樸偉英　袁怡寶　林海軍　許景波

1.哈爾濱理工大學(xué),哈爾濱,150080　　2.哈爾濱工業(yè)大學(xué),哈爾濱,150001

一般樣條濾波器及其在表面計(jì)量中的應(yīng)用

樸偉英1袁怡寶2林海軍1許景波1

1.哈爾濱理工大學(xué),哈爾濱,1500802.哈爾濱工業(yè)大學(xué),哈爾濱,150001

提出了樣條濾波器的一般化表達(dá)式，由該表達(dá)式可以構(gòu)造線(xiàn)性樣條濾波器、穩(wěn)健樣條濾波和一般樣條濾波器。一般樣條濾波器保留了部分線(xiàn)性樣條濾波器的特性，又具有穩(wěn)健性。采用Tucky估計(jì),分別采用一般樣條濾波器、線(xiàn)性樣條濾波器與穩(wěn)健樣條濾波器在表面計(jì)量中進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:當(dāng)表面存在明顯的深谷和尖峰時(shí)，采用穩(wěn)健樣條濾波器更為合適；當(dāng)表面近似服從正態(tài)分布時(shí)，三種濾波器得到的表面粗糙度參數(shù)比較接近。

表面計(jì)量;樣條濾波器;穩(wěn)健性;濾波中線(xiàn)

0　引言

在表面計(jì)量中,表面濾波中線(xiàn)的獲取是一個(gè)非常關(guān)鍵的問(wèn)題, 眾多參數(shù)的計(jì)算均與之相關(guān)。

ISO11562和ISO16610-1規(guī)定用高斯濾波器獲取表面濾波中線(xiàn)[1-2]。高斯濾波器存在比較明顯的邊緣效應(yīng),為消除邊緣效應(yīng)的影響，通常需要將原始輪廓首尾一定長(zhǎng)度內(nèi)的數(shù)據(jù)在濾波后舍棄，這會(huì)損失一部分有效測(cè)量數(shù)據(jù)。由于特殊的加工工藝,某些表面可能存在一些深谷和尖峰，高斯濾波器不具有穩(wěn)健性,高斯濾波中線(xiàn)會(huì)在深谷和尖峰附近發(fā)生扭曲,不能正確反映表面形貌，導(dǎo)致表面參數(shù)不可靠。ISO13565-3提出用Rk濾波器來(lái)抑制深谷的影響[3]。Rk濾波器進(jìn)行兩次高斯濾波,第一次濾波后將中線(xiàn)以下的點(diǎn)用中線(xiàn)替代,然后對(duì)修改后的輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行第二次高斯濾波,獲取最終的中線(xiàn)。Rk濾波器能在一定程度上抑制深谷的影響，但不足以克服較大深谷的影響，而且Rk濾波器對(duì)尖峰無(wú)效。

為解決上述問(wèn)題,眾多學(xué)者展開(kāi)了研究。Krystek[4-5]將三次樣條函數(shù)與變分方法相結(jié)合,構(gòu)造出三次線(xiàn)性樣條濾波器(linear spline filter),并通過(guò)遍歷搜索的方法來(lái)求解分段樣條系數(shù)以獲得最終的中線(xiàn),濾波器采用自然邊界條件,在很大程度上抑制了邊緣效應(yīng)。Goto等[6]將穩(wěn)健估計(jì)理論引入樣條濾波器，構(gòu)造了穩(wěn)健樣條濾波器(robust spline filter)。穩(wěn)健樣條濾波器是一種非線(xiàn)性濾波器，能夠抑制尖峰和深谷對(duì)濾波中線(xiàn)的影響。

表面濾波器直接決定了濾波中線(xiàn)的形成,而濾波中線(xiàn)對(duì)粗糙度參數(shù)的評(píng)定有重要影響。目前多種濾波器均被應(yīng)用于表面計(jì)量[7],準(zhǔn)確理解不同濾波器之間的關(guān)系有助于正確評(píng)定表面形貌。Zeng等[8]提出了泛化樣條濾波器，試圖將線(xiàn)性和非線(xiàn)性的穩(wěn)健樣條濾波器統(tǒng)一在一個(gè)理論框架下。本文將線(xiàn)性樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器相結(jié)合，提出了樣條濾波器的一般表達(dá)式,由該表達(dá)式可以構(gòu)造一系列一般樣條濾波器(general spline filter),一般樣條濾波器既保留了線(xiàn)性樣條濾波器的部分特性,又具有穩(wěn)健樣條濾波器的特性。線(xiàn)性樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器可以解釋為一般樣條濾波器的兩個(gè)特例。推導(dǎo)了一般樣條濾波器的濾波方程,分別采用一般樣條濾波器、線(xiàn)性樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器在表面計(jì)量中進(jìn)行了濾波實(shí)驗(yàn)，并比較了由三種濾波器得到的常用的表面粗糙度參數(shù)的異同。

1　樣條濾波器的一般化表達(dá)式

線(xiàn)性樣條濾波器可以用以下最小化問(wèn)題描述:

(1)

其中,zk代表未濾波輪廓數(shù)據(jù);wk代表濾波中線(xiàn);數(shù)據(jù)μ為拉格朗日參數(shù)(Lagrange parameter)。式(1)等號(hào)右邊第一項(xiàng)代表濾波中線(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合,第二項(xiàng)代表樣條曲線(xiàn)的彎曲能量。μ就是控制樣條曲線(xiàn)擬合程度和彎曲程度的折中參數(shù),與樣條濾波器的截止波長(zhǎng)密切相關(guān)。

最小二乘擬合不具有穩(wěn)健性,濾波中線(xiàn)會(huì)受到深谷和尖峰這些異常信號(hào)的影響而發(fā)生扭曲,為此Goto等[6]提出了穩(wěn)健樣條濾波器，其定義如下：

(2)

其中,δk為權(quán)。

穩(wěn)健樣條濾波器的前一項(xiàng)為濾波中線(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的加權(quán)最小二乘擬合,因此,穩(wěn)健樣條濾波器可以抑制深谷等異常信號(hào)的影響，從穩(wěn)健估計(jì)理論的角度來(lái)看，式(2)可以改寫(xiě)為

(3)

其中,ρ(v)為穩(wěn)健估計(jì)中M估計(jì)的ρ函數(shù),v為自變量,函數(shù)ρ(v)前的系數(shù)2是為了平衡拉格朗日參數(shù),以保證當(dāng)μ相同時(shí),穩(wěn)健樣條濾波器與線(xiàn)性樣條濾波器具有相同的截止波長(zhǎng)。函數(shù)ρ(v)與權(quán)函數(shù)δ(v)存在以下關(guān)系：

(4)

式中,ψ(v)為影響函數(shù)。

由式(1)和式(3),可以構(gòu)造以下表達(dá)式：

(5)

上式稱(chēng)為樣條濾波器的一般表達(dá)式,0≤γ≤1,當(dāng)γ=1時(shí),式(5)就是穩(wěn)健樣條濾波器;當(dāng)γ=0時(shí),式(5)為線(xiàn)性樣條濾波器;當(dāng)γ取其他值時(shí),式(5)介于穩(wěn)健樣條濾波器和線(xiàn)性樣條濾波器之間,可以稱(chēng)為一般樣條濾波器。參數(shù)γ控制一般樣條濾波器的穩(wěn)健程度，γ越接近1,一般樣條濾波器越接近穩(wěn)健樣條濾波器,穩(wěn)健性越強(qiáng);γ越接近0,一般樣條濾波器越接近線(xiàn)性樣條濾波器，穩(wěn)健性越弱。

2　一般樣條濾波器的求解

求解式(5)可以得到濾波方程：

[(1-γ)I+γδ(z-w)+μQ]w=

[(1-γ)I+γδ(z-w)]z

(6)

其中,I為單位矩陣,z、w為n維行向量,δ(z-w)為n×n維矩陣。δ(z-w)取值如下：

δ(z-w)=diag(δ0,δ1,…,δn-1)

(7)

δk=δ(zk-wk)

Q為n×n維系數(shù)矩陣。對(duì)于開(kāi)輪廓,有

(8)

在表面計(jì)量中，要求在給定的截止波長(zhǎng)處，濾波器的幅度傳輸特性為50%,據(jù)此可以得到μ值:

(9)

式(6)為一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)(robust estimation)問(wèn)題,從利于計(jì)算機(jī)編程處理角度考慮,可以用選權(quán)迭代法(iteration method with variable weights)求解， 則式(6)可以改寫(xiě)為

[(1-γ)I+γδ(m)(z-w(m))+μQ]w(m+1)=

[(1-γ)I+γδ(m)(z-w(m))]z

(10)

其中,m代表迭代次數(shù),m=0,1,2,…。當(dāng)γ=0,m=0時(shí),式(10)變?yōu)?/p>

(I+μQ)w(1)=z

(11)

式(11)是線(xiàn)性樣條濾波方程,由式(11)可以得到線(xiàn)性樣條濾波中線(xiàn)數(shù)據(jù)w(1)。w(1)可以作為式(10)的初值,代入式(10)迭代計(jì)算，直到滿(mǎn)足條件max|w(m+1)-w(m)|≤ε|w(m)|時(shí),迭代結(jié)束,ε代表一個(gè)很小的數(shù)。具體計(jì)算過(guò)程如下：①首先令式(10)中的γ=0,得到式(11)；②求解式(11),得到w的第一次估值;③選取其他γ值;④由z-w得到殘差,更新權(quán)函數(shù)δ;⑤再求解式(10),不斷迭代計(jì)算步驟④、⑤,直到前后兩次解的差值符合要求為止。

3　實(shí)驗(yàn)

針對(duì)不同的工程表面,采用Tucky估計(jì),比較線(xiàn)性樣條濾波器(γ=0)、穩(wěn)健樣條濾波器(γ=1)與一般樣條濾波器(γ=0.5)的濾波中線(xiàn)數(shù)據(jù)。樣條濾波方程采用矩陣分解算法，計(jì)算程序使用MATLAB編寫(xiě)。為了更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)濾波中線(xiàn)對(duì)粗糙度輪廓的影響,分別計(jì)算由三種濾波中線(xiàn)得到的表面粗糙度參數(shù)Ra,Rq,Rsk,Rku,Rt,RSm,各參數(shù)取3位有效數(shù)字。為了消除邊緣效應(yīng)的影響，首尾各半個(gè)取樣長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)在濾波后舍棄，不用于粗糙度參數(shù)的計(jì)算。

圖1所示為汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸表面的濾波實(shí)驗(yàn)結(jié)果,濾波器截止波長(zhǎng)為0.8 mm。該表面的加工工藝為磨削后拋光,表面上存在許多深谷和尖峰。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,穩(wěn)健樣條濾波器能很好地抑制深谷和尖峰等異常信號(hào)的影響,穩(wěn)健地獲取濾波中線(xiàn)。線(xiàn)性樣條濾波器受深谷和尖峰的影響，濾波中線(xiàn)偏離名義輪廓;一般樣條濾波器的濾波中線(xiàn)介于線(xiàn)性樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器中線(xiàn)之間,也存在偏離名義輪廓的現(xiàn)象。

圖1　拋光表面線(xiàn)性樣條濾波器、一般樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器的濾波中線(xiàn)比較

圖1表面的表面粗糙度參數(shù)見(jiàn)表1?？梢钥闯?三者的表面粗糙度參數(shù)呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性。Ra逐漸減小,Rq、Rsk、Rt逐漸增大,顯示出粗糙度輪廓與濾波中線(xiàn)的高度相關(guān)性。由穩(wěn)健樣條濾波器得到的RSm與另外兩者明顯不同，說(shuō)明對(duì)于存在深谷和尖峰的輪廓，濾波中線(xiàn)的變化會(huì)引起RSm的明顯變化。Rq的物理意義與Ra類(lèi)似，均表示表面的粗糙程度。在該例中，Ra更為準(zhǔn)確地反映了表面的粗糙程度，而Rq卻與Ra呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的特性。這說(shuō)明對(duì)于含有深谷和尖峰的輪廓，Rq不能正確反映表面形貌。Rsk、Rku分別代表表面的偏斜度和峭度，由于Rsk、Rku的計(jì)算過(guò)程也要使用Rq，故這兩個(gè)參數(shù)的準(zhǔn)確性也存在疑問(wèn)。

表1　拋光表面的粗糙度參數(shù)

圖2所示為磨削加工表面的濾波實(shí)驗(yàn)結(jié)果,濾波器截止波長(zhǎng)為0.8 mm。該表面的幅度概率密度分布具有近似正態(tài)分布的特征,由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,穩(wěn)健樣條濾波中線(xiàn)仍然最平坦，線(xiàn)性樣條濾波中線(xiàn)彎曲程度最大,一般樣條濾波中線(xiàn)介于兩者之間。

圖2　磨削表面線(xiàn)性樣條濾波器、一般樣條濾波器和穩(wěn)健樣條濾波器的濾波中線(xiàn)比較

圖2表面的粗糙度參數(shù)見(jiàn)表2,粗糙度輪廓是由原始輪廓減去濾波中線(xiàn)后得到的，三者濾波中線(xiàn)不同，粗糙度輪廓自然也不同，而三者的Ra幾乎相同，這說(shuō)明Ra對(duì)表面輪廓的變化不敏感。RSm的差距也很小，說(shuō)明對(duì)于近似服從正態(tài)分布的輪廓，濾波中線(xiàn)的微小變化對(duì)RSm的影響很小。Rq、Rsk、Rku、Rt則逐漸增大，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一般來(lái)說(shuō)，濾波中線(xiàn)越平坦，Rq越大。

表2　磨削表面的粗糙度參數(shù)

在實(shí)驗(yàn)中還選取了其他γ值,結(jié)果表明一般樣條濾波中線(xiàn)始終介于線(xiàn)性樣條濾波中線(xiàn)和穩(wěn)健樣條濾波中線(xiàn)之間,一般來(lái)說(shuō),隨著γ的增大,迭代次數(shù)增加,計(jì)算量也相應(yīng)增加,濾波器的穩(wěn)健性增強(qiáng),濾波中線(xiàn)也越接近穩(wěn)健樣條濾波中線(xiàn)，反之結(jié)果則相反。

由不同的一般樣條濾波器可以得到不同的一般樣條濾波中線(xiàn),相應(yīng)可以得到不同的表面粗糙度輪廓和粗糙度參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,Ra較為可靠,但Ra對(duì)表面粗糙度輪廓的變化不敏感，只有當(dāng)輪廓出現(xiàn)較為明顯變化時(shí),Ra才能有所反映。Rq與Ra呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律，特別是對(duì)于不服從正態(tài)分布的表面,Rq與實(shí)際情況出入較大，因此，Rq不夠可靠，不能用來(lái)單獨(dú)表征表面粗糙度。Rsk、Rku、RSm、Rt等參數(shù)有一定的參考意義，但這些參數(shù)一般不能單獨(dú)使用。

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出了樣條濾波器的一般化表達(dá)式，該表達(dá)式不僅建立了線(xiàn)性樣條濾波器與穩(wěn)健樣條濾波器的關(guān)系，而且根據(jù)該表達(dá)式可以構(gòu)造濾波器，選取不同的γ值可以得到穩(wěn)健性不同的一般樣條濾波器。在表面計(jì)量中進(jìn)行了應(yīng)用實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)表面存在明顯的深谷和尖峰時(shí)，采用穩(wěn)健樣條濾波器更為合適；當(dāng)表面近似服從正態(tài)分布，不存在明顯的離群點(diǎn)時(shí)，三種濾波器得到的表面粗糙度參數(shù)比較接近。

[1]International Standard Organization .ISO 11562:1996.Geometrical Product Specifications(GPS)-Surface Texture: Profile Method-Metrological Characteristics of Phase Correct Filters[S].1996.

[2]International Standard Organization.ISO/TS 16610-211.Geometrical Product Specifications(GPS)-Filtration-Part 21:Linear Profile Filters:Gaussian Filters[S].2011.

[3]ISO 13565-1.Geometrical Product Specification(GPS)-Surface Texture:Profile Method Surfaces Having Stratified Functional Properties.Part 1.Filtering and General Measurement Conditions[S].1996.

[4]Krystek M.Form Filtering by Splines[J].Measurement,1996,18(1):9-15.

[5]Krystek M.Discrete L-spline Filtering in Roundness Measurements[J].Measurement,1996,18(2):129-138.

[6]Goto T,Miyakura J, Umeda K. A Robust Spline Filter on the Basis of L2-Norm[J]. Precision Engineering, 2005, 29(2):157-161.

[7]Raja J,Muralikrishnan B,Fu Shengyu.Recent Advances in Separation of Roughness,Waviness and Form[J].Precision Engineering,2002,26(2):222-235.

[8]Zeng W,Jiang X,Scott P.A Generalised Linear and Nonlinear Spline Filter[J].Wear,2011,271(3/4):544-547.

(編輯陳勇)

A General Spline Filter and Its Applications in Surface Metrology

Park Weiying1Yuan Yibao2Lin Haijun1Xu Jingbo1

1.Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080 2.Harbin Institute of Techniology,Harbin,150001

A general expression of spline filter was proposed and the linear spline filter,robust spline filter and general spline filter could be derived from this expression.The general spline filter kept the characteristics of the linear spline filter partly,and had the characteristics of robustness.Using Tucky estimation,all of the three kinds of spline filter were compared in surface metrology.The experimental results show that the rubost spline filter is more suitable while there are some deep valleys and high peaks in the surface;the roughness parameters of all spline filters are close while the surface approximately fits normal distribution.

surface metrology;spline filter;robustness;reference line

2015-01-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61179024);黑龍江省基金資助項(xiàng)目(12541152)

TB921DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.006

樸偉英,男,1976年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向?yàn)闉V波方法。袁怡寶,男,1964年生。哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院教授、博士。林海軍,男,1967年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院教授、博士。許景波，男，1973年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院教授、博士。