摘 要]從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問題。利用帶有未知數(shù)字的式子，來探究學(xué)生的思維方式，是目前研究學(xué)生算術(shù)思維和代數(shù)思維水平發(fā)展的一個(gè)重要途徑。調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，同一年級的學(xué)生主要處于算術(shù)思維水平；不同年級學(xué)生的思維水平存在顯著性差異；男女生的思維水平不存在顯著性差異。

[關(guān)鍵詞]海州地區(qū) 小學(xué)生 算術(shù)思維 代數(shù)思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）29-055

一、調(diào)查背景

從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，是學(xué)生認(rèn)知過程的一次飛躍，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段。2001年，我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，小學(xué)階段應(yīng)安排豐富的代數(shù)學(xué)習(xí)素材，發(fā)展小學(xué)生的代數(shù)思維，促進(jìn)小學(xué)生實(shí)現(xiàn)由算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡?！睹绹鴮W(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中也提到：“通常，學(xué)校數(shù)學(xué)課程要等到初中或高中才明確地包括傳統(tǒng)的代數(shù)，建議在小學(xué)就包括代數(shù)?！?/p>

在參閱文獻(xiàn)的過程中發(fā)現(xiàn)，“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)甚至是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要的部分，而代數(shù)思維的培養(yǎng)更是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中。而在小學(xué)階段，學(xué)生是處在算術(shù)思維水平還是代數(shù)思維水平，或者是從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的階段，很值得研究與探討。因?yàn)樗鼘τ谛W(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)代數(shù)知識以及教師教授代數(shù)方面的知識與技能有著深遠(yuǎn)的影響，甚至直接關(guān)系到學(xué)生能否很好地從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維。成功的過渡在學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將起到至關(guān)重要的作用。

本文主要研究三個(gè)問題：（1）同一年級的學(xué)生主要處于什么思維水平？（2）對于同一問題，不同年級的學(xué)生是否存在顯著性差異？（3）對于同一問題，男、女生之間是否存在顯著性差異？通過本次調(diào)查研究，可以了解海州地區(qū)小學(xué)生當(dāng)前代數(shù)思維的發(fā)展水平，從而有利于教師幫助學(xué)生完成從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用代數(shù)思維來思考數(shù)學(xué)問題。通過本次研究，還可以探究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中影響學(xué)生代數(shù)思維的因素，進(jìn)而開發(fā)學(xué)生的代數(shù)思維能力，實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)的成功跨越。

二、研究方法

（一）問卷設(shè)計(jì)

已進(jìn)行的研究使用了包含加法和減法的數(shù)式填空題。而本研究因?yàn)樯婕叭?、四、五年級學(xué)生，所以問卷中有四個(gè)大題，即第一題加法、第二題減法、第三題乘法和第四題除法，每個(gè)大題又分出三個(gè)小題，總共12道題。

這些題目采用逐層遞進(jìn)的方式進(jìn)行編排，以第一題為例，最開始是含有兩個(gè)未知數(shù)字的數(shù)式填空。

問題1（a）：在空格A和空格B中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使式子成立。

18+ A =20+ B

這樣的式子可以潛在的起到推動(dòng)作用，促使學(xué)生進(jìn)行代數(shù)思維。雖然利用計(jì)算的方法也可以得出正確答案，但是學(xué)生只有超越算術(shù)思維，才能識別出式子中的一般結(jié)構(gòu)關(guān)系，從而認(rèn)識到使用代數(shù)方法來解決真實(shí)世界的問題和數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性。

然后是將前面的式子中的數(shù)字進(jìn)行改換，并給出一個(gè)未知數(shù)字的值，求另一個(gè)未知數(shù)字的值，并要求寫出計(jì)算過程。

問題1（b）：如果用234代替18，236代替20，如果空格A中填了19，那么空格B中應(yīng)該填多少？寫出計(jì)算的過程。

這個(gè)問題能夠從具體的數(shù)字例子中做出正確的數(shù)字概括，這是代數(shù)推理中的關(guān)鍵因素。

最后要求學(xué)生直接寫出兩個(gè)未知數(shù)字之間的關(guān)系。

問題1（c）：當(dāng)式子成立時(shí)，空格A和空格B中所填的數(shù)字應(yīng)滿足什么關(guān)系？

（二）研究樣本

樣本取自江蘇省連云港市海州地區(qū)某小學(xué)，該校學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平在海州地區(qū)乃至全市范圍都具有一定的代表性。

（三）數(shù)據(jù)收集

為了確保問卷的隨機(jī)性，在2012年6月，對學(xué)校三、四、五年級部分班級共478位學(xué)生進(jìn)行了問卷測試，其中男生261人，女生217人，共回收有效測試卷三年級151份，四年級157份，五年級158份，均超過發(fā)放問卷的95%。

（四）數(shù)據(jù)分析

代數(shù)思維水平：我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，代數(shù)思維是指建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力，樹立模型思想。美國NCTM標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，代數(shù)思維是指理解變量、代數(shù)式，方程的概念；用數(shù)字、表格、圖形、文字、方程表示信息，并探究這些表征的相互關(guān)系；使用具體的、非正式的、形式化的方法求解線性方程組、不等式、非線性方程組；使用代數(shù)方法來解決真實(shí)世界的問題和數(shù)學(xué)問題。

算術(shù)思維水平：著重利用數(shù)量的計(jì)算求出答案的過程，這個(gè)過程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計(jì)算性的，甚而建立在直觀上。在算術(shù)思維中，運(yùn)算式的功用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁。處于這個(gè)水平的學(xué)生，他們通過已知量的運(yùn)算得出未知量，通過一系列的、連續(xù)的運(yùn)算得出答案。

以第一大題為例，在問題1（a）中，根據(jù)學(xué)生的演算過程及答案進(jìn)行整理分類，將其所作答案分成6類：2，0；10以內(nèi)其他數(shù)字；20，18；超過10的其他數(shù)字；未作答；答案錯(cuò)誤。

通過事后訪談了解到，答案“2，0”是學(xué)生通過整體的觀察，發(fā)現(xiàn)等式左邊與右邊相差2得到的，答案“20，18”是學(xué)生從等式的性質(zhì)出發(fā)認(rèn)為只要兩邊相等就可以了，所以就把兩個(gè)數(shù)字進(jìn)行簡單交換，因此把答案“2，0”“20，18”歸為代數(shù)思維水平。在訪談中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生先在左邊填入一個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行計(jì)算，得出左邊的數(shù)字，那么，把填入數(shù)字像1、3、4、5等的數(shù)字歸為答案“10以內(nèi)其他數(shù)字”，那么答案“超過10的其他數(shù)字”就很容易理解，自然是11、12、13等這些數(shù)字，把這種通過一邊計(jì)算得出另一邊的行為歸為算術(shù)思維水平；未作答與答案錯(cuò)誤歸類為另外一類。

在問題1（b）中，根據(jù)學(xué)生的演算過程及答案進(jìn)行整理分類，將其所作答案分成7類：兩邊比較差為2；列方程，兩邊同加減或者移項(xiàng)或列方程，先左后右；直接列出等式直接得出答案；左邊求和，再做差，得出17；其他；未作答；答案錯(cuò)誤。

在這個(gè)問題中，同樣進(jìn)行了訪談，了解到學(xué)生得到答案“兩邊比較差為2”也是通過整體地看問題而發(fā)現(xiàn)的，那么這屬于代數(shù)思維水平；而答案“列方程，兩邊同加減或者移項(xiàng)”和“列方程，先左后右”是解方程的一般步驟，自然是屬于代數(shù)思維水平；答案“直接列出等式直接得出答案”也體現(xiàn)整體看問題這一特點(diǎn)，所以也歸為代數(shù)思維水平；答案“左邊求和，再做差，得出17”“其他”體現(xiàn)為算術(shù)思維水平；“未作答”與“答案錯(cuò)誤”自成一類。

在問題1（c）中，根據(jù)學(xué)生的演算過程及答案進(jìn)行整理分類，將其所作答案分成6類：A與B的差為2；A與B的差等于另外兩項(xiàng)的差；A與B之間無明確的數(shù)量關(guān)系；其他答案；未作答；答案錯(cuò)誤。

關(guān)于這個(gè)問題，延續(xù)了問題1（a）中的方法，覺得答案“A與B的差為2”“A與B的差等于另外兩項(xiàng)的差”都是通過左右兩邊同時(shí)看問題從而得到的結(jié)果，那么它們體現(xiàn)了代數(shù)思維水平；答案“A與B之間無明確的數(shù)量關(guān)系”“其他答案”體現(xiàn)為算術(shù)思維水平；“未作答”與“答案錯(cuò)誤”自成一類。

三、調(diào)查分析和研究結(jié)果

所有學(xué)生都完成了加法與減法中的（a）、（b）這兩類問題。三、四、五年級學(xué)生無法完成全部的問題，有的只完成了加減法的問題。不過這仍然為得出結(jié)論提供了足夠的依據(jù)。雖然有的學(xué)生可以利用計(jì)算方法解答（a）部分中的問題，但是（b）、（c）問題仍然可以用來“推動(dòng)”學(xué)生做出結(jié)構(gòu)性的回答。通過這樣的題目，幾乎所有學(xué)生都嘗試描述空格A和空格B中數(shù)字之間的關(guān)系。

（一）同年級學(xué)生主要所處思維水平

從表1中可以看出，在學(xué)生可以得到正確答案的前提下，算術(shù)思維所占人數(shù)以壓倒性的優(yōu)勢超過代數(shù)思維所占的人數(shù)，所以認(rèn)為三、四、五年級的學(xué)生，主要是處于算術(shù)思維水平，但在這12道題目中也有例外，如回答對1（c）、2（c）、3（a）和4（a）這四道題目的學(xué)生出現(xiàn)了代數(shù)思維人數(shù)超越算術(shù)思維人數(shù)的態(tài)勢。所以，筆者針對這四道題進(jìn)行了深入的研究。

通過對1（c）問題的反復(fù)推敲，認(rèn)為可能是因?yàn)?8和20這兩個(gè)數(shù)字比較接近，容易看出兩個(gè)數(shù)字相差2，如果換成比較長的數(shù)字也許學(xué)生就不容易發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系。學(xué)生屬于代數(shù)思維的答案可以歸納為兩類：（1）答案一：空格A與空格B中的數(shù)字相差2；（2）答案二：空格A與空格B中數(shù)字的差等于式子中另外兩個(gè)已知數(shù)的差。但答案一占大多數(shù)，答案二鮮有出現(xiàn)。這一現(xiàn)象可能是因?yàn)?（a）和1（b）兩個(gè)問題中的已知數(shù)都是相差2，從而誤導(dǎo)了學(xué)生。

因?yàn)榧臃ǜ鷾p法運(yùn)用的是一樣的思維方法，學(xué)生們的答案也是跟1（c）相同的兩類，所以在這里不對2（c）做另外的說明。

筆者對問題3（a）的反常現(xiàn)象也做了一些思考。

（1）三、四、五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)因數(shù)這一概念，所以他們能看出12有1、2、3、4、6、12這幾個(gè)因數(shù)，而16有1、2、4、8、16這幾個(gè)因數(shù)，又因?yàn)樯盍?xí)慣，習(xí)慣把12看做3乘以4，把16看做4乘以4，所以發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)相同的因數(shù)——4，為了使等式成立，就容易得出“空格A=4，空格B=3”這一答案。

（2）有些學(xué)生在熟悉等式概念的前提下，喜歡耍小聰明，發(fā)現(xiàn)直接將式子中的兩個(gè)已知數(shù)交換位置填入空格即可，所以又得到了另一種答案——“空格A=16，空格B=12”。

同樣的乘法與除法其實(shí)是一樣的，不過三、四、五年級學(xué)生還不知道這個(gè)道理，可是在問題4（a）中卻得到了與3（a）相似的數(shù)據(jù)，這足以說明學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中也有發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)律。

（二）代數(shù)思維在發(fā)展上的差異

根據(jù)問卷上的12道小題，對各年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平進(jìn)行了分析。根據(jù)表1的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)各年級學(xué)生在每道小題上的數(shù)學(xué)思維水平都表現(xiàn)出顯著性差異。

從總體上看，三年級學(xué)生代數(shù)思維人數(shù)明顯少于四、五年級，而四年級和五年級學(xué)生代數(shù)思維人數(shù)基本持平。由此可見，三年級學(xué)生的思維水平跟四、五年級學(xué)生有著本質(zhì)上的差距，而四、五年級之間差距不大。這符合事物發(fā)展的規(guī)律，也表現(xiàn)出小學(xué)生的思維方式正在從算術(shù)思維向代數(shù)思維緩慢過渡。

（三）男、女生之間代數(shù)思維水平的差異

同樣，根據(jù)學(xué)生對12道小題的作答情況，對男、女生數(shù)學(xué)思維水平差異進(jìn)行了分析，得到了圖1、圖2。

根據(jù)分析結(jié)果可知，男、女生的數(shù)學(xué)思維水平無顯著性差異。選1（a）、1（b）、1（c）小題進(jìn)行具體的分析比較。

在1（a）中，有六種答案，每種答案，男、女生所占比例都非常相近，進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，卡方值為1.024，P值為0.599，大于顯著性水平0.05，因此男、女生在這道題的回答中不存在顯著性差異。

在1（b）中，有六種答案，同樣，每種答案，男、女生所占比例都接近于50%。通過卡方檢驗(yàn)，得到卡方值為6.111，P值為0.047，小于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中存在顯著性差異。

在1（c）中，有五種答案。通過卡方檢驗(yàn)，得到卡方值為1.233，P值為0.540，大于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中同樣不存在顯著性差異。

雖然以上三個(gè)問題中就有一個(gè)問題的數(shù)據(jù)顯示男、女生之間存在顯著性差異，但是在圖2中，可以看到在12個(gè)問題中也只有在問題1（b）、3（b）上表現(xiàn)出男、女生是有差異的，其他都是沒有差異的。綜上可知，男、女生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上不存在所謂的能力差異，這也是符合科學(xué)理論的。

四、結(jié)論

通過本次研究得到了以下三個(gè)結(jié)論：

第一，同年級學(xué)生處在算術(shù)思維水平的占大多數(shù)。不管是三年級、四年級，還是五年級，從總體上看處于算術(shù)思維的人數(shù)具有壓倒性的優(yōu)勢，這可能是因?yàn)槿?、四、五年級都是處于從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的準(zhǔn)備階段。

第二，不同年級學(xué)生在代數(shù)思維水平上具有顯著性差異，并且隨著年級的上升，表現(xiàn)出代數(shù)思維水平的學(xué)生人數(shù)在不斷上升，不過四年級與五年級是處于一個(gè)水平階段的，因?yàn)樗麄儽憩F(xiàn)為代數(shù)思維水平的人數(shù)基本是持平的。

第三，男、女生在代數(shù)思維水平上不存在顯著性差異。這也許可以消除人們對男、女生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)偏見，至少在這個(gè)地區(qū)是這樣的。正如已有的研究表明，男、女生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的性別差異，主要是在社會經(jīng)濟(jì)文化的影響下而產(chǎn)生的。海州地區(qū)是連云港市經(jīng)濟(jì)文化發(fā)達(dá)的中心城區(qū)，本地居民的思想觀念和生活方式都有了長足的發(fā)展，因此從這一個(gè)視角來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)性別差異的消失也是必然的。

五、存在的問題及建議

對于五年級學(xué)生，從總體上看處于算術(shù)思維的人數(shù)仍占多數(shù)，這也造成了六年級學(xué)生在簡單代數(shù)問題的解決中總體表現(xiàn)不佳，分析主要有兩個(gè)原因：第一，教材在代數(shù)學(xué)習(xí)素材上進(jìn)行了整體的構(gòu)建，但是在具體內(nèi)容安排上仍存在問題；第二，教師對教材中的代數(shù)學(xué)習(xí)素材缺乏研究。建議教材在編寫過程中，在低年級學(xué)段多設(shè)滲透代數(shù)思想的內(nèi)容及相關(guān)的題目，加強(qiáng)小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教師的代數(shù)知識培訓(xùn)，強(qiáng)化代數(shù)意識。

對于小學(xué)生而言，從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡并不容易。學(xué)生要順利完成從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，其思維必須經(jīng)歷從數(shù)字到符號、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的飛躍。為此，教學(xué)安排中亦應(yīng)注重代數(shù)思維的符號化、一般化與結(jié)構(gòu)化三個(gè)特征。

（責(zé)編 黃春香）