吳波波　劉志紅儀垂杰　馬巖美

（青島理工大學(xué)機械工程學(xué)院　青島　266033）

勻加速運動聲源的聲場建模及其數(shù)值算法研究?

吳波波劉志紅?儀垂杰馬巖美

（青島理工大學(xué)機械工程學(xué)院青島266033）

針對勻加速運動點聲源的聲場特性與其運動狀態(tài)密切相關(guān)這一問題，提出勻加速直線運動狀態(tài)下點聲源的聲場計算方法。利用此方法建立了勻加速直線運動時點聲源的聲壓模型，對模型中的關(guān)鍵參數(shù)聲矢量R進行數(shù)值解析，并對聲壓進行數(shù)值分析仿真，得出勻加速直線運動時固定接收點的聲壓數(shù)值計算方法。用此方法對固定接收點位置的勻加速點聲源聲壓進行聲場建模，結(jié)果表明：在聲源接近接收者一定距離以后，聲壓明顯增大；在此距離之外，距離對聲壓的影響不大。

勻加速運動，聲場，聲矢量

1　引言

隨著汽車、飛機、火車等各種交通工具的普及和不斷發(fā)展，城市的交通負擔(dān)越來越重，其噪聲污染日益成為環(huán)境污染的突出問題。交通工具的運動狀態(tài)多變，多處于非勻速狀態(tài)，

眾所周知，汽車等運動聲源在加速運動時噪聲最明顯，所以研究加速運動時噪聲源的聲輻射問題十分迫切。國內(nèi)外學(xué)者對運動聲源的聲輻射研究也早已開始，并已經(jīng)取得了一系列的成果，1968年P(guān).M.Morse和K.U.Zngard［1］詳細論述了運動媒質(zhì)的發(fā)聲機理、運動對聲傳播的影響，并討論建立了勻速直線運動點源的聲輻射數(shù)學(xué)模型；Tanaka K和Ishii S［2-3］推導(dǎo)了勻速直線運動線聲源的聲場理論解，指出它的聲壓幅值變化和頻移特征與非運動點源的不同，但該研究不適用于有限長聲源運動方向偏離物體軸線的情況，且忽略運動聲源的表面聲壓和幾何形狀；P.L.Lee和J.H.Wang［4-5］在變速直線運動聲源的聲輻射方面進行了發(fā)展，建立了變速有限長直線運動聲源聲學(xué)位置矢量的數(shù)學(xué)表達式，他們指出描述聲源與觀察者關(guān)系的聲學(xué)位置矢量是運動聲場能否解析的關(guān)鍵，聲學(xué)位置矢量的計算方法的不同是靜止與運動聲源聲場計算的本質(zhì)差別；王新龍［6］給出了勻速運動點聲源的輻射聲場和多普勒效應(yīng)的推導(dǎo)結(jié)果，在此基礎(chǔ)上周曉華［7］利用小波變換消除多普勒效應(yīng)效果良好。但是，這些研究存在如下問題：一、運動聲源的運動狀態(tài)大多為勻速，對于勻加速運動聲源的輻射聲場研究較少；二、沒有將加速時聲學(xué)位置矢量的數(shù)值解應(yīng)用到聲場模型的建立中，對勻加速運動聲源的聲場沒有解析。

本文針對以上兩個問題提出了勻加速直線運動時聲場的數(shù)值解析模型建立方法，并將勻加速運動時聲學(xué)位置矢量的解析解應(yīng)用的聲場的建模中，通過對聲壓的數(shù)值仿真，得到了勻加速運動聲源的聲壓空間分布，對現(xiàn)實具有很強的指導(dǎo)意義。

2　勻加速運動聲源聲場建模

設(shè)密度為ρ0的靜止媒質(zhì)中，存在一個勻加速聲源，其沿z方向以加速度a，初速度v0運動，時間T=0時刻恰好通過坐標(biāo)原點O，觀察者位于S點，如圖1。

圖1　勻加速運動點源模型Fig.1 Model of point sound source with uniform acceleration

設(shè)觀察點位置和時間坐標(biāo)分別為［S（xs,ys,zs）,t］；源位置和時間坐標(biāo)分別為［ξ（0,0,z（τ））,τ］，則強度為Q（τ）的源的體積流和聲壓為［8］

式中R=|R（t）|表示聲源到觀察點之間的距離，R（t）定義為“聲矢量”；g=t-τ-R/c0為延遲時間，q（S,t）為體積流函數(shù)。對于式（2），由解析格林函數(shù)法求解：

G（r,t/r0,τ）表示靜止媒質(zhì)對運動點源的響應(yīng)。由Delta函數(shù)的性質(zhì)可知式（2）的積分數(shù)值主要取決于Delta函數(shù)變量的零點［9-10］：

式中：tn為方程t-τ-R/c0=0的第n個根。由g=t-τ-R/c0等式兩邊對τ求導(dǎo)可得

Mr為聲源速度 vs在聲矢量R方向上的投影與聲速c0的比值。Mr＞0時表示聲源正在靠近觀察者，Mr＜0表示聲源正在遠離觀察者。

對|Mr|＜1時，方程g=t-τ-R/c0只有一個根，所以聲壓可以表示為

式（6）中

因為勻速直線運動和勻加速直線運動在此表達式中的區(qū)別僅在于聲矢量R的表達式不同。所以，當(dāng)a=0時，聲源處于勻速運動狀態(tài)，式（6）依然成立。

定義輔助函數(shù)

式中M0=v0/c0為初始時刻的馬赫數(shù)。

式（8）的零點的物理意義是：t時刻接收到的聲壓信號時點源在τ時刻發(fā)出的，其中t和τ之間的關(guān)系，滿足：

利用式（6）—式（8）即可數(shù)值求解勻加速運動點聲源在某一固定接收位置的聲場。

對比點聲源聲場公式從式（6）可以看出，聲壓幅值的增大和減小受到因子1/（1-Mr）的影響，當(dāng)聲源靠近觀察者時Mr為正，影響因子變大，幅值變大；當(dāng)聲源遠離觀察者時，Mr為負、影響因子變小，幅值變?。贿@種由于運動引起的運動方向前部聲壓幅值變大，運動方向反向幅值變小的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)，而1/（1-Mr）即為多普勒因子。實際觀察點的頻率可表示為

此即為多普勒效應(yīng)的表達式。

3　關(guān)鍵參數(shù)聲矢量R的求算

3.1聲矢量R的計算方法

假設(shè)一個固定的觀察者S在位置X0（T），運動聲源S在接收時間T時刻的位置用矢量XS（T）表示，如圖1所示。

位置矢量r（T）在此時可表示為

為了方便，r（T）稱為動位矢。另外，聲矢量R（T）的定義為

τ=T-（|R（T）|/c0）是聲音的發(fā)出時刻，c0是聲速。如果聲源靜止，那么式（11）和式（12）等價。聲源以初速度V0，加速度a0沿直線運動。那么t時刻的聲源位置為

把式（13）帶入式（12）并重新組合以后，在恒定加速度情況下的聲矢量可以描述為

在式（15）中M0初始馬赫數(shù)，R=|R（t）|，R與|R（t）|之間的關(guān)系如下：

上式經(jīng)變換后可簡化為

其中A，B，C，D，E為系數(shù)，見附錄A。其四個解可表示為以下形式：

式中的系數(shù)?，γ，ε見附錄B。

3.2真實解篩選原則

公式式（18）—式（21）解出的聲矢量R共有四個，R1～R4，但實際情況只有一種，所以只有一個解符合實際條件。由圖1中可以看出，在聲源沿z軸運動過程中，在到達運動路程中點之前，|R|＞|r|，在過了中點以后|R|＜|r|，根據(jù)這個原則可以篩選出需要的解。

3.3R的數(shù)值解析

假設(shè)加速度為：a0=（30,0,0）m/s2，R0=（0.2,0,0），聲源初始位置XS（0）位于坐標(biāo)原點，如圖1。觀察者位于O（L/2,D,0）處，L是運動路徑的總長度，D=10 m，觀察時間為1 s。將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（18）—（21）可求得R1～R4和動位矢r1～r4式中（r=|r|），利用Matlab繪制出R1～R4，和r1～r4在不同時刻的相對位置如圖2所示。

圖2　同一時刻不同接收位置時R與對應(yīng)的r的位置關(guān)系Fig.2 The positional relationship between R and r at the same time with different location

根據(jù)|R|＞|r|的實際要求，從上面四幅圖可以看出只有R3滿足條件，這樣就可以得到聲矢量R的數(shù)值解析。

4　聲場的數(shù)值模擬

4.1聲場模擬

假設(shè)一個圓頻率為250 Hz，源強Q=1的簡諧點聲源沿z軸勻加速運動，加速度為：a0=（30,0,0）m/s2，M0=（0.2,0,0），聲源初始位置XS（0）位于坐標(biāo)原點，如圖1，D=10 m，觀察時間為1 s，取四個觀察點：S1（18,10），S2（38,10），S3（59,10）和S4（78,10）位置時符合要求的聲矢量R如圖3所示。

由圖3很直觀的可以看出，四個時刻均符合實際的解為R3。所以在此情況下的R可表示為

圖3　各接受位置時符合條件的聲矢量RFig.3 Acoustic vector R at each receiving position

將系數(shù)帶入即可，在得到R之后將R帶入（6）式，即可得到聲場的完整數(shù)值表達。此表達與Q（t）有關(guān)，由假設(shè)可知

帶入聲壓公式（6）得到勻加速聲源的聲場數(shù)值表達，見圖4。

圖4　各接收位置時的聲壓圖Fig.4 Sound pressure at each receiving position

圖4為當(dāng)M0=0.2、加速度a0=30 m/s2時，勻加速運動的簡諧聲源在1 s的觀察時間內(nèi)在各觀察點的聲場數(shù)值解析。

5　結(jié)論

本文根據(jù)運動聲源聲輻射基本理論討論并建立了勻加速運動聲源的聲場模型?？梢钥闯鰟蚣铀龠\動聲源的聲場與其聲矢量R密切相關(guān)，理論上關(guān)于聲矢量R的解難以求出，本文給出了勻加速運動時聲矢量R的數(shù)值計算和篩選方法；通過分析可以得出，勻加速運動時聲場的多普勒效應(yīng)受到加速度的影響，在運動方向前后變得更加顯著；同時，在加速度a=0的特殊情況下，文中所述的建模和解析方法同樣適合于勻速運動，具有一定的一般性。

通過仿真得出了在點聲源勻加速運動的時候某一固定接受位置的聲場變化；從數(shù)值解析聲場可以看出，在聲源與觀察者距離大于某一范圍的時候，聲壓隨距離的變化不明顯；在點源距離觀察者一定距離之后，越接近觀察者，聲壓增加的越明顯，在距離最近的時候聲壓達到最大，與實際情況相符。

［1］莫爾斯，英格特.理論聲學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1986：842-864.

［2］OBREZANOVA O A，RABINOVICH V S.Acoustic field generated by moving sources in stratified waveguides［J］. Wave Motion，1998，27（2）：155-167.

［3］Yukio Iwaya，Yo?ti Suzuki.Rendering moving sound with the Doppler effect in sound space［J］.Applied Acoustics，2007，68（8）：916-922.

［4］WANG J H，LEE P L.Determination of the acoustic position vector of a moving sound source with constant acceleration motion［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2009，33（8/9）：1141-1144.

［5］LEE P L，WANG J H.The simulation of acoustic radiation from a moving line source with variable speed［J］. Applied Acoustics，2010，71（10）：931-939.

［6］王新龍.運動點源的輻射［EB/OL］.［2014-03-15］. http：//xlwangnu.blog.163.com/blog/static/19071927020 1272361120331/，2012-08-23/2014-03-18.

［7］周曉華.運動噪聲源識別技術(shù)的研究［D］.吉林：吉林大學(xué)，2008：11-31.

［8］吳九匯，陳花玲，黃協(xié)清.旋轉(zhuǎn)點聲源空間聲場的頻域精確解［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報，2000，34（1）：71-75. WU Jiuhui，CHEN Hualing，HUANG Xieqing.Acoustic solution of rotating point source in frequency domain［J］. Journal of Xi'an Jiaotong University，2000，34（1）：71-75.

［9］劉志紅.聲輻射預(yù)估理論及其應(yīng)用研究［D］.青島：青島理工大學(xué)，2010：1-93.

［10］杜功煥，朱哲民.聲學(xué)基礎(chǔ)［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2012：202-243.

附錄A

附錄B

Acoustic modeling and numerical algorithms of uniformly accelerated motion of point sound source

WU BoboLIU ZhihongYI ChuijieMA Yanmei
（School of Mechanical Engineering，Qingdao Technological University，Qingdao 266033，China）

As the sound field characteristics of uniform acceleration motion are closely related to the moving states of the sound source，the article proposes a calculation method of sound pressure produced by uniform accelerated point source.Using this method to establish the sound pressure model of uniform accelerated sound source，it describes numerical analysis and simulation methods on acoustic vector and sound pressure.A numerical calculation method of sound pressure produced by uniform accelerated sound source can be obtained on condition that receiving position is fixed.The simulation results show that the sound pressure increases significantly when the sound source getting closely to the receiver in a certain distance，and beyond the distance，it has little effect on sound pressure.It can provide theoretical support for the similar study on moving sound source.

Uniform accelerated motion，Sound field，Acoustic vector

TN912.2

A

1000-310X（2015）02-0183-06

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.02.015

2014-05-03收稿；2014-10-05定稿

?國家自然科學(xué)基金項目（61271387）

吳波波（1990-），男，安徽宿州人，碩士研究生，研究方向：振動與噪聲控制。

E-mail：Lzhqingdao@163.com