強(qiáng)成秀

(蘭州商學(xué)院隴橋?qū)W院數(shù)學(xué)部，蘭州730100)

常系數(shù)線性微分方程的理論研究已很完整，它在工程技術(shù)等實(shí)際領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，可以用代數(shù)方法求它們的通解［1－3］.類似于線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解也等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè)特解之和.在常微分方程理論中，可以用待定系數(shù)法來(lái)求其特解［4］.利用逆矩陣的方法求某些特殊函數(shù)的不定積分，并沒(méi)有從理論上給出結(jié)論和證明［1］，從而使得該方法在應(yīng)用時(shí)候缺乏理論依據(jù).此處將利用矩陣工具，給出求某些常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一般理論和方法.

1 主要結(jié)論

定理1 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上全體可微函數(shù)所構(gòu)成的線性空間，D是V上一個(gè)求導(dǎo)變換，如果常系數(shù)非齊次線性微分方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f(x)中已知函數(shù) f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fm(x)滿足fi(x)∈Si且D(Si)=D2(Si)=…=Dn(Si)=Si，i=1，2，…，m.其中Si是V的一個(gè)有限維子空間，則該常系數(shù)非齊次線性微分方程可用于逆矩陣方法來(lái)求其特解.

證明 令 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)，S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)).

設(shè)求導(dǎo)變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為 A，A2，…，An，由定理 1 的條件知 S1在求導(dǎo)變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封閉的，設(shè)線性變換 φ(D)=anDn+an－1Dn－1+…+a1D+a0ε(ε 是恒等變換)，很容易知道 φ(D)|S1(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))=(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))φ(A)，則 φ(D)在該組基下的矩陣為 φ(A)，其中 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E(E 是單位矩陣)，由 dim φ(D)|S1(S1)=n和線性變換的維數(shù) dim S1=dim φ(D)|S1(S1)+dim(φ(D)|S1)－1(0)知 dim(φ(D)|S1)－1(0)=0，從而φ(D)|S1是可逆的線性變換，故

說(shuō)明 若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右邊的函數(shù)換為 f2(x)，f3(x)，…，fm(x)，求解同上.若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右邊的函數(shù)為某幾個(gè)函數(shù)之和，則根據(jù)非齊次線性微分方程解的疊加原理可得該方程的一個(gè)特解.

用逆矩陣求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的具體方法:

(1)當(dāng) any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)時(shí)，步驟為

① 根據(jù) f1(x)構(gòu)造一個(gè)由基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)生成的子空間 S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))，并且 S1在求導(dǎo)變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封閉的;

② 求 D|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣 A=(aij)n×n;

③ 求線性變換(D|S1)n在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為An，相應(yīng)地線性變換(D|S1)n－1在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為 An－1，依次求出 An－2，An－3，…，A2;

④ 求 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E，其中 E 為單位矩陣.根據(jù)代數(shù)知識(shí)求逆矩陣(φ(A))－1=(bij)n×n，則(φ(A))－1就是逆變換(φ(D)|S1)－1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣;

⑤ 根據(jù)(φ(A))－1=(bij)n×n寫出(φ(D)|S1)－1(f1(x))=b1if11(x)+b2if12(x)+…+bnif1n(x)i=1，2，…，n;

⑥ 于是 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)的特解為

2 應(yīng)用舉例

例1 利用逆矩陣求方程y″+y'－y=eax，a∈R的一個(gè)特解.

解 首先尋找一個(gè)包含eax的V的子空間S，且S在求導(dǎo)運(yùn)算的作用下不變.通過(guò)x eax的連續(xù)求導(dǎo)運(yùn)算，得到 S的一個(gè)基為eax，x eax，且有 D(eax)=a eax，D(x eax)=eax+ax eax，從而線性變換 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩陣分別為

由于不定積分是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，從而可以利用φ(D)=(D|S)2+(D|S)－ε(ε是恒等變換)的逆變換(φ(D))－1=((D|S)2+(D|S)－ε)－1在基 eax，x eax下的逆矩陣(φ(A))－1來(lái)求 y″+y'－y=eax的一個(gè)特解，即

例2 利用逆矩陣求方程y″+y=x cos 2x的一個(gè)特解.

解 首先尋找一個(gè)包含x cos 2x的V的子空間S，且S在求導(dǎo)運(yùn)算的作用下不變.通過(guò)x cos 2x的連續(xù)求導(dǎo)運(yùn)算，得到 S 的一個(gè)基為 sin 2x，cos 2x，x sin 2x，x cos 2x，且有 D(sin 2x)=2cos 2x，D(cos 2x)= －2sin 2x 以及 D(x sin 2x)=sin 2x+2x cos 2x，D(x cos 2x)=cos 2x－2x sin 2x，從而線性變換 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩陣分別為

使用方法是有條件的，f(x)必須滿足定理1的條件，如果取 f(x)分別為 ln x，tan x，cot x，sec x，csc x，arcsin x，arccos x 等一些基本初等函數(shù)時(shí)，不適用方法.f(x)為含有 xn，eax，sin ax，cos ax，x∈R 的初等函數(shù)時(shí)適用本方法.這進(jìn)一步表明數(shù)學(xué)中逆過(guò)程的方法往往存在局限性.

［1］邱森，朱林生.高等代數(shù)探究性課題集［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2008

［2］張守貴.一類二階常系數(shù)微分方程特解的教學(xué)探討［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，29(12):11-14

［3］方輝平，葉鳴.二階變系數(shù)齊線性微分方程的求解［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，28(1):14-17

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007

［5］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003