陳加明　宋小文　徐　浩

1.杭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,杭州,310000　　2.浙江大學(xué),杭州,310027

結(jié)合模糊聚類和合作競爭博弈的優(yōu)化方法

陳加明1宋小文2徐浩2

1.杭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,杭州,3100002.浙江大學(xué),杭州,310027

針對多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈問題的難點(diǎn)，即博弈問題的各博弈方戰(zhàn)略集的確定問題，利用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法、回歸分析和F檢驗(yàn)為模糊聚類提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，將多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)與博弈分析結(jié)合起來,提出了一種多目標(biāo)優(yōu)化方法。以減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，對該方法的性能進(jìn)行了分析與驗(yàn)證,并與傳統(tǒng)單目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明,該方法收斂速度快，計(jì)算效率高，無需人為確定各目標(biāo)權(quán)重，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

模糊聚類；合作競爭博弈；均勻設(shè)計(jì)；回歸分析

0　引言

科學(xué)實(shí)踐、工程設(shè)計(jì)及社會生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的許多問題都可以描述為優(yōu)化問題，由于實(shí)際問題的復(fù)雜性,一般是具有多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)、多個(gè)約束條件的多目標(biāo)問題?，F(xiàn)有的經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化解法主要都?xì)w結(jié)于多目標(biāo)的線性組合，對Pareto最優(yōu)前沿的形狀很敏感，不能處理前沿的凹部，優(yōu)化效率非常低,時(shí)間成本高，計(jì)算量巨大，并且求解問題時(shí)由于難以獲得與應(yīng)用背景相關(guān)的啟發(fā)式知識信息，從而使優(yōu)化效果差或者無法正常實(shí)施優(yōu)化，尤其對于大規(guī)模問題，這些傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法的應(yīng)用非常少[1]。

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，各目標(biāo)之間一般是沖突的[2]。為了調(diào)和這些沖突，就需要以某種方式來解決各目標(biāo)之間的矛盾。而博弈論是研究決策主體的行為在直接相互作用時(shí)，如何進(jìn)行決策以及這種決策如何達(dá)到均衡的方法,目前博弈論在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)越來越多。鑒于多目標(biāo)優(yōu)化問題和博弈問題的相似性，可以將博弈論思想和方法引入到工程多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的求解之中，以克服傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題求解方法的不足。謝能剛等[3-4]根據(jù)Nash均衡模型和Stackelberg寡頭博弈模型，建立了多目標(biāo)博弈設(shè)計(jì)的技術(shù)路線和關(guān)鍵指標(biāo)，并在補(bǔ)償滑輪組變幅機(jī)構(gòu)、汽車被動懸架系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中成功應(yīng)用。

現(xiàn)有多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈分析中,將設(shè)計(jì)變量集合轉(zhuǎn)化為各博弈方戰(zhàn)略集的一般轉(zhuǎn)化方法是：采用層次分析法[5]或者直接求解目標(biāo)對設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)來得到各設(shè)計(jì)變量對各目標(biāo)的影響因子矩陣，再對影響因子矩陣進(jìn)行模糊分類得到其等價(jià)矩陣。層次分析法受主觀影響較大；直接求解偏導(dǎo)數(shù)只能適用于目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)的情況,適用范圍小。

因此，本文將均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法應(yīng)用于機(jī)械產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)博弈分析的博弈方戰(zhàn)略集中,采用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法得到各設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)的影響因子指標(biāo)，然后依據(jù)模糊聚類法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行聚類，最終得到各博弈方的戰(zhàn)略集。該方法彌補(bǔ)了現(xiàn)有方法的不足，且不要求目標(biāo)函數(shù)和各約束連續(xù)可導(dǎo)，可用來分析離散優(yōu)化問題，擴(kuò)大了方法的適用范圍。

1　博弈戰(zhàn)略集的劃分?jǐn)?shù)據(jù)基礎(chǔ)

1.1機(jī)械產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化的博弈描述

對于一個(gè)工程實(shí)際問題,目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量和約束條件都確定以后,其最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型基本確定，多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型一般表示為[6]:

minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))

s.t.ai≤xi≤bii=1,2,…,n

hl(X)=0l=1,2,…,p

gk(X)≤0k=1,2,…,q

式中,X為設(shè)計(jì)變量，X=(x1,x2,…,xn);ai、bi為設(shè)計(jì)變量xi的下限和上限;n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù);m為優(yōu)化目標(biāo)的個(gè)數(shù);fm(X)為第m個(gè)子目標(biāo)；p為等式約束的個(gè)數(shù);q為不等式約束的個(gè)數(shù)。

對于n個(gè)博弈方的博弈可以表示如下[7]:①有限集P表示博弈方；②Si={s1,s2,…,sm}表示博弈方i的戰(zhàn)略集；③S={S1,S2,…,Sn}為所有博弈方的戰(zhàn)略空間;④收益函數(shù)U為所有博弈方戰(zhàn)略效用到實(shí)數(shù)空間的一個(gè)函數(shù)映射。因此,可以用G={P,S,U}來表示該博弈。

1.2基于均勻設(shè)計(jì)、回歸分析和F檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析

要采用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法[8]得到各設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)的影響因子指標(biāo),首先要根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康拇_定試驗(yàn)指標(biāo)，然后選擇試驗(yàn)因素水平和均勻設(shè)計(jì)表，制定試驗(yàn)方案,對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行回歸分析和檢驗(yàn)。

均勻設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要建立多因素的回歸模型?；貧w分析統(tǒng)計(jì)分析方法可以定量地分析多種變量的相互依賴關(guān)系。通過自變量和因變量的回歸模型可以對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重要性分析，可以估算新型條件下的試驗(yàn)結(jié)果，還可以對已有結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。若設(shè)計(jì)試驗(yàn)有m個(gè)因素，優(yōu)化目標(biāo)y關(guān)于因素集X的二次多項(xiàng)式回歸模型為[9]

其中,β0、βi、βi i、βi j為回歸系數(shù);ε為隨機(jī)誤差。

通過F檢驗(yàn)可以對均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)服從F分布，可以用來檢驗(yàn)均數(shù)差別的顯著性,分析多個(gè)因素的相互作用大小以及分離各個(gè)因素,檢驗(yàn)方差齊性等[10]。

2　結(jié)合模糊聚類和合作競爭博弈分析方法

2.1模糊聚類方法

模糊聚類的數(shù)學(xué)模型如下:

n個(gè)樣本數(shù)據(jù)集矢量X=(x1,x2,…,xn)聚合為m個(gè)類別,模糊聚類矩陣U=[uj f]m×n,其中uj f代表該樣本xf對第j個(gè)類別的同意度。通常，最高的同意度決定了該樣本應(yīng)該屬于哪一類。

基于模糊等價(jià)關(guān)系的模糊聚類法，其傳遞閉包方法一般是：建立數(shù)據(jù)矩陣并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，進(jìn)而建立模糊相似矩陣，再傳遞閉包聚類。

2.2合作競爭博弈優(yōu)化

結(jié)合模糊聚類和合作競爭博弈分析方法步驟如下：

(1)建立多目標(biāo)問題的數(shù)學(xué)模型，確立多目標(biāo)優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，通過均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)和回歸分析得到各設(shè)計(jì)變量對各設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響因子矩陣，并進(jìn)行傳遞閉包轉(zhuǎn)化，成功轉(zhuǎn)化多目標(biāo)問題為博弈優(yōu)化問題，求得策略集組合S={S1,S2,…,Sm}。

i,j=1,2,…,m

3　減速器高速級傳動的優(yōu)化設(shè)計(jì)

以帶式輸送機(jī)減速器的高速級齒輪傳動為例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。已知輸出功率P1=10 kW,小齒輪轉(zhuǎn)速為n1=960 r/min,傳動比i=3.2(齒數(shù)比u=i)。驅(qū)動方式為電動機(jī)驅(qū)動,假設(shè)每年365個(gè)工作日,工作15年，兩班倒。假設(shè)工況是帶式輸送機(jī)工作平穩(wěn)，轉(zhuǎn)向保持不變。

減速器的三個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)為齒輪嚙合重合度(f1)、齒輪體積(f2)、接觸疲勞安全度(f3,即接觸疲勞極限應(yīng)力與接觸疲勞許用應(yīng)力之比)。理想的狀態(tài)是通過優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，使得重合度達(dá)到最大，同時(shí)減小體積并使安全度盡可能大。4個(gè)設(shè)計(jì)變量分別為模數(shù)x1、主動輪齒數(shù)x2、載荷系數(shù)x3、齒寬系數(shù)x4。因此，選用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)U7(74),對應(yīng)因素水平得到均勻試驗(yàn)結(jié)果，如表1所示。對均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行回歸分析計(jì)算，回歸分析結(jié)果中，目標(biāo)函數(shù)f1、f2、f3的回歸分析F值分別為F1=29.7220，F(xiàn)2=111.4113，F(xiàn)3=48.2889，查F檢驗(yàn)表，得到F(4,3)=9.12，回歸分析F值結(jié)果與檢驗(yàn)表數(shù)據(jù)對比，F(xiàn)1>9.12,F2>9.12,F3>9.12,因此均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果可靠，由此可以得到減速器4個(gè)設(shè)計(jì)變量對3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的回歸分析的系數(shù)結(jié)果矩陣為

表1　均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果

由得到的回歸系數(shù)矩陣，可以得到模糊相似矩陣為

用MATLAB編程，根據(jù)模糊聚類傳遞閉包的原則可以得到，減速器模糊聚類的傳遞閉包矩陣為

由傳遞閉包矩陣可以看出,令置信度λ=0.99,模糊聚類矩陣為

因此，可以對4個(gè)設(shè)計(jì)變量聚類為：{1,2}、{3}、{4},應(yīng)用本文的方法，得到優(yōu)化結(jié)果如表2所示。合作競爭博弈優(yōu)化迭代的過程設(shè)計(jì)變量x1、x2、x3、x4如圖1所示，目標(biāo)f1、f2、f3的博弈迭代結(jié)果如圖2所示。

表2　減速器博弈優(yōu)化結(jié)果

圖1　4個(gè)設(shè)計(jì)變量的合作競爭博弈優(yōu)化迭代過程

4　計(jì)算結(jié)果比較及結(jié)論

本文設(shè)計(jì)得到的結(jié)果與傳統(tǒng)的減速器設(shè)計(jì)結(jié)果[11]進(jìn)行對比,如表3所示?；跈?quán)重的多目標(biāo)優(yōu)化方法中，對于三個(gè)目標(biāo)權(quán)重分別為0.333，編程求得的優(yōu)化結(jié)果見表4。該優(yōu)化結(jié)果表明，本文的方法在齒面接觸、齒根彎曲強(qiáng)度等多種約束條件下，通過增大齒數(shù)，增加了減速器傳動的重合度，使得傳動的時(shí)候嚙合更平穩(wěn)，減少了減速器的跑偏、漏料以及異常噪聲等現(xiàn)象。增大齒數(shù)的同時(shí)，減少模數(shù)，減小了齒輪加工的時(shí)候金屬的切削量，節(jié)省了制造費(fèi)用，提高了減速器的工程經(jīng)濟(jì)性能。降低齒寬系數(shù)使得體積減少很多，但是因?yàn)辇X數(shù)的增大，齒寬影響不大，不影響齒輪的承載能力。

表3　本文設(shè)計(jì)和傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對比

表4　本文設(shè)計(jì)和基于權(quán)重的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果對比

本文通過均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)得到各設(shè)計(jì)變量對所有目標(biāo)的影響因子指標(biāo)，再利用模糊聚類進(jìn)行分類，實(shí)現(xiàn)各博弈方戰(zhàn)略集的劃分，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為博弈問題;在此基礎(chǔ)上提出一種機(jī)械產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法(即多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)博弈分析方法),算例結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性。與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比，該方法不需要人為確定各目標(biāo)的權(quán)重，可以用于離散問題的優(yōu)化，計(jì)算效率高，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯王旻玥)

Optimization Method Based on Fuzzy Clustering and Cooperative Competition Game

Chen Jiaming1Song Xiaowen2Xu Hao2

1.Hangzhou Vocationaland Technical College,Hangzhou,310000 2.Zhejiang University,Hangzhou,310027

Aiming at the difficulty of transforming multi-objective optimization problem to game problem which was about determining the strategy set for each partition of game players,a multi-objective optimization method was proposed by using uniform design experimentation,regression analysis and F test statistic to obtain data bases for fuzzy clustering and combining cooperative competition game.Taking reducer design optimization as an example,performance of the method was analyzed and verified.Compared with the traditional single-objective optimization method,the experimental results show that the multi-objective method has fast convergence rate and high computational efficiency,and it is unneccessary to determine the weight of each target,which has engineering application values.

fuzzy clustering;cooperative competition game;uniform design;regression analysis

2015-04-02

TG122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.16.009

陳加明,男,1970年生。杭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院友嘉機(jī)電學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)槟＞咴O(shè)計(jì)、模具CAD/CAM等。獲國家教學(xué)成果2等獎1項(xiàng)，浙江省教學(xué)成果1等獎1項(xiàng)，發(fā)表論文10余篇。宋小文,女,1967年生。浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。徐浩,女,1990年生。浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。