陳立鋒　李　奇　蔡志華　谷金良

湖南科技大學,湘潭,411201

考慮兩粗糙面分形特性的接觸模型

陳立鋒李奇蔡志華谷金良

湖南科技大學,湘潭,411201

基于M-B分形接觸模型,通過構建接觸系數(shù)建立了考慮兩粗糙面分形特征的接觸模型。分析結果表明,修正模型能較好地與實驗數(shù)據(jù)相吻合,并適用于更大的載荷,修正模型綜合考慮兩粗糙面的特性,其計算結果與實際接觸情況更相符,為摩擦磨損預測、磨粒分析以及不同粗糙度表面的接觸分析提供了參考。

微凸體;兩粗糙面;分形特征;接觸

0　引言

自Mandelbrot[1]提出分形概念以來,由于分形理論在解決復雜非線性問題的特殊優(yōu)勢,分形理論在摩擦學、接觸力學等領域得到廣泛應用[2]。Majumdar等[3]通過W-M函數(shù)模擬粗糙表面的形貌特征,提出了尺寸獨立的M-B接觸模型，為分形理論在接觸力學中的應用奠定了理論基礎。Yan等[4]提出了三維分形表面的W-M函數(shù)生成方法,將分形接觸模型推廣至三維。Wang等[5]基于M-B模型將實際接觸面積與微接觸截面積進行區(qū)分,得到了M-B修正模型。Morag等[6]針對M-B模型的一些質(zhì)疑進行研究,通過改進單個微凸體模型對M-B模型進行了修正。國內(nèi)關于分形接觸模型的研究也取得較好的成果，文獻[7-8]通過考慮彈塑性變形，建立了考慮微凸體彈塑性變形的分形接觸模型;文獻[9-10]考慮粗糙表面的多重分型特性，建立了多重分形接觸模型。分形接觸模型也在材料磨損、潤滑、接觸剛度分析[11-13]等領域得到廣泛研究。

以往的模型通常將兩個粗糙面的接觸視為一個光滑面和一個粗糙面的接觸,模型得到簡化的同時也存在以下不足：①以往的模型未考慮不同粗糙度的平面接觸時的情形，當不同粗糙度的平面接觸時，微凸體數(shù)量應以更粗糙的一面為準，特別是當兩表面粗糙度相差較大時，簡化處理將產(chǎn)生較大誤差。②以往的模型忽略了不同大小的微凸體接觸的情形，實際接觸時應是不同大小的微凸體相接觸，接觸面積以較小微凸體為準，簡化處理將導致分析得出的實際接觸面積偏大。

接觸面的接觸性能應是由兩粗糙面共同決定的,在接觸強度分析時,考慮兩粗糙面的表面特性是十分必要的。本文通過對分形理論的M-B模型進行修正，提出了兩粗糙面接觸系數(shù)的計算方法，并建立了不同粗糙度表面的接觸模型，運用MATLAB進行仿真分析，研究了載荷、分形維數(shù)和分形特征尺度對接觸性能的影響,最后,將結果與Bhushan[14]的實驗數(shù)據(jù)進行對比，以驗證修正模型的合理性。

1　M-B修正模型的建立

1.1M-B原始模型

M-B分形接觸模型是微觀上考慮接觸表面形貌特征的有效模型[15],模型中將接觸視為一個粗糙面和一個光滑平面的接觸，假設粗糙表面由W-M函數(shù)來定義，微凸體變形狀態(tài)與其接觸面積相關,結合Mandelbrot[16]關于“島嶼面積分布理論”的研究，提出了尺寸獨立的M-B接觸模型。

如圖1所示，粗糙面與光滑面發(fā)生接觸,微凸體數(shù)滿足“島嶼面積分布理論”[16],得到微凸體面積與數(shù)量的關系，微凸體面積分布函數(shù)為

(1)

式中,a為微凸體面積,m2;al為最大微凸體面積;D為分形維數(shù)。

圖1　粗糙面與光滑面的接觸

粗糙面接觸時,不同大小的微凸體以ac為臨界面積發(fā)生彈性變形和塑性變形,單個微凸體接觸面積和彈性載荷Pe(a)、塑性載荷Pp(a)的關系為

(2)

Pp(a)=Kσya

(3)

式中,E為綜合彈性模量,Pa;G為特征尺度,m;σy為材料屈服強度,Pa。

模型假設在一定載荷下,微凸體數(shù)量不變，面積隨載荷增加而變大,部分微凸體接觸由于接觸面積變大而從塑性變形變?yōu)閺椥宰冃巍?/p>

綜上所述,可得出總載荷與實際接觸面積的關系。當最大微凸體面積al大于臨界接觸面積ac時,微凸體同時發(fā)生彈塑性變形：

(4)

式中,Km為與硬度相關的系數(shù),通常取1.2;as為最小微凸體面積，通常取0。

當al

(5)

1.2M-B模型的修正

粗糙面之間的接觸實質(zhì)就是多個微凸體之間的接觸,本文在M-B原始模型的基礎上構建接觸系數(shù),得到同時考慮兩粗糙面特性的分形接觸模型。研究表明,多數(shù)粗糙表面的形貌特征滿足正態(tài)分布[17],因此基于M-B模型提出一些假設,兩粗糙面A與B發(fā)生接觸,在一定載荷范圍內(nèi),發(fā)生接觸的微凸體數(shù)量保持不變,如圖2所示，兩粗糙面在受載后,微凸體分別發(fā)生彈塑性變形,兩粗糙面之間存在一個接觸面,本修正模型將粗糙面之間的接觸視為兩粗糙面以接觸面為分界發(fā)生的接觸，不同大小的微凸體之間隨機接觸，即粗糙面A和B分別與同一個接觸面發(fā)生接觸并滿足“島嶼面積分布理論”，與接觸面發(fā)生接觸的微凸體數(shù)量保持不變，而兩粗糙面之間不同大小的微凸體隨機發(fā)生接觸，不同大小的微凸體之間發(fā)生接觸的概率與其在總面積中所占的比例成正比。忽略兩粗糙面接觸時，部分微凸體之間發(fā)生局部接觸或不發(fā)生接觸的情形，側重于考慮不同大小微凸體的接觸以及發(fā)生接觸的微凸體總數(shù)變化。

圖2　兩粗糙面A、B之間的接觸

1.2.1接觸系數(shù)的建立

通過考慮兩粗糙面接觸時,兩粗糙面上微凸體大小與數(shù)量對實際接觸面積的影響來構建接觸系數(shù)。如圖2所示,假設兩個面積相等的粗糙平面A、B相接觸,面A較面B更為粗糙,單位面積內(nèi)面A的微凸體數(shù)小于面B的微凸體數(shù),即相同面積下，面A上的微凸體總數(shù)小于面B的微凸體數(shù)，則兩平面接觸時，發(fā)生接觸的微凸體數(shù)n(a)應以較為粗糙的面A為準。即微凸體總數(shù)相對較少的面A決定發(fā)生接觸的微凸體總數(shù)，發(fā)生接觸的微凸體中面積為a的微凸體總數(shù)為

(6)

其中，D1為面A的分形維數(shù),與M-B模型的假設相同[1],設面A與面B的最大微凸體面積al相同，最小微凸體面積as趨向于無窮小。

粗糙面接觸時,微凸體之間隨機發(fā)生接觸且符合正態(tài)分布，不同大小的微凸體之間發(fā)生接觸的概率與其在總面積中所占的比例成正比，由此構建接觸系數(shù)。

假設面A上一組大小相同的微凸體，面積記為a,與面B上面積小于a的微凸體接觸的概率為λ1,則

(7)

面A上微凸體中與面B上面積大于a的微凸體接觸的概率λ2為

(8)

式中,D2為面B的分形維數(shù);n(a)2為面B上面積為a的微凸體總數(shù)。

1.2.2修正模型的建立

兩不同大小的微凸體相接觸時,接觸面積應以較小的微凸體為準,如圖2所示,兩粗糙面接觸時,實際接觸面積只需要考慮相對較小的微凸體，因此兩粗糙面發(fā)生接觸的微凸體可以分為兩類，即相對較小的微凸體在面A時和較小的微凸體在面B時。

假設面A上一組大小相同的微凸體，面積記為a,接觸時分為以下兩種情形：

(1)相對較小的微凸體在面A時。兩個微凸體接觸的面積應該由面A上的微凸體所決定,用于分析計算的參數(shù)以面A為準,即在此情形時模型的計算參數(shù)(分形維數(shù)、特征尺度、材料特性參數(shù)等)只受面A影響，面A上的相對較小的微凸體具有以下特性:①接觸面積由面A上相對較小的微凸體所決定;②這一部分微凸體仍滿足“島嶼面積分布理論”,面A上相對較小的微凸體數(shù)量為

n(a)A=n(a)λ2

(9)

當al>ac1(ac1為面A的臨界接觸面積)時,面A上載荷與實際接觸面的關系為

(10)

式中，E1、G1、σy1分別為面A的彈性模量、特征尺度、極限屈服強度。

當al

(11)

(2)相對較小的微凸體在面B時。分析計算的參數(shù)應以面B為準，面B上發(fā)生接觸的微凸體具有以下特性：①接觸面積由面B上相對較小的微凸體所決定；②微凸體在面B上隨機分布,仍服從正態(tài)分布,即面A上的微凸體與面B上的微凸體隨機發(fā)生接觸,設面A上一組面積為a的微凸體,在情形2時,面B上與其接觸的微凸體面積在0～a之間,面B上發(fā)生接觸的微凸體面積取近似值a/2,面B上相對較小的微凸體數(shù)量為

n(a)B=n(a)λ1

(12)

當al>ac2(ac2為面B的臨界接觸面積)時,面B上載荷與實際接觸面的關系為

(13)

當al

(14)

關于總載荷P與實際接觸面積Ar的關系,列出修正模型的主要情形如下：

當al>ac1,al>ac2,D1≠1.5且5-2D2-D1≠0時,有

(15)

實際接觸面積為

(16)

彈性接觸面積為

(17)

塑性接觸面積為

(18)

2　仿真分析

(19)

圖3　 不同載荷下G*對的影響

圖4　不同載荷下Φ對的影響

圖5　不同載荷下D對的影響

圖6　不同載荷P*下的最優(yōu)分形維數(shù)D

圖7　D1、D2與的關系

圖8　D1、D2與的關系

根據(jù)文獻[3,14]所測得的數(shù)據(jù),M-B模型中材料特性參數(shù)Φ=0.05,量綱一特征尺度系數(shù)G*=10-10,分形維數(shù)D=1.38。假設修正模型中兩表面材料相同，分形維數(shù)和特征尺度相等，代入以上數(shù)據(jù)分別與M-B原始模型、實驗數(shù)據(jù)、G-W模型[21]對比，分析修正模型的合理性，圖9所示為修正模型與實驗數(shù)據(jù)對比分析結果。

圖9　修正模型與實驗數(shù)據(jù)、M-B原始模型、G-W模型對比分析

由圖9可知，M-B原始模型在P*<2×10-4時與實驗數(shù)據(jù)吻合較好,但在中載荷時開始出現(xiàn)偏差，而G-W模型僅在高載荷時與實驗數(shù)據(jù)相吻合。本文提出的修正模型能適用于更大范圍的載荷，在低載荷時與實驗數(shù)據(jù)相差不大，中載荷時與實驗數(shù)據(jù)更為吻合，而在高載荷時誤差更小。由于在高載荷時，相鄰的微凸體相互間的作用變大，而分形模型忽略了這一因素,故在高載荷時誤差較大。

3　結論

(1)本文研究了兩粗糙面接觸強度計算模型。該模型將粗糙面之間的接觸視為多個微凸體之間的接觸，基于分形理論考慮了不同大小微凸體的接觸以及發(fā)生接觸的微凸體總數(shù)變化，將發(fā)生接觸的微凸體分為兩大類，在M-B原始模型的基礎上構建接觸系數(shù)，得到同時考慮兩粗糙面特性的分形接觸模型。

(2)隨著載荷的增加，實際接觸面變大，特征尺度G與材料特性參數(shù)Φ越小，實際接觸面積越大，并且存在一個分形維數(shù)值D使表面接觸性能達到最優(yōu)，該最優(yōu)值受特征尺度G和材料特性參數(shù)Φ的共同影響。

(3)修正模型綜合考慮兩粗糙面的分形特性，其計算結果與實際接觸情形更加吻合，為摩擦磨損預測、磨粒分析以及不同粗糙度表面接觸分析提供了參考。

[1]Mandelbrot B.How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-similarity and Fractional Dimension[J].Science (New York),1967,156(3775):636-638.

[2]劉瑩,胡敏,余桂英,等.分形理論及其應用[J].江西科學,2006,24(2):205-209.

Liu Yin,Hu Min,Yu Guiying,et al.Fractal Theory and Its Applications [J].Jiangxi Science,2006,24(2): 205-209.

[3]Majumdar A, Bhushan B.Fractal Model of Elastic-plastic Contact between Rough Surfaces[J].Journal of Tribology,1991,113(1):1-11.

[4]Yan W,Komvopoulos K.Contact Analysis of Elastic-plastic Fractal Surfaces[J].Journal of Applied Physics,1998,84(7):3617-3624.

[5]Wang S,Komvopoulos K.A Fractal Theory of the Interfacial Temperature Distribution in the Slow Sliding Regime:Part I—Elastic Contact and Heat Transfer Analysis[J].Journal of Tribology,1994,116(4):812-822.

[6]Morag Y,Etsion I.Resolving the Contradiction of Asperities Plastic to Elastic Mode Transition in Current Contact Models of Fractal Rough Surfaces[J].Wear,2007,262(5):624-629.

[7]董霖,張永相.M-B彈塑性接觸模型的修正[J].四川工業(yè)學院學報,2001,20(2):4-7.

Dong Lin,Zhang Yongxiang.The Modification of M-B Model for Elastic-plastic Contact between Rough Surfaces[J].Journal of Sichuan University of Science and Technology,2001,20(2):4-7.

[8]繆小梅,黃筱調(diào),袁鴻.考慮微凸體彈塑性變形的結合面分形接觸模型[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2013,44(1):248-252.

Miao Xiaomei,Huang Xiaodiao,Yuan Hong.Fractal Contact Model of Joint Interfaces Considering Elastic-plastic Deformation of Asperities[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2013,44(1):248-252.

[9]孟凡明,趙榮珍,張憂云.多重分型表面的彈塑性接觸模型研究[J].西安交通大學學報,2001,31(2):5-7.

Meng Fanming,Zhao Rongzhen,Zhang Youyun.Multiple Points on the Surface of the Elastic-plastic Contact Model Study[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2001,31(2):5-7.

[10]董雯,張永相.雙重分形特征表面彈塑性接觸模型的研究[J].潤滑與密封,2003, 51(2):6-8.

Dong Lin,Zhang Yongxiang.Research on Elastic-plastic Contact Model for Bifractal Surface[J].Lubrication Engineering,2003,51(2):6-8.

[11]王乙潛,黃立萍.分形理論在材料磨損表面分析中的應用[J].材料導報,1998,12(2):8-10.

Wang Yiqian,Huang Liping.Application of Fractal Theory in the Surface Analysis of Worn Material[J].Materials Review,1998,12(2):8-10.

[12]劉紅斌,萬大平,胡德金.分形表面接觸變形對部分膜潤滑的影響[J].摩擦學學報,2008,28(3):244-247.

Liu Hongbin,Wang Daping,Hu Dejin.Influence of Contact Deformation of the Fractal Surface on the Partial Film Lubrication[J].Tribology,2008,28(3):244-247.

[13]陳奇.基于分形理論的汽車變速箱齒輪接觸強度研究 [D].合肥：合肥工業(yè)大學, 2010.

[14]Bhushan B.The Real Area of Contact in Polymeric Magnetic Media—II:Experimental Data and Analysis[J]. ASLE Transactions,1985,28(2):181-197.

[15]陳輝,胡元中,王慧,等.粗糙表面分形特征的模擬及其表征[J].機械工程學報,2006,42(9): 219-223.

Cheng Hui,Hu Yuan,Wang Hui,et al.Simulation and Characterization of Fractal Rough Surface[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2006,42(9):219-223.

[16]Mandelbrot B B.Stochastic Models for the Earth’s Relief, the Shape and the Fractal Dimension of the Coastlines,and the Number-area Rule for Islands[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences,1975,72(10):3825-3828.

[17]葛世榮,Tonder K.粗糙表面的分形特征與分形表達研究[J].摩擦學學報,1997,17(1):73-80.

Ge Shirong,Tonder K.The Fractal Behavior and Fractal Rough Surface Characteristics and Fractal Expression Study[J]. Tribology, 1997,17(1):73-80.

[18]陳奇,黃康,張彥,等.基于分形接觸模型的齒輪接觸強度影響參數(shù)分析[J].中國機械工程,2013,24(16):2208-2211.

Cheng Qi,Huang Kang,Zhang Yan,et al.Analysis of Influence Parameters on the Gear Contact Strength Based Fractal Contact Model[J].China Mechanical Engineering,2013,24(16):2208-2211.

[19]潘玉良,吳立群,張云電,等.分型模型參數(shù)和粗糙度參數(shù)Ra的關系[J].中國工程科學,2003,17(1):73-80.

Pan Yuliang,Wu Liqun,Zhang Yundian,et al.Study of the Relationship between Fractal Model Parameters and Roughness ParametersRa[J].Chinese Engineering Science,2003,17(1):73-80.

[20]李成貴, 袁長良.分形維數(shù)與表面粗糙度參數(shù)的關系[J]. 工具技術, 1997, 31(12):36-38.

Li Chenggui,Yuan Changliang.The Relationship between Fractal DimensionDand Surface Roughness Parameters[J].Tool Engineering,1997,31(12):36-38.

[21]Greenwood J A,Williamson J B P.Contact of Nominally Flat Surfaces[J].Proceedings of the Royal Society of London. Series A.Mathematical and Physical Sciences,1966,295:300-319.

(編輯陳勇)

Contact Model of Considering Two Rough Surface Fractal Characteristics

Chen LifengLi QiCai ZhihuaGu Jinliang

Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan,411201

Based on the M-B fractal contact model,a contact model was built accounted for the fractal characteristics of two rough surfaces by constructing the contact coefficient.The analysis results show that the correction model has a good agreement with experimental date,and it is applicable to larger load.The correction model combines the characteristics of two rough surfaces,which fits better in with actual contact conditions,and it can provide reference to friction prediction, wear prediction,wear particle analysis and different roughness surface analyses.

asperities;two rough surface;fractal characteristics;contact

2014-09-26

湖南省科技廳資助項目(2012TP4023-7)；湖南科技大學博士啟動基金資助項目(E50332)

TH114DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.008

陳立鋒,男,1977年生。湖南科技大學機電工程學院副教授。主要研究方向為機械傳動及系統(tǒng)動力學。李奇，男，1991年生。湖南科技大學機電工程學院碩士研究生。蔡志華，男，1981年生。湖南科技大學機電工程學院講師。谷金良，男，1983年生。湖南科技大學機電工程學院講師。