吳勁松　周金宇

江蘇理工學(xué)院常州市裝備再制造工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,常州,213001

隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)體可靠性拓?fù)鋬?yōu)化

吳勁松周金宇

江蘇理工學(xué)院常州市裝備再制造工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,常州,213001

考慮工程實(shí)際中外載荷、材料屬性等的隨機(jī)不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)安全性的影響，研究了具有結(jié)構(gòu)位移可靠性約束的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。建立以柔度最小為目標(biāo)、以單元相對(duì)密度為變量、具有材料體積分?jǐn)?shù)約束和結(jié)構(gòu)位移可靠性約束的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型；針對(duì)運(yùn)用有限元數(shù)值計(jì)算方法時(shí)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為隱式的情況，運(yùn)用響應(yīng)面法近似逼近結(jié)構(gòu)真實(shí)的功能函數(shù)；利用簡(jiǎn)便高效的一次二階矩法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移可靠度;采用內(nèi)循環(huán)為確定性的拓?fù)鋬?yōu)化、外循環(huán)控制結(jié)構(gòu)材料體積分?jǐn)?shù)的策略對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)兩個(gè)算例與確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果表明所提設(shè)計(jì)方法是高效可行的。

可靠性;拓?fù)鋬?yōu)化;隱式功能函數(shù);響應(yīng)面法

0　引言

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化一直是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題。目前對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究已經(jīng)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，形成了均勻化方法[1]、變密度法[2]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[3-4]以及水平集法[5]等拓?fù)鋬?yōu)化方法。當(dāng)前對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的研究大多是基于確定性假設(shè)，沒(méi)有考慮實(shí)際工程中載荷、材料屬性、結(jié)構(gòu)尺寸等的不確定性。由于沒(méi)有考慮這些不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，所以確定性的拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)安全裕度較低，對(duì)于一些對(duì)隨機(jī)變量敏感的問(wèn)題，確定性拓?fù)鋬?yōu)化很難保證結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。

在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中將載荷、材料屬性等參數(shù)視為隨機(jī)變量，將結(jié)構(gòu)的可靠性作為拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的約束條件之一，研究結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化，在求解算法中將結(jié)構(gòu)可靠性理論和拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)進(jìn)行有機(jī)融合，由于定量計(jì)入了影響結(jié)構(gòu)性能的各種不確定因素，因此結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能在安全性和經(jīng)濟(jì)性之間達(dá)到最佳平衡，從而有效克服了傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的不足，使設(shè)計(jì)結(jié)果更趨合理[6]。近年來(lái)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的研究引起了許多學(xué)者的重視,文獻(xiàn)[7-8]運(yùn)用一種啟發(fā)式策略先對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行修正使其滿足結(jié)構(gòu)的可靠性要求，再用修正后的隨機(jī)變量進(jìn)行確定性的拓?fù)鋬?yōu)化研究；文獻(xiàn)[9-10]分別利用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法結(jié)合響應(yīng)面法對(duì)具有可靠性約束的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[11-12]通過(guò)隨機(jī)有限元法將結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化視為一種對(duì)單元的模式識(shí)別，研究了隨機(jī)變量服從正態(tài)分布和非正態(tài)分布的連續(xù)體可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。迄今為止,對(duì)連續(xù)體可靠性拓?fù)鋬?yōu)化研究大都是將可靠性分析和拓?fù)鋬?yōu)化同時(shí)進(jìn)行，每步拓?fù)鋬?yōu)化迭代都要計(jì)算一次結(jié)構(gòu)的可靠性，存在計(jì)算量大、計(jì)算效率低和精度難以保證等問(wèn)題。同時(shí)，在可靠性分析過(guò)程中,對(duì)于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為隱式時(shí)如何計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠性也沒(méi)有做詳細(xì)的闡述。

本文在傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究的基礎(chǔ)上，基于變密度法建立了具有結(jié)構(gòu)位移可靠性約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型，利用響應(yīng)面法對(duì)隱式的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)近似逼近，再進(jìn)一步算得結(jié)構(gòu)的位移可靠性指標(biāo)。將可靠性分析和拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)分開(kāi)進(jìn)行研究，通過(guò)內(nèi)循環(huán)是確定性拓?fù)鋬?yōu)化、外循環(huán)是控制材料體積分?jǐn)?shù)大小這種內(nèi)外循環(huán)策略實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化研究。最后通過(guò)兩個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證文中方法的可行性。

1　可靠性拓?fù)鋬?yōu)化基本模型

拓?fù)鋬?yōu)化就是在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋求滿足約束條件下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)傳力路徑和材料分布。經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在給定的材料體積分?jǐn)?shù)下尋求具有柔度最小的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其基于變密度法的數(shù)學(xué)模型為[13]

(1)

式中,xi為材料單元的相對(duì)密度,即設(shè)計(jì)變量;ui為材料單元位移列向量;k0為材料密度為“1”的單元?jiǎng)偠染仃?xmin為最小材料單元密度,通常取為0.01;vi為材料單元相對(duì)體積;p為懲罰因子;C為結(jié)構(gòu)整體的柔度值;K為整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣;U為整體位移列向量;F為外載荷向量;V為整體結(jié)構(gòu)體積;V*為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積;f為給定的材料體積分?jǐn)?shù)。

由式(1)可以看出：經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化尋求的是在給定材料體積分?jǐn)?shù)下具有柔度最小即剛度最大的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中我們更多時(shí)候關(guān)心的是結(jié)構(gòu)在外載荷作用下最大位移是否滿足設(shè)計(jì)要求。經(jīng)典的確定性拓?fù)鋬?yōu)化得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)僅僅是滿足剛度最大，至于結(jié)構(gòu)最大位移、最大應(yīng)力等是否滿足設(shè)計(jì)要求都無(wú)法得知。此外，實(shí)際工程中的載荷、材料性能、結(jié)構(gòu)尺寸等都是不確定的。因此，單純研究確定性拓?fù)鋬?yōu)化所得到的結(jié)構(gòu)顯然會(huì)存在很多缺陷，更加沒(méi)有可靠性保障。現(xiàn)考慮與結(jié)構(gòu)剛度密切相關(guān)的結(jié)構(gòu)位移可靠性，建立基于變密度法具有位移可靠性約束的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

(2)

式中,P[g(X)=δ*-δi≥0]>P*為結(jié)構(gòu)的可靠性約束;P*為結(jié)構(gòu)允許可靠度;δi為單元的位移;δ*為結(jié)構(gòu)許用的最大位移。

2　隱式功能函數(shù)的近似逼近

連續(xù)體可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的可靠性約束為

P[g(X)=δ*-δi≥0]>P*

(3)

其中g(shù)(X)=δ*-δi≥0為結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)下的功能函數(shù)。對(duì)式(3)的求解需要計(jì)算每個(gè)單元的可靠性。如果結(jié)構(gòu)位移最大的單元都能滿足

P[g(X)=δ*-max{δ(i)|i=1,2,…,n}≥0]>P*

(4)

那么整個(gè)結(jié)構(gòu)就一定能滿足可靠性要求,所以問(wèn)題就可以簡(jiǎn)化成只需計(jì)算位移最大的單元的可靠性約束。假設(shè)隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，結(jié)構(gòu)處在安全域內(nèi)的功能函數(shù)為

g(X)=δ*-max{δ(i)|i=1,2,…,n}>0

(5)

g(X)>0的概率為

P[g(X)>0]=1-P[g(X)≤0]=

(6)

式中,Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù);ug和σg分別表示結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

式(6)表明,結(jié)構(gòu)可靠度和可靠性指標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的定義,β可表示為在標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)空間S中從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離,即

(7)

其中，si是將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化方程為

(8)

由以上分析可以看出,只要知道結(jié)構(gòu)的功能函數(shù),利用簡(jiǎn)單的一次二階矩法就可以很方便地得到結(jié)構(gòu)的可靠度,但此處結(jié)構(gòu)功能函數(shù)式(5)是一個(gè)隱式,無(wú)法得知它的準(zhǔn)確表達(dá)式，這就給一次二階矩法的應(yīng)用帶來(lái)了巨大困難。針對(duì)這種情況,可采用響應(yīng)面法求解。

響應(yīng)面法通過(guò)合理選取試驗(yàn)點(diǎn)和迭代策略來(lái)保證多項(xiàng)式函數(shù)能夠在失效概率上收斂于真實(shí)的隱式極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。用于擬合的多項(xiàng)式有很多種，其中二次不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、精度相對(duì)較高被廣泛應(yīng)用。二次不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面的功能函數(shù)為

(9)

(10)

圖1　試驗(yàn)點(diǎn)選取示意圖

利用最小二乘法求得線性響應(yīng)面的待定系數(shù)

b=(ATA)-1ATy

(11)

其中，A是由2n+1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)xl1,xl2,…,xln(l=1,2,…2n+1)組成的(2n+1)×(2n+1)階樣本矩陣:

A=

(12)

(13)

經(jīng)過(guò)一次迭代可得近似功能函數(shù),如圖2a所示;經(jīng)過(guò)多次迭代則不斷接近真實(shí)功能函數(shù)，如圖2b所示,直到相鄰兩次迭代算得的可靠性指標(biāo)滿足|βj-βj-1|<0.001,則停止迭代,輸出結(jié)果β。

(a)一次迭代(b)多次迭代圖2　響應(yīng)面法獲取近似功能函數(shù)

3　高效可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程

可靠性拓?fù)鋬?yōu)化研究的難點(diǎn)是如何將可靠性分析和拓?fù)鋬?yōu)化簡(jiǎn)單高效地結(jié)合在一起，克服計(jì)算量大的困難并且保證所需精度。在當(dāng)前的求解方法中,可靠性分析和結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是在同一迭代循環(huán)內(nèi)完成的，即首先通過(guò)相應(yīng)優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，每次迭代后再利用有限元分析得到結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力，然后進(jìn)行可靠性分析，最后判斷是否滿足可靠性約束和其他約束要求。如果不滿足, 再重新優(yōu)化直到滿足設(shè)計(jì)約束[14-16]。但每次迭代結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤疃及l(fā)生變化，需要重新計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠性。同時(shí)，由于變化的無(wú)規(guī)律性，導(dǎo)致無(wú)法得知結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的表達(dá)式，給可靠性計(jì)算帶來(lái)困難。所以將可靠性分析放在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，存在重復(fù)計(jì)算可靠性的問(wèn)題，增加了求解計(jì)算量。

拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)質(zhì)就是通過(guò)一定的方法逐漸去除對(duì)結(jié)構(gòu)性能貢獻(xiàn)小的材料,保留對(duì)結(jié)構(gòu)性能貢獻(xiàn)大的材料。材料去除得越多,對(duì)應(yīng)確定性拓?fù)鋬?yōu)化即式(1)中的體積分?jǐn)?shù)f越小,經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)只是滿足剛度最大，是否能滿足位移可靠性的約束則需要進(jìn)一步驗(yàn)證。可以明確的是,f越大,結(jié)構(gòu)受載后的最大位移肯定越小，對(duì)應(yīng)的位移可靠性也越高。去除的材料過(guò)多，結(jié)構(gòu)的可靠性就無(wú)法得到保障；去除的材料過(guò)少，結(jié)構(gòu)又過(guò)于保守,達(dá)不到優(yōu)化的目的[17]。

因此,通過(guò)控制材料體積分?jǐn)?shù)，找到合適的體積分?jǐn)?shù)f能使結(jié)構(gòu)安全性和經(jīng)濟(jì)性達(dá)到最佳平衡，就能解決可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。綜上所述，可以利用內(nèi)外循環(huán)的策略，內(nèi)循環(huán)為確定性拓?fù)鋬?yōu)化,外循環(huán)為控制材料體積分?jǐn)?shù)f的大小。首先給定一個(gè)初始體積分?jǐn)?shù)f，進(jìn)行確定性拓?fù)鋬?yōu)化即內(nèi)循環(huán)，然后對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，并結(jié)合響應(yīng)面法得到結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，最后利用式(7)算出可靠性指標(biāo)β。如果可靠性指標(biāo)小于給定的指標(biāo)β<β*,則說(shuō)明去除材料過(guò)多,這時(shí)增大體積分?jǐn)?shù)f，返回確定性拓?fù)鋬?yōu)化前的模型，再次運(yùn)行內(nèi)循環(huán)，直到β≥β*,再進(jìn)一步判斷是否滿足可靠性指標(biāo)收斂準(zhǔn)則:

|β-β*|≤ξ

(14)

如果不滿足則說(shuō)明結(jié)構(gòu)還有優(yōu)化空間,這時(shí)再減小體積分?jǐn)?shù)f運(yùn)行內(nèi)循環(huán)。通過(guò)二分法增大或者減小材料體積分?jǐn)?shù)直到滿足式(14)為止，整個(gè)優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3　可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程框圖

4　算例

4.1算例一

圖4　懸臂梁的設(shè)計(jì)域

圖5　不考慮可靠性的優(yōu)化結(jié)果

(a)β=4.0(b)β=2.0圖6　考慮位移可靠性約束的優(yōu)化結(jié)果

圖7　算例一迭代歷程

4.2算例二

圖8　初始的設(shè)計(jì)域

圖9　不考慮可靠性的優(yōu)化結(jié)果

(a)β=4.0(b)β=2.0圖10　考慮位移可靠性約束的優(yōu)化結(jié)果

圖11　算例二迭代歷程

表1所示為算例一、算例二分別考慮可靠性和不考慮可靠性的優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)，可以看出，考慮可靠性約束優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最大位移明顯小于不考慮可靠性約束結(jié)構(gòu)的最大位移，因此考慮可靠性所得結(jié)構(gòu)更加合理。同時(shí)，由于定量考慮了結(jié)構(gòu)的可靠性，所以結(jié)構(gòu)不僅能滿足剛度最大而且有一定的可靠性保證，從而實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)性和安全性的最佳平衡。

表1　優(yōu)化結(jié)果對(duì)照表

5　結(jié)論

(1)利用響應(yīng)面法近似逼近結(jié)構(gòu)的隱式功能函數(shù)，極大簡(jiǎn)化了因結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為隱式給可靠性分析帶來(lái)的困難。

(2)采用內(nèi)外循環(huán)的策略，將可靠性分析和拓?fù)鋬?yōu)化分開(kāi)進(jìn)行，避免了在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中每步迭代都計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠性，而只需在拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)束時(shí)計(jì)算一次結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)，極大減小了計(jì)算量同時(shí)提高了計(jì)算效率。

(3)算例一、算例二的分析結(jié)果表明:可靠性拓?fù)鋬?yōu)化與確定性的拓?fù)鋬?yōu)化相比，結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)僅有少量增加就能獲得較大的可靠度增長(zhǎng)。該方法對(duì)于解決連續(xù)體可靠性拓?fù)鋬?yōu)化是簡(jiǎn)易可行的，可為解決工程實(shí)際的結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供新思路和實(shí)用方法。

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(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Reliability-based Topology Optimization of Implicit Performance Function Structure

Wu JinsongZhou Jinyu

Changzhou Key Laboratory of Equipment Remanufacturing Engineering, Jiangsu University of Technology,Changzhou,Jiangsu,213001

Considering the impacts of uncertain factors such as external loading,material property etc. on structural safety in engineering practice,the topology optimization design with the structural displacement reliability constrain was discussed.A mathematical of topology optimization was developed,where the minimization of compliance was taken as objective function,the relative densities of elements were taken as design variables,the material volume fraction and structural displacement reliability were taken as constraints.The response surface method was implemented to approximately approach its real performance function, for the situation that the structural performance function was implicit by using finite element numerical method.Then,the simple and efficient first order second moment method was used to obtain the structural displacement reliability.The strategy that inner loop was the deterministic topology optimization and the outer loop was to control the material volume fraction was implemented to carry out the reliability-based topology optimization of continuum structure.Finally,two numerical examples were given to be compared with the results of deterministic topology optimization showing that the design method is efficient and feasible.

reliability;topology optimization;implicit performance function;response surface method

2015-03-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275221);江蘇省產(chǎn)學(xué)研聯(lián)合創(chuàng)新資金資助項(xiàng)目(BY2014038-04)

TB114;H122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.16.013

吳勁松，男，1989年生。江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)橄冗M(jìn)再制造技術(shù)與裝備。周金宇，男，1973年生。江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院教授、博士、碩士研究生導(dǎo)師。