郭輝，項(xiàng)云飛，趙寧

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基于碟形砂輪磨齒的面齒輪齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)方法

郭輝，項(xiàng)云飛，趙寧

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安，710072)

基于局部綜合法、雙層優(yōu)化法以及碟形砂輪展成磨削原理，提出面齒輪齒面的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法。通過砂輪齒廓修形參數(shù)的優(yōu)化獲得預(yù)設(shè)幅值和形狀對稱的傳動(dòng)誤差函數(shù)；通過對砂輪的多軸數(shù)控運(yùn)動(dòng)控制獲得預(yù)期的齒向修形模式。研究結(jié)果表明：該方法使設(shè)計(jì)人員能夠按照要求的傳動(dòng)性能來設(shè)計(jì)面齒輪齒面的形狀，并可在數(shù)控磨齒機(jī)上進(jìn)行加工；齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)能保證面齒輪副的傳動(dòng)誤差和接觸路徑滿足預(yù)先設(shè)計(jì)的要求。

面齒輪；主動(dòng)設(shè)計(jì)；碟形砂輪；磨齒；接觸印痕；傳動(dòng)誤差

面齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、安裝調(diào)整方便、傳動(dòng)比大的優(yōu)點(diǎn)[1]。據(jù)報(bào)道，已應(yīng)用于直升機(jī)的主傳動(dòng)系統(tǒng)與弧齒錐齒輪相比，能顯著降低分扭傳動(dòng)系統(tǒng)的重力并提高承載能力。在面齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)與加工方面，國內(nèi)外已有不少學(xué)者進(jìn)行相關(guān)研究。為了獲得傳動(dòng)穩(wěn)定性并避免邊緣接觸，Litvin等[2]提出了使用碟形砂輪對直齒面齒輪傳動(dòng)中的小齒輪進(jìn)行雙冠修形的方法，實(shí)現(xiàn)預(yù)置拋物線傳動(dòng)誤差，消除齒頂邊緣接觸，同時(shí)使接觸軌跡發(fā)生傾斜，增大了重合度，但當(dāng)有安裝誤差時(shí)會(huì)出現(xiàn)不一致的接觸橢圓和不均勻接觸線移動(dòng)。Zanzi等[3]研究了通過碟形砂輪對小齒輪進(jìn)行雙冠修形的方法，控制修形因數(shù)和磨齒加工運(yùn)動(dòng)參數(shù)來改變面齒輪接觸印痕的位置和方向，并獲得拋物線傳動(dòng)誤差。Tsay等[4]基于鍛造成型技術(shù)對面齒輪齒面進(jìn)行雙向修形，該方法可以靈活地控制接觸印痕的傾斜角度和重合度以及傳動(dòng)誤差幅值，但不適合于齒輪切削加工。采用碟形砂輪[5?6]磨削面齒輪具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)制造方便且不受面齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)限制的優(yōu)點(diǎn)。郭輝 等[7]在5坐標(biāo)曲面磨床上利用碟形砂輪進(jìn)行了面齒輪的磨削實(shí)驗(yàn)，齒面偏差達(dá)到了21 μm以下。Tang等[8]研究了利用碟形砂輪磨削修形面齒輪的原理，擴(kuò)展了其應(yīng)用。此外，Wang等[9?10]采用了輪齒承載接觸分析的方法來研究面齒輪的嚙合特性。吳訓(xùn)成等[11]提出了基于功能需求的齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，可以直接設(shè)計(jì)齒面嚙合過程中的接觸跡線、接觸橢圓長軸尺寸及傳動(dòng)的高階加速度。彭先龍等[12]通過構(gòu)造圓柱齒輪拓?fù)湫扌锡X面的方式對面齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)設(shè)計(jì)，預(yù)設(shè)了接觸性能。本文提出點(diǎn)嚙合面齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法：以傳動(dòng)誤差曲線和接觸印痕等指標(biāo)為目標(biāo)，采用雙層優(yōu)化法和局部接觸綜合法，通過對5軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨齒機(jī)加工參數(shù)的設(shè)計(jì)調(diào)整，保證加工出的齒面在整個(gè)嚙合過程中滿足預(yù)置的傳動(dòng)誤差和接觸印痕要求，從而實(shí)現(xiàn)對齒面嚙合質(zhì)量的全程控制。

1 碟形砂輪磨削面齒輪的原理

1.1 面齒輪磨齒的展成運(yùn)動(dòng)

碟形砂輪加工面齒輪的磨齒原理如圖1所示。從圖1可見：碟形砂輪在2個(gè)不同時(shí)刻的位置，其中面齒輪與虛擬小齒輪相嚙合，虛擬小齒輪與碟形砂輪齒形相配合，因此，碟形砂輪能夠與面齒輪正確嚙合。為了應(yīng)用這種加工方法磨削面齒輪，所用碟形砂輪的軸截面齒廓應(yīng)該與虛擬小齒輪的端面齒廓一致。在磨削面齒輪時(shí)，緩慢變化砂輪的安裝角并將軸和軸插補(bǔ)，此時(shí)砂輪的軸截面齒廓便可看作1個(gè)旋轉(zhuǎn)的很薄的小齒輪。與此同時(shí)，面齒輪按照傳動(dòng)比規(guī)律繞其回轉(zhuǎn)軸作相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，從而模擬了面齒輪與1個(gè)很薄的小齒輪之間的嚙合，即展成運(yùn)動(dòng)。

圖1 碟形砂輪的磨齒加工原理圖

1.2 磨齒進(jìn)給運(yùn)動(dòng)

由于所用碟形砂輪的軸截面齒廓與虛擬小齒輪的端面齒廓一致，這樣在某個(gè)加工位置，碟形砂輪與虛擬小齒輪之間形成線接觸，而虛擬小齒輪和面齒輪之間也為線接觸，此時(shí)碟形砂輪與面齒輪之間為點(diǎn)接觸，接觸點(diǎn)為2條接觸線的交點(diǎn)。

為了實(shí)現(xiàn)對面齒輪整個(gè)齒面的包絡(luò)，需要面齒輪在2個(gè)方向上進(jìn)行進(jìn)給。本文作者采取的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)為：固定機(jī)床的軸角度，讓砂輪在虛擬小齒輪軸線方向上(圖1所示軸方向)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)砂輪模擬某個(gè)時(shí)刻處的虛擬小齒輪齒面(若虛擬小齒輪為斜齒輪，在碟形砂輪作平行于機(jī)床軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)，砂輪應(yīng)繞機(jī)床軸轉(zhuǎn)動(dòng)?，面齒輪也應(yīng)做相應(yīng)的補(bǔ)償轉(zhuǎn)動(dòng))，碟形砂輪在面齒輪齒寬方向上連續(xù)磨削1次，形成面齒輪齒面上的1個(gè)帶狀區(qū)域；然后改變砂輪安裝角度，再次讓砂輪沿面齒輪齒寬方向上連續(xù)磨削，則可以形成一系列帶狀區(qū)域，由這些帶狀區(qū)域構(gòu)成面齒輪的整個(gè)齒面。砂輪中心的沿齒寬方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，獨(dú)立于砂輪改變安裝角的展成運(yùn)動(dòng)。

2 面齒輪的齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)

采用碟形砂輪展成加工面齒輪，并進(jìn)行齒面雙向修形，以實(shí)現(xiàn)對面齒輪齒面接觸印痕和傳動(dòng)誤差的控制。其中，傳遞誤差由對碟形砂輪的齒廓修整來實(shí)現(xiàn)，齒向修形即承載接觸的局部化通過控制碟形砂輪中心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來實(shí)現(xiàn)。

2.1 碟形砂輪軸截面齒廓的修形

圖2所示為碟形砂輪的軸截面齒廓。碟形砂輪加工面齒輪的工作面是1個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面，其產(chǎn)形線為軸截面齒廓(如圖2中粗實(shí)線所示)，它與虛擬小齒輪的端面齒廓相同。

圖2 碟形砂輪的軸截面齒廓

圖3所示為碟形砂輪軸截面齒廓的修形。從圖3可見：未修形的碟形砂輪1側(cè)的軸截面齒廓是1條漸開線，記為。在坐標(biāo)系s中其位矢和法矢可表示為

(2)

式中：s和s分別為法截面齒廓上每點(diǎn)的位置矢量及法向量；為漸開線展角參數(shù)；為漸開線初始角；bs為虛擬小齒輪的基圓半徑。

圖3 碟形砂輪軸截面齒廓的修形

圖4所示為砂輪軸截面齒廓的修形拋物線。從圖4可見：對碟形砂輪軸截面的齒廓沿法線方向按拋物線規(guī)律修形，即齒廓上任意點(diǎn)s處的修形量為

其中：sp為上修形參考點(diǎn)的位矢；cs為修形系數(shù)，用于控制修形程度。

修形后碟形砂輪軸向齒廓g的方程為

2.2 修形碟形砂輪齒面方程

圖5所示為砂輪齒面生成坐標(biāo)系。從圖5可見：將前面修形后的砂輪齒廓表示在坐標(biāo)系f下，再將其繞d軸旋轉(zhuǎn)則可以得到砂輪的齒面。坐標(biāo)系d與砂輪固聯(lián)，坐標(biāo)系c和s與虛擬小齒輪固聯(lián)，f為輔助坐標(biāo)系，為砂輪齒面旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

(a) 碟形砂輪截面圖；(b) 截面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖

前面修形砂輪齒廓在坐標(biāo)系S下的方程為

式中：cs為從坐標(biāo)系s到坐標(biāo)系c的坐標(biāo)變換矩陣，為半個(gè)齒距角。

砂輪齒面方程可表示為

式中：dc為從輔助坐標(biāo)系c到碟形砂輪坐標(biāo)系d的坐標(biāo)變換矩陣。

2.3 砂輪包絡(luò)面齒輪的坐標(biāo)系統(tǒng)

砂輪加工面齒輪的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖6所示。從圖6可見：2與面齒輪固聯(lián)；d與碟形砂輪固聯(lián)；t與虛擬小齒輪固聯(lián)；m，a和g為輔助坐標(biāo)系；m和a與機(jī)架固聯(lián)；和分別為碟形砂輪和面齒輪的轉(zhuǎn)角，，2s為給定的傳動(dòng)比；0為面齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)2到虛擬小齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)t的距離；g為碟形砂輪中心的齒向位置參數(shù)(即進(jìn)給運(yùn)動(dòng)參數(shù))；d為砂輪中心到虛擬小齒輪中心的距離；?與?分別為砂輪在進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)，砂輪中心在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d的d軸和d軸方向作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)的進(jìn)給量。

(a) 產(chǎn)形齒輪與面齒輪之間的坐標(biāo)關(guān)系；(b) 砂輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

2.4 無齒向修形的面齒輪齒面

若不考慮齒向修形，即在砂輪作進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)砂輪中心在d軸和d軸方向不作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)，通過砂輪雙參數(shù)包絡(luò)的面齒輪齒面記為。在坐標(biāo)系2中碟形砂輪齒面的曲面族可表示為

式中：2d為d到2的坐標(biāo)變換矩陣；和為砂輪齒面參數(shù)；g為砂輪沿小齒輪軸向運(yùn)動(dòng)參數(shù)；為砂輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度參數(shù)。

砂輪與面齒輪間的嚙合點(diǎn)必須同時(shí)滿足下面的嚙合方程：

(9)

2.5 齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)與砂輪運(yùn)動(dòng)控制

圖7所示為面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影。從圖7可見：將齒向未修形面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影在1個(gè)通過面齒輪軸線2的平面上，并在齒面上預(yù)置1點(diǎn)來控制接觸路徑的位置。點(diǎn)可以由以下2個(gè)條件確定：1)點(diǎn)位于面齒輪齒寬中點(diǎn)；2) 在齒面包絡(luò)過程中點(diǎn)與砂輪修形參考點(diǎn)相嚙合。以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立投影坐標(biāo)系g，則面齒輪齒面上任意1點(diǎn)在g中的投影坐標(biāo)為

式中：2，2和2為齒面上任意一點(diǎn)在2中的坐標(biāo)，2m，2m和2m為點(diǎn)在2中的坐標(biāo)。

圖7 面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影

Fig. 7 Face gear profile for coordinate system

根據(jù)Litvin等[13]提出的局部接觸綜合法，可以通過預(yù)置的位置及接觸路徑的方向，確定1條完整的接觸路徑，并通過調(diào)整機(jī)床加工參數(shù)，改善嚙合和接觸的狀態(tài)。這里引入傾斜角參數(shù)控制接觸路徑的方向，則接觸路徑上任1點(diǎn)M滿足

從圖7還可見：在瞬時(shí)接觸線L上另取1點(diǎn)K，使K距M的距離為F，F為預(yù)置接觸橢圓長軸長度。用與M同樣的方法求出點(diǎn)，再獲得K點(diǎn)處的面齒輪齒面法向量，表示在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d下為，表示砂輪與面齒輪在K相接觸時(shí)對應(yīng)砂輪齒面的法向量。

通過沿面齒輪齒面上的瞬時(shí)接觸線L方向?qū)X面進(jìn)行齒向修形。以M點(diǎn)為拋物線修形頂點(diǎn)，取K處的法向修形量為，這里取GLEASON公司推薦值0.007 62 mm[4]。為了達(dá)到修形效果，在砂輪沿齒向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)過程中，令砂輪中心在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d的d軸和d軸方向作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。

引入碟形砂輪中心的補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)可表示為

式中：f為齒向修形拋物線系數(shù)；為修形方向參數(shù)；g0為拋物線頂點(diǎn)位置參數(shù)。

已知K點(diǎn)處的法向修形量為，將其分解到齒面上該點(diǎn)法向量dki的各個(gè)方向上。則有

其中：gki與gmi分別是K點(diǎn)和M點(diǎn)對應(yīng)的砂輪齒向運(yùn)動(dòng)參數(shù)；dkix與dkiz是砂輪與面齒輪在K點(diǎn)接觸時(shí)砂輪齒面的法向量分量。

則可以確定3個(gè)拋物線運(yùn)動(dòng)參數(shù)

根據(jù)上述3個(gè)參數(shù)控制砂輪中心的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以將砂輪擺角為時(shí)對應(yīng)的面齒輪齒面上瞬時(shí)接觸線L以M點(diǎn)對稱修形。依次變化砂輪安裝角度，控制砂輪進(jìn)給并在和軸上作補(bǔ)償修形運(yùn)動(dòng)，則可實(shí)現(xiàn)預(yù)期方式的齒向修形，得到齒向修形后面齒輪齒面。

3 優(yōu)化傳動(dòng)誤差

3.1 輪齒接觸分析

輪齒接觸分析是將2個(gè)連續(xù)嚙合齒面的嚙合過程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，以獲得2齒輪的嚙合性能。圖8所示為齒面接觸分析坐標(biāo)系統(tǒng)。圖8中：1和2分別與標(biāo)準(zhǔn)小齒輪和面齒輪固聯(lián)；f為整體固定坐標(biāo)系；a和b為兩輔助坐標(biāo)系；?為面齒輪的軸向安裝誤差；?為偏置誤差；為軸交角誤差。

(a) 坐標(biāo)系S1與Sf；(b) 坐標(biāo)系S2與Sa； (c) 坐標(biāo)系Sa與Sb；(d) 坐標(biāo)系Sb與Sf

通過坐標(biāo)變換將修形面齒輪和小斜齒輪變換到坐標(biāo)系f下，則有

根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，修形面齒輪和圓柱齒輪進(jìn)行點(diǎn)嚙合傳動(dòng)，在嚙合傳動(dòng)過程中滿足以下方程：

(16)

在上述的方程中，可以通過分解得到包含7個(gè)方程的非線性方程組，通過給定一系列，代入方程組(16)進(jìn)行求解，則可以得到每1個(gè)相對應(yīng)的和。

3.2 傳動(dòng)誤差曲線優(yōu)化

由于實(shí)際傳動(dòng)誤差曲線一般為2次以上(含高階項(xiàng)，如3次項(xiàng)、4次項(xiàng))曲線，因此，難以通過雙參數(shù)控制實(shí)際傳動(dòng)誤差與預(yù)置傳動(dòng)誤差曲線的吻合，本文通過雙層優(yōu)化法對傳動(dòng)誤差曲線進(jìn)行優(yōu)化。在內(nèi)層優(yōu)化中，使傳動(dòng)誤差曲線2側(cè)幅值盡可能相等，因而建立幅值對稱度目標(biāo)函數(shù)：

圖9 傳動(dòng)誤差曲線優(yōu)化

Fig. 9 Optimization for transmission errors curve

在外層優(yōu)化中，令傳動(dòng)誤差曲線最大幅值等于預(yù)設(shè)值，可通過拋物線形狀優(yōu)化參數(shù)來調(diào)節(jié)傳遞誤差曲線的幅值。建立幅值吻合度目標(biāo)函數(shù)：

在每1層優(yōu)化計(jì)算中都只有1個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，因此，使用一維優(yōu)化計(jì)算程序即可求解式(18)及式(19)。

4 算例分析

由本文作者方法對某一直齒面齒輪齒面進(jìn)行設(shè)計(jì)，與標(biāo)準(zhǔn)小齒輪進(jìn)行輪齒接觸分析，其齒輪副的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 面齒輪副設(shè)計(jì)參數(shù)

通過預(yù)置傳動(dòng)誤差幅值和接觸痕跡進(jìn)行面齒輪齒面的主動(dòng)設(shè)計(jì)，進(jìn)行齒輪接觸分析(TCA)，分析結(jié)果如圖10和圖11所示。從圖10可以看出：其設(shè)計(jì)結(jié)果中的接觸印痕位置和方向基本達(dá)到預(yù)置要求，該主動(dòng)設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了對接觸痕跡的控制。從圖11可以看出：3種不同情況下的傳遞誤差曲線左右兩側(cè)幅值基本相等，非常接近預(yù)設(shè)值10″。由此可見，該主動(dòng)設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了對傳動(dòng)誤差曲線的主動(dòng)設(shè)計(jì)。

(a) μ=30°, Fa=4 mm; (b) μ=45°, Fa=3 mm; (c) μ=45°, Fa=4 mm; (d) μ=45°, Fa=5 mm; (e) μ=60°, Fa=4 mm.

(a) μ=30°, Fa=4 mm; (b) μ=45°, Fa=4 mm; (c) μ=60°, Fa=4 mm.

為了研究和分析該設(shè)計(jì)方法對安裝誤差的敏感性，取=30°，a=4 mm，將上述修形后的面齒輪與標(biāo)準(zhǔn)小圓柱齒輪進(jìn)行有安裝誤差的TCA分析。令面齒輪軸向安裝誤差?=0.2 mm，偏置距安裝誤差?=0.05 mm，軸交角安裝誤差?=0.05°，其嚙合印痕及安裝誤差如圖12所示。由圖12可知：經(jīng)修形后的面齒輪傳動(dòng)避免安裝誤差下的邊緣接觸，且嚙合印痕的位置和方向?qū)Π惭b誤差的敏感性很?。挥捎诎惭b誤差引入了線性的傳動(dòng)誤差，會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)誤差曲線幅值一側(cè)增加，一側(cè)減小。

(a) 嚙合印痕；(b) 傳動(dòng)誤差曲線.

5 結(jié)論

1)基于局部綜合法和雙層優(yōu)化法建立了面齒輪的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法。通過對碟形砂輪軸截面齒廓修形量的優(yōu)化，使面齒輪傳動(dòng)誤差滿足設(shè)計(jì)要求；通過齒向的修形優(yōu)化，使接觸印痕的位置和傾斜方向達(dá)到預(yù)定要求，重合度也得到提高。

2) 主動(dòng)設(shè)計(jì)的面齒輪傳動(dòng)避免了邊緣接觸，且接觸印痕對安裝誤差的敏感性較小，傳動(dòng)誤差能夠吸收安裝誤差引起的線性誤差。

3) 對面齒輪進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)，達(dá)到齒面嚙合質(zhì)量的全程控制，對于高速和重載傳動(dòng)場合具有重要的意義。

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Tooth surface function-oriented design of face gear based on grinding disk

GUO Hui, XIANG Yunfei, ZHAO Ning

(School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A function-oriented design method for face geartooth surface was proposed based onlocalsynthesis method, double-optimization method and the disk wheel generating grinding principle. A predesigned symmetrical parabolic function of transmission errors with given amplitude was obtained by optimization of modification parametersfor thegrinding wheeltooth profile, and a desiredmodificationmode in longitudinal direction was obtained bycontrolling computer numerical control (CNC) multi-axismotions. The results show that this methodenables designers to designthe tooth surface oftheface gearaccording to performance requirements, and to finish processing of face gears on a CNC grinding machine. The function-oriented designmethod canmake thetransmission errorsandtooth contact paths satisfythe design requirements.

face gear; function-oriented design; disk wheel; tooth grinding; contact mode; transmission error

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.011

TH132.41

A

1672?7207(2015)07?2459?08

2014?06?18；

2014?08?08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105307，51075328)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014JM7242)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(3108251511333)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃項(xiàng)目(B13044) (Projects(51105307, 51075328) supported by the National Science Foundation of China; Project(2014JM7242) supported by the Natural Science Foundation of Shaanxi Province; Project(3108251511333) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities; Project(B13044) supported by the 111 Project)

郭輝，博士，副教授，從事機(jī)械動(dòng)力學(xué)及齒輪幾何等研究；E-mail: guohui502@nwpu.edu.cn

(編輯 羅金花)