王開麗，孫　磊，王立勇，孟 夏

（1.水利部松遼水利委員會，吉林長春130021；2.青島市水利勘測設(shè)計研究院有限公司，山東青島266071）

三維強(qiáng)變異滲透系數(shù)隨機(jī)場生成

王開麗1，孫磊1，王立勇1，孟 夏2

（1.水利部松遼水利委員會，吉林長春130021；2.青島市水利勘測設(shè)計研究院有限公司，山東青島266071）

滲透系數(shù)的空間變異性是影響地下水運(yùn)動的主要因素。研究利用改進(jìn)的連續(xù)隨機(jī)增加方法生成了滲透系數(shù)的對數(shù)（lnK）符合分維布朗運(yùn)動（fBm）和分維Levy運(yùn)動（fLm）的隨機(jī)場，并對其統(tǒng)計特征進(jìn)行了分析驗證。結(jié)果表明：符合fBm和fLm統(tǒng)計特征的lnK隨機(jī)場表現(xiàn)出強(qiáng)烈的空間變異性，其中fLm條件的lnK隨機(jī)場的空間變異性更強(qiáng)，能更好反映地質(zhì)介質(zhì)中滲透系數(shù)呈現(xiàn)急劇變化的強(qiáng)變異性；符合fLm統(tǒng)計特征的lnK增量的概率密度分布（間距為1）符合Levy穩(wěn)定分布且具有仿射不變性。

滲透系數(shù)；空間變異性；分維布朗運(yùn)動；分維Levy運(yùn)動

1　理論基礎(chǔ)

1.1分維布朗理論與分維Levy理論

fBm是將空間隨機(jī)變量（如lnK）在空間上的隨機(jī)變化看作是具有分維特征的布朗隨機(jī)游動，而將其增量處理成符合fGn的隨機(jī)變量。設(shè)一維隨機(jī)函數(shù)B（x）為分維布朗函數(shù)，即mB（x）=fBm，它的空間隨機(jī)變化的統(tǒng)計特征由其增量函數(shù)nB（x，h）確定，定義為nB（x，h）=m（x+h）-m（x）=fGn，滿足高斯分布，其概率密度函數(shù)GPDF（x）為：

式中：σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

同理fLm是將空間隨機(jī)變量（如lnK）在空間上的隨機(jī)變化看作是具有分維特征的Levy隨機(jī)游動，而將其增量處理成符合fLn的隨機(jī)變量。即mL（x）=fLm，nL（x，h）=fLn。其中fLn的概率分布為Levy穩(wěn)定分布，其概率密度函數(shù)LPDF（x）為：

式中：C和a為表征Levy穩(wěn)定分布特征的參數(shù)，C為寬度參數(shù)（Cα類似于正態(tài)分布的方差），α（0＜α≤2）為決定LPDF（x）分布整體特征的指數(shù)，它使得Levy穩(wěn)定分布的尾部按照P（|x|≥u）→uα衰減。與式（1）相比，式（2）的主要特征是它的尾部衰減比式（1）緩慢而且具有無限的二階矩及以上高階矩。同時α表征LPDF（x）空間分布偏離正態(tài)分布的程度，α越小，其偏離程度越明顯，LPDF（x）尾部衰減越緩慢，即拖尾現(xiàn)象越明顯。此分布特征使得LPDF易于描述局部尺度區(qū)域內(nèi)在小尺度上呈急劇變化的地質(zhì)介質(zhì)的空間變異性（如沉積含水層的層狀介質(zhì)的垂直剖面上水力參數(shù)的急劇變異）。

fBm與fLm作為典型的分維隨機(jī)模型，二者均具有仿射變換后的統(tǒng)計特征不變性（仿射不變性），即對隨機(jī)函數(shù)nB（x，h）和nL（x，h）進(jìn)行尺度變化后得到的隨機(jī)函數(shù)nB（x，h）和nL（x，rh）滿足：

1）nB（x，rh）=mB（x+rh）-mB（（x）仍然具有高斯分布；同理nL（x，rh）=mL（x+rh）-mL（x）仍然具有Levy穩(wěn)定分布；

2）nB（x，rh）與nB（x，h）所對應(yīng)的高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σrh與σh之間滿足：式中：σrh與σh分別對應(yīng)增量間距為rh和h時高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差；r為增量間距的放大倍數(shù)；H為Hurst系數(shù)（0＜H＜1）。

同理，nL（x，rh）與nL（x，h）所對應(yīng)的Levy穩(wěn)定分布的寬度參數(shù)與之間滿足：

Crh=rHCh（4）式中：Crh與Ch分別對應(yīng)增量間距為rh和 h時Levy穩(wěn)定分布的寬度參數(shù)。式（3）與式（4）統(tǒng)稱為分維模型的仿射不變性。當(dāng)α=2時，Levy穩(wěn)定分布即轉(zhuǎn)化為高斯分布，式（4）與式（2）分別轉(zhuǎn)化為式（3）與式（1），此時高斯分布的方差與Levy穩(wěn)定分布條件下的寬度參數(shù)之間滿足：

σ2=2C2（5）

因此可以說，fLm是fBm的推廣，fBm是fLm的特殊情形。

Lu等（2003）開發(fā)了三維的SRA算法程序SRA3DC來生成符合fBm與fLm統(tǒng)計特征的隨機(jī)空間變量。

1.2滲透系數(shù)隨機(jī)場的驗證

生成的lnK隨機(jī)場是否具有fBm的統(tǒng)計特征，需驗證：

1）lnK增量是否具有高斯分布；

2）不同間距的lnK增量的方差是否滿足仿射不變性（式（3））。

其中，不同間距的lnK增量的方差通過離散分析進(jìn)行估算，在此不作贅述，詳情可參考Lu等論述。同理生成的lnK隨機(jī)場是否具有fLm的統(tǒng)計特征，需驗證：

1）lnK增量是否具有Levy穩(wěn)定分布；

2）不同間距的lnK增量的寬度參數(shù)是否滿足仿射不變性（見式（4））。

其中，不同間距的lnK增量的寬度參數(shù)及分位數(shù)分析可按如下公式進(jìn)行估算：

式中：x0.72，x0.28，x0.95與x0.05分別對應(yīng)lnK增量的概率分布的0.72，0.28，0.95與0.05分位數(shù)。

2　符合fBm與fLm的lnK隨機(jī)場生成及其驗證

利用SRA3DC生成符合fBm與fLm統(tǒng)計特征的lnK隨機(jī)場的一次實現(xiàn)結(jié)果表明：fBm與fLm條件下，lnK均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的空間變異性。其中fBm條件下lnK的取值范圍為（0～4），相對較集中；fLm條件下顯示lnK的取值范圍為（-4～12）。這說明與fBm相比，fLm條件下lnK的取值范圍更廣，逐漸偏離均值2.5，尤其是處于較小值與較大值間的范圍增加，表明滲透系數(shù)的空間變異性更強(qiáng)。這也表明與高斯分布相比，Levy穩(wěn)定分布能更好反映地質(zhì)介質(zhì)中滲透系數(shù)場呈現(xiàn)急劇變化的強(qiáng)變異性。

圖1為對應(yīng)的lnK增量（間距為1）的取樣點(diǎn)概率密度與理論Levy概率密度函數(shù)及理論Gaussian概率密度函數(shù)的對比。從圖中可看出，取樣點(diǎn)概率密度與理論Levy概率密度函數(shù)擬合較好。其中與理論Gaussian概率密度相比，理論Levy概率密度函數(shù)能較好的捕捉到取樣點(diǎn)概率分布的峰值和尾部收縮緩慢的特征。從而證明了通過SRA3DC生成的lnK隨機(jī)場具有Levy穩(wěn)定分布的統(tǒng)計特征，即lnK增量符合Levy穩(wěn)定分布的條件。圖2所示為由式（6）～（8）估值得到的不同間距的lnK增量的寬度參數(shù)與間距h之間的關(guān)系。從圖中可以看出，寬度參數(shù)估計值與間距在雙對數(shù)坐標(biāo)下呈較好的線性關(guān)系，其擬合關(guān)系式如下：

ln（C）=0.305ln（h）-1.4684，R2=0.9802（9）

這表明利用SRA3DC生成的lnK隨機(jī)場的寬度參數(shù)C與間距h之間滿足仿射不變性（見式（4））。同時由式（4）可知斜率代表估計的Hurst數(shù)為0.305，與初始設(shè)置的Hurst數(shù)0.3非常接近。綜合以上驗證可知，由SRA3DC生成的符合fLm的lnK隨機(jī)場樣本滿足fLm的統(tǒng)計特征。

3　結(jié)論

圖1lnK增量（間距為1）的取樣點(diǎn)概率密度與理論Levy穩(wěn)定分布及理論Gaussian概率密度函數(shù)的比較

圖2　寬度參數(shù)C的估計值與間距h的擬合關(guān)系

地下水流速的空間變異性是引起地下水污染物不規(guī)則遷移的直接因素。因此，正確評估地下水運(yùn)動過程，對準(zhǔn)確預(yù)測地下水污染發(fā)展趨勢并治理地下水污染具有十分重要的理論和現(xiàn)實意義，這其中尤以確定含水層滲透系數(shù)的空間分布更為重要。通過利用SRA3DC程序生成了lnK符fBm和fLm的滲透系數(shù)隨機(jī)場，結(jié)果表明，符合fBm和 fLm統(tǒng)計特征的lnK隨機(jī)場表現(xiàn)出不同的空間變異性，其中fLm條件的lnK取值范圍更廣，空間變異性更強(qiáng)，能更好地反映地質(zhì)介質(zhì)中滲透系數(shù)場呈現(xiàn)急劇變化的強(qiáng)變異性；通過驗證fLm條件下的lnK增量（間距為1）發(fā)現(xiàn)：取樣點(diǎn)概率密度分布符合Levy穩(wěn)定分布且寬度參數(shù)與增量間距之間的關(guān)系滿足仿射不變性。此研究還僅局限于滲透系數(shù)的無條件生成，但在許多實際工作中，建立在已知部分觀測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的條件生成，及其對地下污染物遷移的影響值得進(jìn)一步深入探討。

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