廖仲坤　陳　果　王海飛

1.中國航天飛航技術研究院北京動力機械研究所,北京,1000742.南京航空航天大學,南京,211106

套齒聯(lián)軸器對航空發(fā)動機振動特性的影響

廖仲坤1陳果2王海飛2

1.中國航天飛航技術研究院北京動力機械研究所,北京,1000742.南京航空航天大學,南京,211106

研究了航空發(fā)動機套齒聯(lián)軸器的連接剛度，推導了套齒動態(tài)嚙合力計算模型，分析了隨扭矩、套齒不對中和動態(tài)相對位移變化的套齒嚙合力和嚙合剛度。依據(jù)航空發(fā)動機套齒連接結構，建立了含套齒聯(lián)軸器的三支點轉子動力學模型，分析了套齒連接剛度對系統(tǒng)頻率響應特性的影響，在考慮轉軸間角度不對中的情況下，分析了套齒連接剛度對系統(tǒng)不對中響應的影響規(guī)律。結果發(fā)現(xiàn)，動態(tài)嚙合力模型能夠更加真實地模擬套齒連接剛度的變化，但是，當其徑向嚙合剛度變化不大時，其計算結果與等效剛度模型的計算結果相同，套齒角向剛度對系統(tǒng)動力性能影響很大，在套齒設計、裝配和使用中需要重視。

航空發(fā)動機；套齒聯(lián)軸器；嚙合剛度；不對中；振動特性

0　引言

套齒聯(lián)軸器在航空發(fā)動機中被廣泛采用[1]。套齒聯(lián)軸器振動過程中,內(nèi)外套齒的相對位移、裝配和使用所導致的內(nèi)外套齒不對中，以及傳遞扭矩的耦合作用會在很大程度上影響套齒的嚙合情況，進而改變其連接剛度,并由此對航空發(fā)動機整機振動造成很大影響。

目前，國內(nèi)外對聯(lián)軸器不對中的建模方法基本上有3種[2]： ①基于聯(lián)軸器的變形幾何關系和受力分析推導出不對中聯(lián)軸器激振力模型[3-6]；②基于等效軸段法，將聯(lián)軸器連接的整體系統(tǒng)看成是一個多跨軸盤系統(tǒng)，其中的聯(lián)軸器用等效的軸段來模擬[7];③基于系統(tǒng)整體的拉格朗日能量方程，獲得系統(tǒng)運動微分方程[8-11]。其中，等效軸段法相當于給系統(tǒng)增加了一個約束，而對聯(lián)軸器在整體系統(tǒng)中的耦合作用沒有充分體現(xiàn)；拉格朗日能量法不適合研究復雜的自由度數(shù)目較多的多跨轉子系統(tǒng)。而直接從分析套齒嚙合力出發(fā)，研究套齒嚙合剛度的變化規(guī)律及其對系統(tǒng)整體動力響應的影響，是最為適合的方法。

有鑒于此，本文在現(xiàn)有研究基礎上，充分考慮內(nèi)外齒套間的不對中、動態(tài)相對位移以及傳遞的扭矩的耦合作用,動態(tài)計算出其瞬間嚙合力，以充分考慮套齒聯(lián)軸器在運動過程中的變剛度特征。同時，依據(jù)實際航空發(fā)動機的套齒聯(lián)軸器模型，建立了含套齒聯(lián)軸器的三支點轉子動力學模型，研究了套齒連接剛度對系統(tǒng)頻率響應和不對中故障振動響應的影響。

1　單齒嚙合剛度計算

1.1單齒嚙合剛度

假定潤滑情況良好,忽略齒面接觸之間的摩擦，齒輪的綜合嚙合剛度是指在整個嚙合區(qū)中參與嚙合的各對齒輪的嚙合剛度的總和,單齒的彈性變形是單個輪齒的嚙合齒面在載荷作用下的彈性變形。直齒輪輪齒一般處理成二維平面問題，相應的受載彈性變形計算方法有材料力學方法、彈性力學方法及有限元方法等，其中材料力學法是最早使用、應用最廣的方法。單個輪齒模型如圖1所示。

圖1　單個輪齒模型

單個齒可視為具有均勻橫截面的q個受載微齒段組成，圖1中，φ為節(jié)圓壓力角,F為齒之間相互的作用力。對于側面嚙合情況，假設作用力F以集中力形式沿法向作用于節(jié)圓上。設L為齒長度,Yk及Yk-1為第k微齒段上下表面半齒寬，rk及rk-1為第k微齒段上下表面半徑,RF為力F的作用點的半徑。齒段面積、慣性矩等參數(shù)分別由以下計算式求出：

(1)第k微齒段上下表面平均面積Ak=L(Yk+Yk-1)。

(3)第k微齒段高度hk=Yk-Yk-1。

(4)第k微齒段上表面到節(jié)圓距離Sk=RF-rk。

(5)載荷等效嚙合距離為L0,在內(nèi)外套齒對中的情況下，對于外齒，L0為節(jié)圓半徑與外齒小圓半徑之差，即L0=R-R1，其中,R為節(jié)圓半徑,R1為外齒小圓半徑；對于內(nèi)齒,L0為內(nèi)齒大圓半徑與節(jié)圓半徑之差，即L0=R2-R,其中，R2為內(nèi)齒大圓半徑。

上述各式均可用于齒的漸開線部位及齒根部位的各個齒段。需要注意的是，在計算過程中，需要計算任意圓周上的齒厚，對于外齒套，其計算公式為

對于內(nèi)齒套，其計算公式為

φk=arccos(rk/R)invφk=tanφk-φk

式中,m為齒輪模數(shù),πm為齒距,即外齒套與內(nèi)齒套的齒厚之和;S為節(jié)圓處齒厚,S=m/2;節(jié)圓半徑R=Zm/2;Z為齒數(shù)；對于外齒套,rk=R1+khk,對于內(nèi)齒套，rk=R+khk。

先求出該模型由單位載荷引起的位移(即柔度)，再求其倒數(shù)(即剛度)。其位移分別由彎曲、剪切、支座彈性、齒面擠壓四種機械變形引起。一般情況下，由于軸的彈性引起的變形較小，不需修正,且不考慮材料屈服擠壓情況，因此可僅考慮彎曲變形及剪切變形。

(1)彎曲變形。單齒的彎曲柔度Δb為

(1)

(2)剪切變形。設Ak為橫截面面積，B為截面形狀系數(shù)，對于矩形截面,B=1.2，則單齒的剪切柔度Δs為

(2)

式中，G為套齒材料剪切模量。

1.2套齒動態(tài)嚙合力

在內(nèi)外套齒完全對中時，內(nèi)外聯(lián)軸器圓心重合，此時各齒嚙合距離均為齒根高，當系統(tǒng)存在不對中時，設x向、y向不對中量分別為x0、y0，則徑向不對中量e為

(3)

設徑向不對中量e與x向夾角為θ,則有

cosθ=x0/esinθ=y0/e

由于套齒不對中情況的出現(xiàn)，此時內(nèi)外套齒的嚙合是不均勻的，有的齒對嚙合緊密，有的齒對嚙合疏松，兩個圓心不重合，內(nèi)套齒各個齒的嚙合距離不相等，沿不對中方向θ,齒對嚙合最緊密，如圖2b所示。在坐標系oxy下，x軸正上方的齒的編號為1，逆時針依次為2, 3, 4,，各齒與x軸正向的夾角為αj=2π(j-1)/Z(j為齒的編號),各齒的等效嚙合距離為Lj=L0-ecos(αj-θ),因此,不對中套齒聯(lián)軸器各齒對的嚙合剛度為

kj=f(Lj)

(4)

(a)完全對中(b)不對中

(c)齒的受力圖2　不對中對套齒的嚙合力影響

套齒聯(lián)軸器的內(nèi)齒和外齒嚙合時，在節(jié)圓上，單個齒的法向力Fnj可分解為兩個相互垂直的分力，即圓周力Ftj和徑向力Frj，如圖2c所示。它們之間的關系為

(5)

式中,Tj為第j個單齒傳遞的扭矩。

聯(lián)軸器傳遞的扭矩為

(6)

單個齒的法向力Fnj為

(7)

式中,L1j為外齒套上的嚙合距離;λj為各齒沿法向力Fnj方向的變形;β為各齒變形產(chǎn)生的扭轉角位移。

設扭矩引起的各個齒的扭轉角位移相同，則有

(8)

因此

(9)

所以，由于扭矩產(chǎn)生的輪齒法向的變形為

(10)

設內(nèi)外齒套在坐標系oxy中的相對位移為Δx和Δy，由齒輪的嚙合關系，通過坐標旋轉，可以得到在坐標系o1tn中的位移Δt和Δn，如圖3所示，即

(11)

圖3　輪齒受力分析圖

因此,由內(nèi)外齒套動態(tài)相對位移產(chǎn)生的法向壓縮量為

Δnj2=Δn=-Δxsin(αj-φ)+

Δycos(αj-φ)

(12)

則每對齒的法向總壓縮量為

(-Δxsin(αj-φ)+Δycos(αj-φ))

(13)

所以輪齒法向嚙合力為

(14)

將該法向嚙合力沿x軸和y軸分解，得到

(15)

因此，沿x軸和y軸的合力為

(16)

2　套齒聯(lián)軸器嚙合力和嚙合剛度算例

2.1套齒聯(lián)軸器參數(shù)

選擇套齒參數(shù)[2]如表1所示。

表1　套齒聯(lián)軸器參數(shù)

2.2聯(lián)軸器完全對中時的嚙合力和嚙合剛度

2.2.1不同扭矩下的嚙合力和嚙合剛度

計算條件如下：扭矩范圍為0到5000 N·m；圖4中的內(nèi)外套齒的動態(tài)相對位移為x=1 μm,Δy=0;圖5中,Δx=0,Δy=1 μm;內(nèi)外套齒無不對中。

(a)嚙合力(b)嚙合剛度圖4　扭矩對x向嚙合力和嚙合剛度的影響

(a)嚙合力(b)嚙合剛度圖5　扭矩對y向嚙合力和嚙合剛度的影響

由圖4和圖5可以看出，扭矩在2000 N·m以下時,嚙合力和嚙合剛度隨扭矩的增大而增大,當扭矩大于2000 N·m時,嚙合力和嚙合剛度基本不變。另外，也可以發(fā)現(xiàn)x向和y向具有相同的變化規(guī)律，x向的動態(tài)相對位移僅僅產(chǎn)生x向的嚙合力，y向的動態(tài)相對位移僅僅產(chǎn)生y向的嚙合力，聯(lián)軸器不存在交叉剛度。

2.2.2內(nèi)外套齒動態(tài)相對位移對嚙合力和嚙合剛度的影響

計算條件如下:扭矩為1000N·m;圖6中,套齒動態(tài)相對位移Δx的變化范圍為0～1 μm,Δy=0;圖7中,Δx=0,Δy的變化范圍為0～1 μm ;套齒無不對中。由圖6和圖7可以看出，隨著動態(tài)相對位移的增大，嚙合力和嚙合剛度均表現(xiàn)出了非線性變化特征。同時，由于內(nèi)外套齒不存在不對中問題，聯(lián)軸器也不存在交叉剛度，即x向的動態(tài)相對位移僅僅產(chǎn)生x向的嚙合力，y向的動態(tài)相對位移僅僅產(chǎn)生y向的嚙合力，x向和y向具有相同的變化規(guī)律。

(a)嚙合力(b)嚙合剛度圖6x向動態(tài)相對位移Δx對x向嚙合力和嚙合剛度的影響

(a)嚙合力(b)嚙合剛度圖7　y向動態(tài)相對位移Δy對y向嚙合力和嚙合剛度的影響

2.3存在不對中情況時的嚙合力和嚙合剛度

2.3.1嚙合距離和單齒嚙合剛度

(a)嚙合距離(b)嚙合剛度圖8　不對中對嚙合距離和嚙合剛度的影響

計算條件為：內(nèi)外套齒不對中情況發(fā)生在x向，不對中的徑向大小為1 mm,嚙合距離及單齒嚙合剛度隨齒的變化規(guī)律如圖8所示，從圖8中可以看出,不存在不對中情況時,每個齒的嚙合距離相等，均為2.5 mm，其中，序號從0～Z/2的齒對是由緊到松，嚙合距離從1.5 mm到3.5 mm,單齒剛度由大變?。恍蛱枏腪/2～Z的齒對是由松到緊，嚙合距離從3.5 mm到1.5 mm，單齒剛度由小變大。

2.3.2內(nèi)外套齒不對中及動態(tài)相對位移對嚙合力和嚙合剛度的影響

計算條件如下：扭矩1000N·m，內(nèi)外套齒不對中的徑向大小e為1 mm，角度θ分別為0°、90°、180°、270°；動態(tài)相對位移Δx的變化范圍為0～1 μm,Δy=0。

計算結果如圖9所示，其中,圖9a、圖9b分別為不同的套齒不對中情況下x向、y向嚙合力隨動態(tài)相對位移Δx的變化規(guī)律;圖9c、 圖9d分別為不同的套齒不對中情況下x向、y向嚙合剛度隨動態(tài)相對位移Δx的變化規(guī)律。由圖9可以看出,由于內(nèi)外套齒不對中情況的出現(xiàn)，套齒剛度出現(xiàn)了交叉剛度，即x向的動態(tài)相對位移不僅要引起x向的嚙合力，也會產(chǎn)生y向的嚙合力,交叉剛度還可能會出現(xiàn)負值,剛度值隨Δx出現(xiàn)強非線性特征。

(a)x向嚙合力

(b)y向嚙合力

(c)x向嚙合剛度kxx

(d)y向嚙合剛度kyx圖9　內(nèi)外套齒不對中及動態(tài)相對位移Δx對套齒嚙合力和嚙合剛度的影響

同樣,扭矩為1000N·m,不對中徑向大小為1 mm,角度θ分別為0°、90°、180°、270°;動態(tài)相對位移Δy的變化范圍為0～1 μm,Δx=0。計算結果如圖10所示,其中,圖10a、圖10b分別為不同的套齒不對中的情況下x向、y向嚙合力隨動態(tài)相對位移Δy的變化規(guī)律;圖10c、圖10d分別為不同的套齒不對中的情況下x向、y向嚙合剛度隨動態(tài)相對位移Δy的變化規(guī)律。由圖10可以看出，由于內(nèi)外套齒不對中情況的出現(xiàn)，套齒剛度出現(xiàn)了交叉剛度，即y向的動態(tài)相對位移不僅會引起y向的嚙合力，也會產(chǎn)生x向的嚙合力，交叉剛度可能會出現(xiàn)負值，剛度值隨Δy出現(xiàn)強非線性特征。

(a)x向嚙合力

(b)y向嚙合力

(c)x向嚙合剛度kxy

(d)y向嚙合剛度kyy圖10　內(nèi)外套齒不對中及動態(tài)相對位移Δy對套齒嚙合力和嚙合剛度的影響

3　套齒聯(lián)軸器剛度對轉子動力特性的影響

3.1含套齒聯(lián)軸器的雙跨三支點轉子動力學模型

為了研究套齒聯(lián)軸器剛度對轉子動力特性的影響，依據(jù)航空發(fā)動機套齒聯(lián)軸器結構特點，建立了含套齒聯(lián)軸器的雙跨三支點轉子動力學模型，如圖11所示。

圖11　含套齒聯(lián)軸器三支點轉子動力學模型

利用文獻[12-13]提出的方法進行轉子-支承系統(tǒng)建模和求解，該方法對轉子進行有限元建模，考慮轉子的轉動慣量、剪切變形及陀螺力矩，定義轉子與基礎間的彈性支承連接、轉子與轉子間的聯(lián)軸器連接，從而實現(xiàn)系統(tǒng)建模。限于篇幅，轉子動力學模型參數(shù)從略。

3.2套齒聯(lián)軸器的剛度對系統(tǒng)振動的影響

本文研究了系統(tǒng)兩方面的振動特性：①通過求取系統(tǒng)沖擊響應從而得到系統(tǒng)頻率響應函數(shù)，其方法是在右轉子的節(jié)點11施加一沖擊力，通過數(shù)值積分得到系統(tǒng)的沖擊響應，選擇右轉子節(jié)點1的加速度響應計算得到系統(tǒng)的加速度頻率響應函數(shù)；②考慮左右轉子的角度不對中，利用文獻[14-15]中的不對中模型計算系統(tǒng)的不對中振動響應，設右轉子為驅(qū)動軸，左轉子為被驅(qū)動軸，兩轉子的不對中角度為1°。選取左轉子轉盤(節(jié)點4)的y向振動加速度響應進行分析。

3.2.1套齒聯(lián)軸器的剛度分類

(1)徑向等效剛度。不考慮內(nèi)外套齒不對中引起的嚙合距離的變化，各齒的嚙合距離相同且單齒的嚙合剛度均相同，通過疊加各齒對的嚙合力而得到的等效剛度ke。該剛度值為定值，可由套齒參數(shù)計算得到，即

(17)

依據(jù)表1所示的套齒聯(lián)軸器參數(shù)可以得到ke=18 GN/m。

(2)等效角剛度kAe表示聯(lián)軸器沿橫向彎曲時，每對作用的齒抵抗彎曲變形的能力:

(18)

依據(jù)表1所示的套齒聯(lián)軸器參數(shù)可以得到kAe=3.95×105N·m/rad。

(3)動態(tài)嚙合剛度。直接根據(jù)套齒不對中、動態(tài)相對位移、傳遞扭矩計算出動態(tài)嚙合剛度，該剛度值是動態(tài)變化的。

3.2.2動態(tài)嚙合力模型對振動特性的影響

圖12所示為內(nèi)外套齒不對中量e為0時，分別利用動態(tài)嚙合力模型和徑向等效剛度模型對系統(tǒng)頻響函數(shù)和不對中響應計算結果的比較。圖13所示為內(nèi)外套齒不對中時即套齒動態(tài)相對位移分別為Δy=1 μm、Δx=1 μm時,利用動態(tài)嚙合力模型的計算結果。在計算中,套齒等效剛度ke=18 GN/m;套齒角剛度均為kAe=395 kN·m/rad。

(a)幅頻響應函數(shù)

(b)角度不對中響應圖12　等效剛度模型和動態(tài)嚙合力模型計算結果比較

(a)幅頻響應函數(shù)

(b)角度不對中響應圖13　套齒不對中對系統(tǒng)振動特性的影響

由圖12和圖13可以看出，動態(tài)嚙合力模型和徑向等效剛度模型的計算結果幾乎完全相同。內(nèi)外套齒不對中對系統(tǒng)頻響函數(shù)有一定影響，但是對不對中響應的計算結果幾乎沒有影響。這說明盡管內(nèi)外套齒不對中和動態(tài)嚙合力的變化對聯(lián)軸器的剛度有影響，但還不足以影響系統(tǒng)的動力特性。3.2.3套齒等效剛度對系統(tǒng)動力特性的影響

圖14所示為套齒徑向等效剛度ke和等效角剛度kAe對系統(tǒng)頻響函數(shù)計算結果的比較，其中,徑向等效剛度ke分別為1.8×1010N/m、1.8×109N/m、1.8×108N/m、1.8×107N/m,角剛度kAe分別為3.95×105N·m/rad、3.95×104N·m/rad、3.95×103N·m/rad、0;圖15所示為

(a)等效徑向剛度

(b)等效角剛度圖14　等效徑向剛度和等效角剛度對系統(tǒng)幅頻率響應的影響

套齒徑向等效剛度和等效角剛度對系統(tǒng)不對中響應計算結果的比較,其中,徑向等效剛度ke分別為1.8×1010N/m、1.8×109N/m、1.8×108N/m,角剛度分別為kAe=3.95×105N·m/rad、3.95×104N·m/rad、3.95×103N·m/rad。

(a)等效徑向剛度

(b)等效角剛度圖15　等效徑向剛度和等效角剛度對角度不對中響應的影響

由圖14a和圖15a可以看出,徑向等效剛度ke為1.8×1010N/m、1.8×109N/m時對系統(tǒng)頻響函數(shù)和不對中影響不大，隨著剛度降低，頻響函數(shù)和不對中響應變化均很大；由圖14b和圖15b可以看出，等效角剛度變化一個數(shù)量級，對系統(tǒng)頻響函數(shù)和不對中影響均很大，這說明套齒的角剛度對系統(tǒng)動力學特征影響較徑向等效剛度更為靈敏，因此，在設計、制造和使用中需要更多關注套齒聯(lián)軸器的角剛度變化。

4　結論

(1)針對航空發(fā)動機套齒聯(lián)軸器的結構形式，推導了套齒聯(lián)軸器的動態(tài)嚙合力計算模型。

(2)研究了套齒聯(lián)軸器嚙合力和嚙合剛度隨傳遞扭矩、套齒不對中和動態(tài)相對位移的變化規(guī)律，結果表明，在套齒對中情況下，嚙合力和嚙合剛度隨扭矩和動態(tài)相對位移呈非線性變化規(guī)律，但不存在交叉剛度；但在套齒不對中情況下，嚙合力和嚙合剛度不僅隨扭矩和動態(tài)相對位移呈非線性變化規(guī)律，還存在交叉剛度。

(3)建立了含套齒聯(lián)軸器的三支點轉子動力學模型，并計算了系統(tǒng)的頻響函數(shù)和左右轉子存在角度不對中時的振動響應。結果表明，動態(tài)嚙合力模型與等效剛度模型計算結果基本相同，徑向剛度降低兩個數(shù)量級后，對計算結果影響較大，而依據(jù)動態(tài)嚙合力模型得到的動態(tài)嚙合的變化尚不足以引起系統(tǒng)動力特性的變化。需要注意的是，套齒角剛度對系統(tǒng)振動特性影響很大，在實際設計、裝配和使用時需要引起足夠的重視。

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[15]Xu M, Marangoni R D. Vibration Analysis of a Motor-flexible Coupling-rotor System Subject to Misalignment and Unbalance,PART Ⅱ:Experimental Validation[J].Journal of Sound and Vibration,1994,176(5):681-691.

(編輯蘇衛(wèi)國)

Effects of Gear Coupling on Aero-engine Vibration Characteristics

Liao Zhongkun1Chen Guo2Wang Haifei2

1.Beijing Power Machine Research Institute,Aeronautics and Astronautics Technique Research Institute of China,Beijing,100074 2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing,211106

The aero-engine gear coupling stiffness was studied herein,and the coupling dynamic gearing forces were deduced,the relationship among the gear coupling gearing forces and the torque,misalignment,and the dynamic relative displacements was analyzed.According to aero-engine gearing structure characteristics,a rotor dynamic model including gear coupling and the three supports was established,and the effects of gear coupling stiffness on the system frequency response function were analyzed;under the conditions of considering the angle misalignment between two rotors,the effects of gear stiffness on the misalignment responses were studied.The results show that the dynamic gearing stiffness model can simulate the gear coupling dynamic stiffness very correctly,but the dynamic change range of the stiffness is not enough to change obviously the system dynamic characteristics,however,the effects of the angle stiffness of gear coupling on the system vibration characteristics are very great.

aero-engine;gear coupling;gearing stiffness;misalignment;vibration characteristics

2013-12-30

國家自然科學基金資助項目(50705042);航空科學基金資助項目(2007ZB52022)

V232DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.10.007

廖仲坤,男,1974年生。中國航天飛航技術研究院北京動力機械研究所高級工程師。主要研究方向為航空發(fā)動機結構設計與振動分析。陳果,男,1972年生。南京航空航天大學民航學院教授、博士研究生導師。王海飛，男，1986年生。南京航空航天大學民航學院博士研究生。