周思柱　曾運(yùn)運(yùn)　袁新梅

長(zhǎng)江大學(xué)，荊州，434000

圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度研究

周思柱曾運(yùn)運(yùn)袁新梅

長(zhǎng)江大學(xué)，荊州，434000

針對(duì)圓柱正弦活齒傳動(dòng)過(guò)程中的受力情況,基于彈性小變形和變形協(xié)調(diào)假設(shè),提出了理論狀態(tài)下嚙合作用力分析模型；根據(jù)赫茲理論和嚙合副的幾何關(guān)系，建立了嚙合副的嚙合剛度模型，推導(dǎo)出接觸點(diǎn)處主曲率和嚙合副嚙合剛度計(jì)算公式；依據(jù)能量不變?cè)斫⒘讼到y(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，給出了等效扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算公式，形成了一套完整的系統(tǒng)剛度矩陣計(jì)算分析方法;結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)且系統(tǒng)剛度矩陣呈現(xiàn)周期分布的特點(diǎn)，求出了周期計(jì)算公式，并提出了兩種簡(jiǎn)化求解該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的方法。分析結(jié)果可作為圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。

圓柱正弦活齒傳動(dòng)；嚙合力；嚙合剛度；等效扭轉(zhuǎn)剛度；系統(tǒng)剛度矩陣

0　引言

圓柱正弦活齒傳動(dòng)是一種用來(lái)傳遞同軸間運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的新型活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu),它具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大且范圍廣、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，是一種很有發(fā)展前景的新型傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。目前對(duì)圓柱正弦活齒傳動(dòng)的研究主要集中在圓柱正弦活齒傳動(dòng)的嚙合原理、傳動(dòng)比、運(yùn)動(dòng)學(xué)、滑動(dòng)率、活齒受力、模糊故障樹(shù)等方面[1-4],而關(guān)于圓柱正弦活齒傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方面的研究很少見(jiàn)報(bào)道，特別是嚙合副嚙合剛度、系統(tǒng)剛度矩陣方面的研究極少。

本文以圓柱正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了一套完整的圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度矩陣計(jì)算分析方法，發(fā)現(xiàn)了該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)變性和周期性的特點(diǎn)，提出了兩種振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率簡(jiǎn)化求解方法。

1　活齒受力分析

圓柱正弦活齒傳動(dòng)由主動(dòng)軸、殼體、活齒架及活齒4部分組成，如圖1所示。殼體內(nèi)圓柱表面上有周期數(shù)為Z3的內(nèi)正弦滾道，主動(dòng)軸外圓柱表面上有周期數(shù)為Z1的外正弦滾道，在內(nèi)滾道、外滾道以及活齒架槽的交錯(cuò)區(qū)域安裝有球形活齒。由于內(nèi)外滾道均具有周期性，每個(gè)活齒與正弦滾道間共軛齒廓的工作過(guò)程又完全相同，因此在活齒受力分析時(shí)可以選取任意活齒為研究對(duì)象。

圖1　圓柱正弦活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖

為了便于分析并使問(wèn)題簡(jiǎn)化，做如下假設(shè)[5]：①各構(gòu)件無(wú)制造誤差，整機(jī)無(wú)裝配誤差；②活齒與主動(dòng)軸、活齒架及殼體嚙合副之間為接觸彈性小變形；③活齒的質(zhì)量相對(duì)較小，忽略其慣性力；④不考慮嚙合副各元素之間的摩擦力。

1.1活齒受力平衡方程

活齒局部坐標(biāo)系為Oxyz,坐標(biāo)原點(diǎn)O為活齒的球心,x軸表示活齒傳動(dòng)的徑向方向,y軸表示活齒傳動(dòng)的周向方向,z軸表示活齒傳動(dòng)軸向方向。設(shè)活齒在運(yùn)動(dòng)時(shí)處于平衡狀態(tài)，受力如圖2所示,根據(jù)各個(gè)力的空間平衡關(guān)系有

(1)

式中,F1i為主動(dòng)軸對(duì)活齒i的接觸力;α1i為主動(dòng)軸對(duì)活齒i的作用力接觸角;μ1i為主動(dòng)軸與活齒i嚙合副接觸線方向角;F2i為活齒架對(duì)活齒i的接觸力;F3i為殼體對(duì)活齒i的接觸力;α3i為殼體對(duì)活齒i的作用力接觸角;μ3i為殼體與活齒i嚙合副接觸線方向角。

圖2　活齒空間受力圖

1.2變形協(xié)調(diào)方程和幾何方程

主動(dòng)軸與活齒i之間的接觸力F1i可以分解為徑向力F1xi和徑向法截面方向的力F1yzi。假定主動(dòng)軸瞬時(shí)不動(dòng)，給活齒施加一個(gè)順時(shí)針?lè)较虻牧豑，在該力矩的作用下，各活齒與主動(dòng)軸接觸處產(chǎn)生接觸變形，使活齒中心轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度Δφ,則所有活齒中心相應(yīng)地發(fā)生一個(gè)相同的微小的周向位移Δs。根據(jù)主動(dòng)軸正弦滾道與活齒的嚙合方程可知,主動(dòng)軸與活齒i嚙合副接觸線方向角為

μ1i=arctan(-R1/(AZ1cos(Z1φ1i)))

式中,φ1i為活齒i相對(duì)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)角；R1為主動(dòng)軸空間正弦曲線徑向半徑；A為內(nèi)外正弦滾道幅值。

由變形協(xié)調(diào)條件,假設(shè)Δs在F1yzi方向的投影大小與F1yzi成正比例[3],即F1yzi∝Δscosμ1i,則有如下等式成立：

(2)

μ1max=arctan(R1/(AZ1))

對(duì)主動(dòng)軸列扭矩平衡方程，則

(3)

式中，n為活齒個(gè)數(shù)；Tin為輸入扭矩。

將式(2)代入式(3)可得

(4)

將式(4)代入式(2)可得

(5)

利用平均法可以求得

根據(jù)活齒i嚙合副幾何關(guān)系可知

(r1-r)(cosα1i-cosα3i)=R1-R3

(6)

式中,r為活齒半徑;r1為正弦滾道半徑;R3為殼體空間正弦曲線徑向半徑。

2　嚙合副嚙合剛度方程

研究分析圓柱正弦活齒傳動(dòng)的嚙合剛度,先作如下假設(shè)[6-8]:①各零件的加工、裝配準(zhǔn)確，裝配間隙為零，無(wú)間隙嚙合;②嚙合面上的摩擦力忽略不計(jì);③主動(dòng)軸、活齒、殼體、活齒架有變形，其變形量為微小數(shù)量級(jí)，可以忽略。

根據(jù)微分幾何理論，設(shè)曲面上一個(gè)非臍點(diǎn)，其法曲率隨切矢方向的改變而改變，在不同方向的法曲率中總存在最大值和最小值，這兩個(gè)最值稱為主曲率，其對(duì)應(yīng)的方向稱為主方向，并且兩個(gè)主方向相互垂直[9]。根據(jù)主動(dòng)軸滾道面與活齒i幾何關(guān)系可知,在其接觸點(diǎn)處四個(gè)主曲率分別為

(7)

式中,R為活齒中心旋轉(zhuǎn)半徑。

同理,可知活齒i與殼體滾道面在接觸點(diǎn)處四個(gè)主曲率分別為

(8)

活齒與主動(dòng)軸滾道面，或活齒與殼體滾道面和活齒與活齒架槽面彈性接觸問(wèn)題，均可看作為兩個(gè)自由曲面體彈性接觸問(wèn)題[10]。由此可知,彈性壓縮變形引起的相對(duì)位移量為

(9)

式中，F(xiàn)為兩接觸點(diǎn)法向壓力；a為接觸橢圓的長(zhǎng)半徑；J為橢圓積分；E1、E2及ν1、ν2分別為材料彈性模量和泊松比。

當(dāng)兩彈性體均是鋼，彈性模量E1=E2=210 GPa、泊松比ν1=ν2=0.3時(shí)，式(9)可以簡(jiǎn)化為

(10)

其中，∑ρ為主曲率和，且∑ρ=ρ11+ρ12+ρ21+ρ22。

由嚙合剛度的定義,對(duì)式(10)兩邊同時(shí)對(duì)δF求導(dǎo),可得嚙合剛度：

(11)

3　圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

3.1扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型建立

根據(jù)圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),作如下假設(shè)[11]:①因殼體與機(jī)架固聯(lián)，不考慮其振動(dòng)；②不計(jì)軸承支撐剛度、主動(dòng)軸及活齒架的彎曲剛度；③不考慮摩擦和重力的影響。

將圓柱正弦活齒傳動(dòng)簡(jiǎn)化為主動(dòng)軸、活齒、活齒架和殼體四個(gè)部分，按照集中參數(shù)法對(duì)主要運(yùn)動(dòng)構(gòu)件作如下處理：

(1)主動(dòng)軸等效為兩個(gè)慣性圓盤(pán)M11、M12,且將主動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平均分配給兩個(gè)慣性圓盤(pán)。

(2)活齒架等效為兩個(gè)慣性圓盤(pán)M31、M32,且將活齒架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平均分配給兩個(gè)慣性圓盤(pán)。

(3)所有活齒作為一個(gè)整體構(gòu)件進(jìn)行研究，該構(gòu)件視為慣性盤(pán)圓M2。

(4)主動(dòng)軸-活齒嚙合副變形、活齒-活齒架?chē)Ш细弊冃?、活齒-殼體嚙合副變形分別視為扭轉(zhuǎn)彈性體。

根據(jù)上述方法，可以將圓柱正弦活齒傳動(dòng)化簡(jiǎn)為一個(gè)串聯(lián)傳動(dòng)系統(tǒng)，為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)系統(tǒng)，利用動(dòng)能和勢(shì)能不變?cè)瓌t，將各剛性圓盤(pán)和彈性軸轉(zhuǎn)換到主動(dòng)軸上，構(gòu)成單一軸線的五自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，如圖3所示。圖3中，kin、cin為主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼；k1e、c1e為主動(dòng)軸與活齒嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度和總等效扭轉(zhuǎn)阻尼；M2e為所有活齒總等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k2e、c2e為活齒與活齒架?chē)Ш细笨偟刃まD(zhuǎn)剛度和總等效扭轉(zhuǎn)阻尼；M31e、M32e為活齒架等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k3e、c3e為活齒與殼體嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度和總等效扭轉(zhuǎn)阻尼;kout、cout為活齒架扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼；Tout為輸出扭矩。

圖3　圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

3.2等效扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算

根據(jù)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度矩陣K為

要建立主動(dòng)軸上的當(dāng)量盤(pán)-扭轉(zhuǎn)彈簧的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,應(yīng)求解各嚙合剛度在輸入軸上的總等效扭轉(zhuǎn)剛度。由于各個(gè)單齒嚙合副嚙合剛度是轉(zhuǎn)角的函數(shù)，不能簡(jiǎn)單地疊加，故先分別求解單齒嚙合剛度的等效扭轉(zhuǎn)剛度，然后求出所有嚙合副的總等效扭轉(zhuǎn)剛度。

3.2.1主動(dòng)軸與活齒嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度

對(duì)于活齒與主動(dòng)軸正弦滾道的嚙合副來(lái)說(shuō)，當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過(guò)角位移Δφ時(shí),主動(dòng)軸與活齒i接觸點(diǎn)作用力的方向上產(chǎn)生的線位移為

xi=R0Δφsinα1icosμ1i

(12)

式中,R0為主動(dòng)軸半徑。

按照等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變?cè)瓌t，利用下式可以求得全部活齒與主動(dòng)軸總等效扭轉(zhuǎn)剛度：

(13)

式中,k1i為主動(dòng)軸與活齒i嚙合剛度。

將式(12)代入式(13)可得

(14)

3.2.2活齒與殼體嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度

對(duì)于活齒與殼體正弦滾道的嚙合副來(lái)說(shuō),當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過(guò)角位移Δφ時(shí),活齒i與殼體接觸點(diǎn)作用力的方向上產(chǎn)生的線位移為

(15)

式中,h為傳動(dòng)比。

按照等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變?cè)瓌t,利用下式可以求得全部活齒與殼體總等效扭轉(zhuǎn)剛度:

(16)

式中，k3i為活齒i與殼體嚙合剛度。

將式(15)代入式(16)可得

(17)

3.2.3活齒與活齒架?chē)Ш细笨偟刃まD(zhuǎn)剛度

對(duì)于活齒與活齒架的嚙合副來(lái)說(shuō),當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過(guò)角位移Δφ時(shí),活齒i與活齒架接觸點(diǎn)在作用力方向上產(chǎn)生的線位移為

(18)

按照等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變?cè)瓌t,利用下式可以求得全部活齒與殼體總等效扭轉(zhuǎn)剛度:

(19)

式中,k2i為活齒i與活齒架?chē)Ш蟿偠取?/p>

將式(18)代入式(19)可得

(20)

4　等效扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算實(shí)例與分析

上述研究表明，系統(tǒng)中活齒與主動(dòng)軸、活齒架、殼體的嚙合剛度k1i、k2i、k3i是活齒嚙合位置的函數(shù),所以系統(tǒng)的剛度矩陣K也是活齒嚙合位置的函數(shù)，因此圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是一個(gè)5自由度的二階變系數(shù)線性系統(tǒng)。

圖4　嚙合副嚙合力變化曲線

將5個(gè)活齒嚙合副嚙合力分別代入式(11)，就可求出各個(gè)活齒在不同位置時(shí)的嚙合副剛度。篇幅限制，只繪制了1個(gè)活齒嚙合副嚙合剛度隨主動(dòng)軸轉(zhuǎn)角變化曲線，如圖5所示,圖中,k1為主動(dòng)軸與活齒之間嚙合剛度,k2為活齒與活齒架之間嚙合剛度;k3為活齒與殼體之間嚙合剛度。

圖5　嚙合副嚙合剛度變化

將各嚙合副嚙合剛度分別代入式(14)、式(17)、式(20)，就可求出活齒在不同位置時(shí)的嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度。本文只列出了一部分?jǐn)?shù)據(jù)和繪制了主動(dòng)軸與活齒嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度變化曲線，如表1、圖6所示。

表1　嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度

圖6　主動(dòng)軸與活齒嚙合副總等效扭轉(zhuǎn)剛度曲線

分析表1和圖6可以發(fā)現(xiàn)，該實(shí)例嚙合副等效扭轉(zhuǎn)剛度k1e、k2e、k3e均呈現(xiàn)周期性，且周期相同，均為45°，這與理論分析結(jié)果一致。在一個(gè)周期內(nèi)，嚙合副等效扭轉(zhuǎn)剛度變化范圍很窄。現(xiàn)將k1e、k2e、k3e代入到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度矩陣K中，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)剛度矩陣也呈現(xiàn)周期性，周期TK=45°。

圓柱正弦活齒傳動(dòng)二階時(shí)變扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的剛度矩陣具有周期性，其周期TK=πh/(Z3n),即結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了周期大小，原因是圓柱正弦活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)具有周期性。分析發(fā)現(xiàn)，該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M不變。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)可認(rèn)為是經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，則該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼矩陣C=αM+βK,其中,α、β是實(shí)常數(shù)。通過(guò)上述分析可知，阻尼矩陣C也呈現(xiàn)周期性，其周期TC與剛度矩陣周期TK相同。

對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行分析可以避免系統(tǒng)共振，為該傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析以及動(dòng)載荷的分析計(jì)算提供理論數(shù)據(jù)。質(zhì)量矩陣M不變，剛度矩陣K和阻尼矩陣C具有相同的周期，所以系統(tǒng)的固有頻率隨活齒嚙合位置的變化周期性地變化，且周期與剛度矩陣的周期TK相同。該結(jié)論與文獻(xiàn)[13]分析的擺動(dòng)活齒傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)論一致。

分別取k1e、k2e和k3e的最大值、最小值及平均值,可以計(jì)算出扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)最大固有頻率fmax、最小固有頻率fmin及平均固有頻率fmea,計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)固有圓頻率

綜合上述結(jié)論，可以提出兩種計(jì)算圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率的方法：

(1)二階時(shí)變扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率可以轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)矩陣迭代攝動(dòng)法求解系統(tǒng)的固有頻率，這將大幅度減小求解時(shí)變系統(tǒng)固有頻率精確值的計(jì)算量。

(2)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度矩陣直接取平均值，則將圓柱正弦活齒二階時(shí)變扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二階常系數(shù)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，這樣求出的系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率誤差很小，通過(guò)這種方法更加簡(jiǎn)化了扭轉(zhuǎn)固有頻率的計(jì)算，而且也完全滿足工程實(shí)際要求。

5　結(jié)論

本文建立了一套完整求解圓柱正弦活齒傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型嚙合剛度的方法，并結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了分析說(shuō)明,發(fā)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)剛度矩陣具有周期性，求出了周期計(jì)算公式，指出了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)，提出了該時(shí)變系統(tǒng)固有頻率的兩種簡(jiǎn)化求解方法，一種方法是在剛度矩陣周期內(nèi)利用矩陣迭代攝動(dòng)法求解系統(tǒng)在不同位置時(shí)的固有頻率精確值，另一種方法是將扭轉(zhuǎn)剛度矩陣看作定值，將扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)變系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性系統(tǒng)，求解平均固有頻率，計(jì)算精度完全滿足工程要求。

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(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Study on Stiffness of Torsional Vibration System on Cylinder Sine Oscillation Tooth Transmission

Zhou SizhuZeng YunyunYuan Xinmei

Yangtze University,Jingzhou,Hubei,434000

In accordance with the force conditions of cylinder sine oscillation tooth transmission,a model of meshing force analysis under theoretical conditions was proposed based on the hypothesis of stretch small distortion and distortion congruity.According to Hertz theory and geometric relation of engagement pair,engagement stiffness models of the engagement pair were established,and the calculation formulas of the engagement stiffness and the principal curvature of the contact point were deduced.The torsional vibration model of cylinder sine oscillation tooth transmission were established by energy conservation principle,and the calculation formulas of equivalent torsional stiffness were given,forming a complete set of analysis and calculation methods of system stiffness matrix,and the presented methods was illustrated through an example.The fact is discovered,that the torsional vibration is a time-varying system and the system stiffness matrix shows the characteristics of cycle distribution,and the cycle calculation formula are found.Two simplified methods for solving natural frequency of the torsional vibration system were pointed out.The acquired results can be adopted as the analytical base for structure design and vibration analysis.

cylinder sine oscillation tooth transmission;meshing force；engagement stiffness;equivalent torsional stiffness;system stiffness matrix

2014-10-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51374041)

TH132.425DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.003

周思柱,男,1963年生。長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)研究所教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)。獲省級(jí)科技進(jìn)步一等獎(jiǎng)1項(xiàng)、二等獎(jiǎng)4項(xiàng)、三等獎(jiǎng)2項(xiàng)，中國(guó)石油與化工科技進(jìn)步獎(jiǎng)4項(xiàng)，中國(guó)機(jī)械工業(yè)科學(xué)技術(shù)二等獎(jiǎng)1項(xiàng)。發(fā)表論文150余篇。曾運(yùn)運(yùn),男,1988年生。長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)研究所碩士研究生。袁新梅,女,1979年生。長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。