王敏杰，范元勛，祖 莉

（南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，南京 210094）

諧波齒輪傳動共軛齒廓求解方法的研究*

王敏杰，范元勛，祖 莉

（南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，南京 210094）

在諧波傳動嚙合原理的基礎(chǔ)上，給出一種共軛齒廓求解方法。利用Abaqus求解柔輪的初變形，提取齒圈中截面中性層節(jié)點的徑向變形位移和切向變形位移，結(jié)合Matlab曲線擬合工具箱，以子項為正弦函數(shù)的多項式作為擬合函數(shù)，求取柔輪的變形函數(shù)。以此代替理論變形函數(shù)，完成柔輪單齒嚙入嚙出的運動仿真，對其運動軌跡的包絡(luò)曲線進行最小二乘擬合，得到剛輪齒廓曲線。結(jié)果表明：基于包絡(luò)理論，結(jié)合有限元法和運動仿真，對于求解共軛齒廓是可行的，為諧波齒輪傳動的設(shè)計提供了參考。

有限元法；變形函數(shù)；運動仿真；包絡(luò)

0　引言

諧波齒輪傳動共軛齒廓的設(shè)計，是在已知柔輪齒廓曲線和原始曲線的基礎(chǔ)上，通過對理論嚙合方程的求解，得到剛輪齒廓曲線。求解過程中，柔輪變形函數(shù)的選取會直接影響嚙合狀態(tài)，誤差過大易導(dǎo)致輪齒嚙合干涉、嚙合側(cè)隙不均勻等現(xiàn)象的出現(xiàn)。但是，由于諧波齒輪傳動的復(fù)雜性，柔輪的變形也呈現(xiàn)出復(fù)雜的變化規(guī)律［1］。目前，國內(nèi)主要采用橢圓凸輪波發(fā)生器，將其裝入柔輪后，柔輪齒圈中截面的理論變形函數(shù)是在柔輪中線不伸長、母線仍為直線、不考慮輪齒影響等相關(guān)假設(shè)的基礎(chǔ)上，由彈性殼體理論求解而得。推導(dǎo)過程涉及橢圓積分運算［2］，方程形式較為復(fù)雜，這為共軛齒廓的求解增加了難度。

文獻［3］以漸開線齒嚙式輸出諧波傳動為研究對象，利用有限元分析和傅里葉函數(shù)擬合得到的負載變形函數(shù)對共軛齒廓進行修正，這種方法為共軛齒廓求解過程中變形函數(shù)的選取提供了新的思路。利用有限元分析軟件ABAQUS以及Matlab曲線擬合工具箱求取柔輪空載變形函數(shù)，以此代替理論變形函數(shù)，結(jié)合運動仿真，給出一種諧波齒輪傳動共軛齒廓的求解方法，為諧波齒輪傳動的設(shè)計提供了參考。

1　共軛齒廓的基本理論

以諧波齒輪傳動用于減速作為討論基礎(chǔ)，即剛輪固定，波發(fā)生器輸入，柔輪輸出。原始曲線指的是位于受載平面內(nèi)柔輪的中線在波發(fā)生器作用下形成的彈性變形曲線［4］。圖1為求解共軛齒廓的幾何模型：與剛輪相固連的全局坐標(biāo)系CG（xG，yG）是固定坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點OG與諧波傳動裝置的回轉(zhuǎn)中心重合，縱軸yG是剛輪齒槽的對稱線；局部坐標(biāo)系CR（xR，yR）與柔輪相固連，其坐標(biāo)原點OR是輪齒的對稱線與柔輪原始曲線SR的交點，縱軸yR是柔輪輪齒齒廓的對稱線；局部坐標(biāo)系C0（x0，y0）與波發(fā)生器相固連，其坐標(biāo)原點O0與全局坐標(biāo)系原點OG重合，縱軸y0與波發(fā)生器的長軸重合。

圖1　求解共軛齒廓的幾何模型

按照包絡(luò)理論，得到與柔輪齒廓曲線相共軛的剛輪齒廓表達式［4］為：

式（1）中，ρ為柔輪原始曲線的極半徑；φ為剛輪固定時，相應(yīng)CR與CG兩坐標(biāo)系Y軸的夾角；φ為波發(fā)生器的轉(zhuǎn)角；γ為柔輪轉(zhuǎn)角；U/z1為廣義傳動比，U為柔輪變形波數(shù)，z1為柔輪齒數(shù)；ω為徑向變形位移；υ為切向變形位移；μ為柔輪輪齒偏轉(zhuǎn)角。

由式（1）可知，若能已知徑向變形函數(shù)ω以及切向變形函數(shù)υ，便可代入共軛齒廓方程求解得到剛輪齒廓曲線。而對于式（1）的求解是關(guān)于隱函數(shù)偏導(dǎo)求解，推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，若能結(jié)合運動仿真，可使求解過程變得簡便。

2　柔輪初變形的有限元分析

柔輪的初變形是指將波發(fā)生器裝入柔輪后，不加負載的條件下，由于凸輪的作用，柔輪不可避免發(fā)生的變形。以常用的環(huán)狀剛輪、杯形柔輪和橢圓凸輪波發(fā)生器構(gòu)成的雙圓弧諧波齒輪傳動為例，對共軛齒廓的求解方法作詳細闡述。柔輪基本齒廓曲線為公切線式雙圓弧齒輪基本齒廓，與ΓOCT15023-69標(biāo)準(zhǔn)［5］下的齒廓曲線一致，基本參數(shù)包括模數(shù)m=0.5mm，柔輪齒數(shù)Zr=200，剛輪齒數(shù)Zg=202，傳動比i=100，柔輪徑向變形系數(shù)ω*=1，齒圈壁厚δ=0.9mm。

2.1有限元模型的建立

在Pro/E中建立柔輪和波發(fā)生器的幾何模型后，保存為x_t格式后導(dǎo)入Abaqus中。柔輪材料選用35CrMnSiA，對其進行調(diào)制和表面氮化處理，彈性模量為209GPa，泊松比為0.295；波發(fā)生器材料為45，彈性模量為209GPa，泊松比為0.269。考慮到較多的接觸區(qū)域，選取單元類型為8節(jié)點線性減縮積分C3D8R，并采用沙漏控制。

對柔輪建模時，為保證有限元法的求解精度，考慮輪齒對變形的影響［6］，保留柔輪齒圈，并采用全模型代替對稱模型。網(wǎng)格劃分前，需從杯頂開始，用以軸線為法線的平面進行分割，先將齒圈前沿分割出來，然后將齒圈分為三個部分，前沿倒角、中間齒圈、后沿倒角；再將筒體和杯底分割開，通過掃掠分割將杯底倒角獨立出來。

對波發(fā)生器的裝配過程進行分析時，由于沒有涉及波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動，可忽略橢圓凸輪和柔性軸承之間的滾動摩擦以及柔性軸承滾珠分布的影響，將波發(fā)生器組件簡化為一個剛性薄壁環(huán)，其外輪廓為以柔性軸承厚度等距包絡(luò)形成的曲線［7］。幾何建模時，將波發(fā)生器分為上下兩個半橢圓，上半部分下移距離ω，下半部分上移距離ω，其中，ω為最大徑向變形量。柔輪的有限元模型如圖2a所示，波發(fā)生器有限元模型如圖2b所示。

圖2　有限元分析模型

2.2定義約束條件

（1）分別指定波發(fā)生器上下兩個半橢圓各自的參考點，限制波發(fā)生器的所有自由度，將其約束為剛體，給定上半凸輪參考點向上的位移和下半凸輪參考點向下的位移，其值為ω，以模擬波發(fā)生器裝入柔輪的過程［8］；

（2）限制柔輪的軸向位移；

（3）將波發(fā)生器外表面和柔輪內(nèi)表面定義為接觸區(qū)域，在定義接觸對時，以波發(fā)生器外表面為目標(biāo)面，柔輪內(nèi)表面為接觸面。

2.3有限元結(jié)果分析

柔輪的徑向變形云圖如圖3所示，切向變形云圖如圖4所示。提取柔輪齒圈中截面中性層的徑向變形數(shù)值、切向變形數(shù)值，將其與理論變形函數(shù)進行比較。其最大徑向變形值出現(xiàn)在波發(fā)生器長軸方向，極值為0.553mm，大于理論值0.5mm；在波發(fā)生器短軸杯口處，徑向位移為負，最大值為-0.557mm，大于理論值-0.5mm。其最大切向變形值出現(xiàn)在與波發(fā)生器長軸成正負45°方向杯口處，極值為0.293mm，大于理論值0.25 mm。

圖3　柔輪徑向變形云圖

圖4　柔輪切向變形云圖

進一步分析可知，柔輪杯口由于變形而將波發(fā)生器包裹其中，解釋了諧波傳動工作過程中柔性軸承外圈前沿出現(xiàn)磨損破壞的原因［9］。另一方面，由于實際工作過程中柔輪杯底的限制，其變形沿軸向并不均勻，使得柔輪母線發(fā)生傾斜，導(dǎo)致柔輪內(nèi)壁與波發(fā)生器外輪廓并未出現(xiàn)理論所假設(shè)的緊密貼合［8］。因此，有限元結(jié)果與理論變形并不一致，其更接近于柔輪的實際變形。

3　擬合變形函數(shù)

結(jié)合諧波齒輪傳動的嚙合特征，以柔輪齒圈中截面中性層圓周方向上節(jié)點的徑向位移和切向位移作為擬合變形函數(shù)的數(shù)據(jù)源。由于徑向變形和切向變形是周期變化的，而且其函數(shù)是可積的，因此須用可積的周期函數(shù)對數(shù)據(jù)進行逼近擬合?；诖丝紤]，選取子項為正弦函數(shù)的多項式作為擬合函數(shù)。

Matlab擬合工具箱cftool中提供9項正弦函數(shù)的線性組合，需對各種結(jié)果的擬合誤差進行分析，進而選擇最優(yōu)的擬合函數(shù)。擬合函數(shù)的優(yōu)劣評判因素有誤差平方和SSE、均方根誤差RMSE、調(diào)整自由度復(fù)相關(guān)系數(shù)Adjusted R-square以及復(fù)相關(guān)系數(shù)R-square。前兩個因素越接近0，后兩個因素越接近1，說明離散數(shù)據(jù)和擬合函數(shù)的擬合度越高［3］。徑向變形函數(shù)和切向變形函數(shù)可用統(tǒng)一的表達式表示：

式（2）中，an、bn、cn為擬合函數(shù)的系數(shù)。

經(jīng)過對9種不同擬合方式的比較，得到徑向變形的最佳擬合結(jié)果如表1所示，最大擬合誤差為0.00107mm，是最大徑向變形量的1/517，對求解結(jié)果的影響可以忽略，擬合函數(shù)的選取是可靠的。擬合函數(shù)與理論徑向變形函數(shù)的比較及其誤差曲線如圖5所示，最大誤差為0.053mm。

表1　有限元徑向變形函數(shù)擬合結(jié)果

圖5　徑向變形擬合與誤差曲線

同理，切向變形的最佳擬合結(jié)果如表2所示，最大擬合誤差為0.00053mm，是最大切向變形量的1/553，可以忽略。擬合函數(shù)與理論切向變形函數(shù)的比較及其誤差曲線如圖6所示，最大誤差為0.043mm。

表2　有限元切向變形函數(shù)擬合結(jié)果

圖6　切向變形擬合與誤差曲線

由以上分析可知，擬合函數(shù)的方程形式較為簡單，擬合誤差可以忽略不計，以此作為變形函數(shù)是可靠的。

4　運動軌跡的包絡(luò)

將得到的擬合函數(shù)表達式代入嚙合方程式（1），利用柔輪坐標(biāo)系到剛輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，確定柔輪齒廓在剛輪坐標(biāo)系的映射，以柔輪單齒的一個完整嚙入嚙出過程為基礎(chǔ)，獲得柔輪輪齒相對剛輪輪齒的運動軌跡，再對這一系列的曲線族進行數(shù)學(xué)包絡(luò)［10］。利用Matlab編程，可求得柔輪運動軌跡的包絡(luò)如圖7所示。

圖7　柔輪運動軌跡的包絡(luò)

運用包絡(luò)法對共軛齒廓進行求解時，往往出現(xiàn)包絡(luò)點超出工作范圍，這種數(shù)學(xué)形式的包絡(luò)齒廓工藝上無法實現(xiàn)。因此，求解剛輪齒廓時，需考慮剛輪的制造工藝和品質(zhì)要求。本例中，利用最小二乘法，選擇圓弧-直線-圓弧擬合剛輪齒廓曲線上的離散點。為了保證剛輪齒廓曲線的擬合精度，需比較剛輪齒廓點和擬合圓弧的偏差［4］，求得擬合齒形與理論齒形的最大誤差為0.00869μm，平均誤差為0.00576μm。參考小模數(shù)漸開線圓柱齒輪齒形公差，最大誤差相當(dāng)于6級精度齒形公差的1/1381。因此，從工程意義上講，剛輪采用圓弧-直線-圓弧的齒廓是合理的。需要說明的是，所求齒廓曲線僅是剛輪參與嚙合的工作段齒廓，求取全齒廓時還須考慮過渡圓角、柔輪齒頂與剛輪齒根應(yīng)留有頂隙等因素。

5　結(jié)論

（1）利用Abaqus求解柔輪的初變形，選取子項為正弦函數(shù)的多項式作為擬合函數(shù)，對柔輪齒圈中截面中性層的徑向變形位移和切向變形位移進行擬合。由分析可知，擬合函數(shù)的擬合誤差可忽略不計，變形函數(shù)的選取是可靠的。

（2）用擬合函數(shù)替代理論變形函數(shù)，基于包絡(luò)理論，結(jié)合有限元法和運動仿真的數(shù)值解法，對于求解諧波齒輪傳動共軛齒廓是可行的。

但是，所求共軛齒廓的嚙合性能和精度指標(biāo)還需通過實驗進一步驗證。

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（編輯 趙蓉）

Study on Solving Method for Conjugate Profiles of Harmonic Gear Drive

WANG Min-jie，F(xiàn)AN Yuan-xun，ZU li
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

Based on meshing principle of harmonic drive，a method of solving conjugate profiles is proposed.The initial deformation of flexspline could be figured out by Abaqus.Radial deformation and tangential deformation of the deformed points on neutral surface of middle section would be collected.Combined with curve fitting toolbox of Matlab and taking sum of sin functions as fitting function，deformation function of the flexspline were got.Substitute theoretical deformation function with it，and after completing the motion simulation of engaging-in and engaging-out for a single tooth，fit the envelope curve of the flexspline' s motion trail by least square method.The tooth profile of rigid spline would be worked out.The result shows that based on the envelope theory，combined with finite element method and motion simulation，conjugate profiles can be worked out and it can provide reference for design of harmonic gear drive.

finite element method；deformation function；motion simulation；envelope

TH132.43；TG506

A

1001-2265（2015）02-0013-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.02.004

2014-05-29

國家自然科學(xué)基金項目（51105206）；中央高校自主科研專項計劃項目（30920130121015）

王敏杰（1990—），男，江蘇淮安人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向為機械設(shè)計及理論，（E-mail）wangm jie2008@163.com。