王　嵐，周霖儀，聶衛(wèi)東

（1.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所，陜西 西安，710075；2.中國(guó)艦船研究院，北京，100192）

一種快速非線性海浪數(shù)值仿真方法

王嵐1，周霖儀2，聶衛(wèi)東1

（1.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所，陜西 西安，710075；2.中國(guó)艦船研究院，北京，100192）

在海面微波散射等海洋軍事研究領(lǐng)域，關(guān)于非線性海浪的數(shù)值仿真問題日益受到重視。在借鑒已有研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種快速的非線性海浪數(shù)值仿真方法，其基本思想是依據(jù)非線性海浪的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)線性仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性修正，從而得到所需結(jié)果。通過采用基于JONSWAP譜的線性濾波并依據(jù)B分布特性進(jìn)行非線性修正的方法對(duì)深水無(wú)破碎二維非線性海浪進(jìn)行數(shù)值仿真。分析表明，該方法能夠快速而有效地模擬非線性海浪，所得仿真數(shù)據(jù)不僅體現(xiàn)了非線性海浪波面位移的偏態(tài)分布特性，而且在波動(dòng)能量分布上，仿真結(jié)果與JONSWAP譜所代表的海浪記錄接近。

非線性海浪；JONSWAP譜；B分布；非線性修正

0　引言

迄今所提出的種種海浪線性模型都是將海浪描述為線性小振幅簡(jiǎn)單波動(dòng)的疊加，并假定作為組成波的這些簡(jiǎn)單波動(dòng)是隨機(jī)而相互獨(dú)立的，

疊加結(jié)果為具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)正態(tài)過程，以此過程描述海浪即構(gòu)成所謂線性海浪模型［1-4］。雖然這種模型具有理論推證完備和應(yīng)用方便等優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)海浪的描述與實(shí)際海浪現(xiàn)象是有偏差的，實(shí)際的海浪振幅相對(duì)于波長(zhǎng)并不小，波面位移的概率分布是偏離正態(tài)的，而這種偏離反映了非線性的存在，可粗略地理解為這種非線性產(chǎn)生于波-波間的非線性相互作用，這種作用導(dǎo)致波-波間的能量轉(zhuǎn)移或產(chǎn)生新的波動(dòng)［5］。非線性海浪的理論研究包括相互聯(lián)系的2個(gè)方面，一是從物理機(jī)制的角度研究波-波間的非線性相互作用；二是研究這種作用所產(chǎn)生的一些偏離正態(tài)的海浪統(tǒng)計(jì)特征，如偏度和峰度等。波-波間相互作用物理機(jī)制的研究在理論和應(yīng)用上都很重要，但將這項(xiàng)研究的方法和結(jié)果直接用于非線性海浪的數(shù)值仿真是困難的。因此，一種可行的方法是根據(jù)海浪的非正態(tài)分布特性直接對(duì)線性仿真的結(jié)果進(jìn)行修正，從而有效地進(jìn)行非線性海浪的數(shù)值仿真。劉新安提出了一種非線性修正方法［6］，其依據(jù)為非線性海浪的A型Gram-Charlier級(jí)數(shù)形式分布［7］；Azed Jean-Pierre在其博士論文中，依據(jù)非線性海浪的B分布采用Monte Carlo法進(jìn)行非線性海浪數(shù)值仿真［8］，研究了其在海面探測(cè)微波散射方面的應(yīng)用。近年來，非線性海浪數(shù)值仿真方面的研究不算活躍，但仍有一些物理或視覺仿真的新方法不斷涌現(xiàn)，在一些綜述性的文獻(xiàn)中有所論及［9-10］。

文中按照上述思想探討了深水無(wú)破碎2D非線性隨機(jī)海浪的數(shù)值仿真，給出了一種基于JONSWAP譜進(jìn)行線性濾波和依據(jù)B分布進(jìn)行非線性修正的仿真方法，通過對(duì)仿真結(jié)果的分析，表明此方法具有快速而有效的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)某些工程實(shí)際問題具有應(yīng)用參考。

2　海浪波面位移的B分布

實(shí)際海浪波面位移的統(tǒng)計(jì)分布是非正態(tài)的，這已被大量海上和實(shí)驗(yàn)室的觀測(cè)結(jié)果所證實(shí)。雖然在一般情況下，以線性模型或正態(tài)過程為近似對(duì)許多實(shí)際問題的研究可以取得良好的結(jié)果，但隨著海洋科技的發(fā)展，特別是海洋遙感和海洋軍事技術(shù)的發(fā)展，正態(tài)過程的近似已經(jīng)不能適應(yīng)需求，因此海浪特征量非正態(tài)分布的研究日益受到重視。M.A.Srokosz對(duì)一水庫(kù)中測(cè)得的風(fēng)浪試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析［11］，發(fā)現(xiàn)波面位移分布與隨機(jī)變量的Pearson分布族中的I型符合得很好［4］，其概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）與M.S.Longuet-Higgins［12］和M.Aziz Tayfun［13］推導(dǎo)的2種形式的非正態(tài)PDF相比較，具有形式簡(jiǎn)單且不會(huì)出現(xiàn)無(wú)意義的局部負(fù)值情況的優(yōu)點(diǎn)，因此應(yīng)用前景較好。Srokosz推導(dǎo)的PDF通過變量代換可化為更為熟悉的B分布形式。下面不采用Srokosz的推導(dǎo)步驟，而以另一種更為簡(jiǎn)便的方法加以推導(dǎo)。

判斷Pearson分布類型的參數(shù)為

其中，Γ函數(shù)由下式確定

對(duì)式（2）作變量代換x=（z-r1）（r2-r1），則得到標(biāo)準(zhǔn)的B分布形式

其中，B函數(shù)由下式確定

與式（10）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)B分布形式的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）為

式（12）即為非線性海浪數(shù)值仿真時(shí)對(duì)線性（正態(tài)）海浪仿真結(jié)果進(jìn)行修正的計(jì)算式。

3　線性（正態(tài)）隨機(jī)海浪數(shù)值仿真的非線性修正

設(shè)線性隨機(jī)海浪的波面位移為η，將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即w=（η-Eη）ση。根據(jù)線性海浪理論，w遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其PDF為

對(duì)應(yīng)的CDF為

依據(jù)文獻(xiàn)［6］的論述，現(xiàn)假定標(biāo)準(zhǔn)化非線性海浪波面位移z與w存在某一函數(shù)關(guān)系：z=g（w）。根據(jù)波數(shù)守恒定律，對(duì)于不破碎波浪，g（w）為單調(diào)上升函數(shù)，則由概率論有

對(duì)式（15）積分，并注意積分限，得

就可以進(jìn)行線性海浪的非線性修正了。由線性海浪的Longuet-Higgins模型［2］易證，2D海浪波面位移為一零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，通過數(shù)值仿真解算出線性海浪瞬時(shí)固定點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化波面位移序列w（tn），然后利用式（16）反推非線性海浪瞬時(shí)固定點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化波面位移序列z（tn），從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中得到具有一定偏度的海浪波面位移的均值Eζ和方差σζ，由標(biāo)準(zhǔn)化運(yùn)算的逆運(yùn)算得到一段時(shí)間內(nèi)固定點(diǎn)非線性海浪波面位移的數(shù)值仿真結(jié)果。

關(guān)于線性海浪的數(shù)值仿真，文獻(xiàn)［14］中有較為詳細(xì)的論述。這里采用線性濾波法進(jìn)行計(jì)算，線性濾波法的最大優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算脈沖響應(yīng)函數(shù)和該函數(shù)與白噪聲的卷積時(shí)可以采用快速（逆）傅里葉變換算法，從而極大提高計(jì)算速度。因?yàn)镴ONSWAP譜的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)較為充分，適用面較廣（甚至在颶風(fēng)條件下仍適用），且考慮了風(fēng)區(qū)參數(shù)，所以選取JONSWAP譜作為成形濾波器。值得注意的是JONSWAP譜表達(dá)式中峰頻前后有一參數(shù)不同，因此在離散化處理時(shí)必須先分兩部分進(jìn)行，而后再合成為一個(gè)整體作傅里葉變換。線性濾波法的理論計(jì)算式為

其中：SJ（ω）為JONSWAP譜；ω為波動(dòng)的圓頻率；W（t）為白噪聲，在實(shí)際計(jì)算時(shí)用程序產(chǎn)生的一系列獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變數(shù)作為離散的白噪聲序列來逼近理想白噪聲。

在MATLAB環(huán)境下計(jì)算6 000個(gè)點(diǎn)（相當(dāng)于約100 min的波面位移記錄）約需1 s，與其他方法比較起來速度非?？?。

4　非線性隨機(jī)海浪數(shù)值仿真結(jié)果分析

數(shù)值仿真計(jì)算前選取JONSWAP譜中的海況參數(shù)（風(fēng)速、風(fēng)區(qū)、峰升因子等），首先得到的是線性結(jié)果，對(duì)線性結(jié)果進(jìn)行非線性修正時(shí)由于缺乏相應(yīng)海況下的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，文中采取了一種簡(jiǎn)便且不影響結(jié)論的折中方法：在海浪弱非線性的理論前提下，選取一定的波面位移分布偏度和峰度，由線性仿真結(jié)果進(jìn)行修正得到的標(biāo)準(zhǔn)化非線性海浪波面位移序列估計(jì)頻譜，將JONSWAP譜峰值除以此譜峰值得到一個(gè)功率（能量）比例系數(shù)，而后將標(biāo)準(zhǔn)化非線性海浪波面位移序列乘以此比例系數(shù)的平方值，這樣便得到了所要的非線性波面位移仿真結(jié)果，這樣處理的前提是非線性修正的波面位移必須與JONSWAP譜所代表的海浪記錄具有相同的波動(dòng)能量。

在線性濾波法計(jì)算中隨機(jī)白噪聲序列體現(xiàn)了海浪的隨機(jī)性，現(xiàn)以任意一次仿真結(jié)果來進(jìn)行分析：選取的風(fēng)速u=19 m/s ，風(fēng)區(qū)x=50 000 m，峰度因子取平均值γ=3.3，圖1顯示了仿真得到的2D線性隨機(jī)海浪波高時(shí)間序列和局部放大圖，圖2和圖3分別為線性和非線性仿真結(jié)果估計(jì)譜S（ω）（稱為實(shí)現(xiàn)譜）與JONSWAP譜的對(duì)比，圖4為非線性修正后的海浪波高時(shí)間序列和局部放大圖。

圖1　線性濾波仿真的2D波面位移序列及其局部放大Fig.1　Two-dimensional elevation of wave surface obtained by linear filtering and the enlarged partial view

圖2　線性實(shí)現(xiàn)譜與靶譜的對(duì)比Fig.2　Comparison between linear simulation spectrum and target spectrum

圖3　非線性實(shí)現(xiàn)譜與靶譜的對(duì)比Fig.3　Comparison between nonlinear simulation spectrum and target spectrum

圖4　非線性修正后得到的2D波面位移序列及其局部放大Fig.4　Two-dimensional elevation of wave surface ob tained by nonlinear correction and the enlarged partial view

線性仿真結(jié)果反映了線性隨機(jī)海浪外觀上和統(tǒng)計(jì)上的特征，即波面位移表現(xiàn)為上下對(duì)稱，其均值為2.2×10-5m，接近零，對(duì)于線性海浪，可以預(yù)見波面位移的偏度和峰度應(yīng)分別為0和3，這2個(gè)參數(shù)線性仿真結(jié)果分別為0.007 1和2.900 5，接近理論值。非線性修正的輸入偏度為0.55，峰度仍為3，輸出為0.558 5和3.033 1，相當(dāng)接近輸入值，波面位移表現(xiàn)為波峰部分陡峭而高，波谷部分平緩而淺，具有明顯的偏態(tài)分布特征。線性和非線性仿真的實(shí)現(xiàn)譜都是標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉譜，前者與JONSWAP譜有一定的偏差，并且每次仿真出現(xiàn)的偏差（如峰頻偏移、多譜峰、高頻部分振蕩等）均不同，這反映了隨機(jī)白噪聲序列的影響，因?yàn)閷?duì)理想白噪聲的逼近本身就帶來隨機(jī)的偏差，值得注意的是非線性實(shí)現(xiàn)譜與JONSWAP譜的吻合程度好于線性實(shí)現(xiàn)譜，這并非偶然的一次結(jié)果，多次重復(fù)仿真都表現(xiàn)出這一特征，一種可能的解釋是：在線性隨機(jī)海浪理論框架內(nèi)提出的JONSWAP譜是半理論、半經(jīng)驗(yàn)的，雖然不是嚴(yán)格的傅里葉譜，但也是通過線性的統(tǒng)計(jì)方法擬合得到的，作為其數(shù)據(jù)來源的實(shí)際海浪觀測(cè)記錄本身就具有非線性（在統(tǒng)計(jì)上主要指偏態(tài)分布）的因素。因?yàn)榉蔷€性數(shù)值仿真的結(jié)果比線性仿真結(jié)果更為接近實(shí)際海浪，所以非線性實(shí)現(xiàn)譜也應(yīng)更為接近JONSWAP譜。

5　結(jié)束語(yǔ)

非線性隨機(jī)海浪數(shù)值仿真的應(yīng)用正日益廣泛，但其中理論上和技術(shù)上還有許多沒有克服的困難。文中以一種簡(jiǎn)便的方法對(duì)非線性的深水二維無(wú)破碎風(fēng)浪進(jìn)行了數(shù)值仿真，分析表明，數(shù)值仿真結(jié)果在統(tǒng)計(jì)意義上較為接近實(shí)際狀況，非線性實(shí)現(xiàn)譜與JONSWAP譜吻合較好，也表明仿真結(jié)果在波動(dòng)能量分布上與JONSWAP譜所代表的海浪記錄接近，達(dá)到了預(yù)期的效果。同時(shí)，仿真計(jì)算簡(jiǎn)便快速，可為一些工程應(yīng)用提供參考。

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（責(zé)任編輯：許妍）

A Fast Simulation Method for Nonlinear Ocean Wave

WANG Lan1，ZHOU Lin-yi2，NIE Wei-dong1
（1.The 705 Research Institute，China Shipbuilding Industry Corporation，Xi′an 710075，China；2.China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China）

Great emphases have been put on simulation of nonlinear ocean wave in some navy projects.This paper presents a fast method for simulating nonlinear ocean wave in deep sea.The basic idea of this method is to nonlinearly correct the linear simulation data according to the statistic characteristics of nonlinear ocean wave.First，a white noise is filtered by JONSWAP filter to obtain linear result.Then，the linear result is corrected to nonlinear one based on B-distribution characteristics to simulate the blue water two-dimensional unbroken wave.The wave data computed by this method shows the non-normality of real ocean wave.The power spectrum estimated from the nonlinear result is fairly close to JOSWAP spectrum，which indicates that the simulated wave energy distribution accords with the real wave data.

nonlinear ocean waves；JONSWP spectrum；B-distribution；nonlinear correction

P731.22；E993.1

A

1673-1948（2015）04-0316-05

2015-04-01；

2015-06-04

王嵐（1971-），女，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)轸~雷總體設(shè)計(jì)技術(shù)、控制技術(shù)等.