解本銘，遲壯

（中國民航大學(xué)，天津 300300）

基于ADAMS的5-P4R并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析及仿真

解本銘，遲壯

（中國民航大學(xué)，天津 300300）

對一種改進(jìn)后的三自由度5-P4R并聯(lián)打磨機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，并采用CAE軟件ADAMS進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真。運(yùn)用螺旋理論分析并聯(lián)機(jī)器人的自由度，通過D-H法建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程并求取運(yùn)動學(xué)逆解，運(yùn)用CAD軟件Solidworks建立并聯(lián)機(jī)器人虛擬樣機(jī)后導(dǎo)入CAE軟件ADAMS環(huán)境中，對虛擬樣機(jī)添加約束條件和驅(qū)動函數(shù)進(jìn)行正向和逆向運(yùn)動學(xué)仿真，驗(yàn)證了改進(jìn)結(jié)構(gòu)的可行性和穩(wěn)定性。

三自由度并聯(lián)機(jī)器人；ADAMS；運(yùn)動學(xué)逆解；運(yùn)動學(xué)仿真

0 引言

在工業(yè)生產(chǎn)中，生產(chǎn)設(shè)備的精度直接決定產(chǎn)品的精度和質(zhì)量。本文以前期研制的3-P4R并聯(lián)打磨機(jī)器人為研究對象，針對動平臺穩(wěn)定性差的問題，在原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上將中間軌道運(yùn)動支鏈改為閉環(huán)并聯(lián)平行機(jī)構(gòu)，對新機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析計(jì)算和運(yùn)動學(xué)分析并在ADAMS環(huán)境下進(jìn)行仿真。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度分析及運(yùn)動學(xué)逆解求取

對并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用空間機(jī)構(gòu)Kutzbach-Grübler公式求取自由度：

fa=6（l-n-1）+ft

式中：l—包括機(jī)架在內(nèi)的連桿數(shù)目；n—關(guān)節(jié)總數(shù)；ft—所有關(guān)節(jié)總自由度數(shù)；

經(jīng)計(jì)算得到fa=-1，而通過Solidworks軟件建模驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)是可以運(yùn)動的，這是由于分支鏈中閉環(huán)的出現(xiàn)給機(jī)構(gòu)的自由度分析造成了困難［1］，所以傳統(tǒng)的計(jì)算公式對此機(jī)構(gòu)并不適用。本文將引入力和運(yùn)動的螺旋理論對機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行求解。

1.1平行機(jī)構(gòu)的自由度分析

由于P-4R機(jī)構(gòu)是由PTT機(jī)構(gòu)等效衍生而來［2］，所以在以后的分析中均采用PTT機(jī)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，可以減少不必要的運(yùn)算步驟。以為ijk機(jī)架，lmn為輸出構(gòu)件時，建立坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1　平行機(jī)構(gòu)螺旋坐標(biāo)系Fig.1 Screw coordinate system of the parallel mechanism

為了方便計(jì)算，使坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)軸平行，原點(diǎn)任選，可分別得到3條運(yùn)動支鏈所對應(yīng)的KP旋量系：

根據(jù)機(jī)構(gòu)尺寸對S1、S2、S3進(jìn)行等量代換并化簡，可以求出等效的KP旋量系：

對Se1、Se2、Se3求交運(yùn)算即可得到輸出端的等效運(yùn)動旋量系：

由式（7）可知，平行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動端有2個平移自由度，分別沿方向v×s1和方向v×s2。又因?yàn)橄蛄縱為繞向量s1旋轉(zhuǎn)的變量，所以向量v×s1和v×s2的所確定的運(yùn)動平面是空間變化的，即平行機(jī)構(gòu)運(yùn)動端在空間中有三個平移自由度，該平行機(jī)構(gòu)滿足保持動平臺三自由度穩(wěn)定平動的要求。

1.2并聯(lián)機(jī)器人的自由度分析

對于第一支鏈，建立坐標(biāo)系如圖2所示，滑塊P1的plücker列向量為$1=［0，0，0，0，0，1］T，虎克鉸P1可以分解為兩個轉(zhuǎn)動方向相互正交的轉(zhuǎn)動副，對應(yīng)的Plücker列向量為$2=［0，-cosα1，sinα1，0，0，0］T，$3=［1，0，0，0，0，0］T，同理可以分析出虎克鉸Q1所允許的兩個相對運(yùn)動的螺旋坐標(biāo)?；⒖算qQ1中心點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1（0，lsinα1，lcosα1），分解出的plücker列向量為$4=［0，-cosα1，sinα1，l，0，0］T，$5=［1，0，0，0，lcosα1，-lsinα1］T。所以第一運(yùn)動支鏈P1Q1的運(yùn)動螺旋矩陣為：$P1Q1=［$1，$2，$3，$4，$5］。

對運(yùn)動螺旋矩陣求取終端約束螺旋為$rP1Q1=k［0，0，0，0，sinα1，cosα1］T，$rP1Q1表示垂直于虎克鉸兩轉(zhuǎn)軸平面的純力偶，被$rP1Q1所限制的運(yùn)動的單位螺旋為$rP1Q1=［0，sinα1，cosα1，0，0，0］T，表示的是繞軸［0，sinα1，cosα1］T的純轉(zhuǎn)動，也垂直于虎克鉸兩轉(zhuǎn)軸所確定的平面。

圖2　支鏈運(yùn)動螺旋坐標(biāo)系Fig.2 Kinematic screw coordinate system of the branch

由于結(jié)構(gòu)相同，對于第二支鏈同樣可以得到類似上述的結(jié)論，同理，第三支鏈中由平行機(jī)構(gòu)中的三條平行支鏈所求得的三個終端約束螺旋大小相等，方向相同，可合并成同一螺旋，該螺旋和前兩條支鏈所提供的兩個約束螺一起，共為并聯(lián)機(jī)器人提供三個約束螺旋。經(jīng)計(jì)算得到：末端執(zhí)行器的自由運(yùn)動空間ΩP的一組基為：｛$vx，$vy，$vz｝，其中$vx=［0，0，0，1，0，0］T，$vy=［0，0，0，0，1，0］T，$vz=［0，0，0，0，0，1］T。所以，末端運(yùn)動平臺的自由度為：

1.3并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)逆解求取

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相反，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿分析中逆解容易，但正解卻非常復(fù)雜。因此逆解的求取對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)分析及軌跡規(guī)劃和控制都尤為重要。本文采用D-H法建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)方程并進(jìn)行逆解的求解。

圖3　并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖Fig.3 Schematic diagram of mechanism of the parallel robot

因?yàn)槠叫袡C(jī)構(gòu)支鏈中三條分鏈的尺寸結(jié)構(gòu)和運(yùn)動形式完全一致，可將三條分鏈簡化合并成一條支鏈，機(jī)構(gòu)簡圖如圖3所示，Ai、Bi、Ci、Di、Ei分別表示第i條支鏈中（i=1，2，3）導(dǎo)軌guii與滑塊si、滑塊si與虎克鉸ji1、虎克鉸ji1與連桿mi、連桿mi與虎克鉸ji2和虎克鉸ji2與運(yùn)動平臺pt的聯(lián)接點(diǎn)。θi1、θi2、θi3、θi4分別為虎克鉸ji1繞以Bi為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的yBi軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角、連桿mi隨以Ci為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的xCi軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角、虎克鉸ji2隨以Di為原點(diǎn)的xDi坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)的角度、運(yùn)動平臺pt隨以Ei為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的yEi軸旋轉(zhuǎn)的角度（坐標(biāo)軸上圓圈表示零件隨該坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)）。OTAi、AiTBi、BiTCi、CiTDi、DiTEi、EiTPi（i=1，2，3）為相鄰兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣。

三條運(yùn)動支鏈以P點(diǎn)為原點(diǎn)的動坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換可表示為：

由于P1、P2、P3為同一點(diǎn)P，所以有OTP1=OTP2=OTP3，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何尺寸對OTP1、OTP2、OTP3分別進(jìn)行簡化，得到：

為了保持機(jī)構(gòu)運(yùn)行的穩(wěn)定，動平臺的運(yùn)動范圍應(yīng)在以三個滑塊為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域內(nèi)。由式（10）、（11）、（12）中的矩陣形式可知動平臺的運(yùn)動始終是平動，所以可將總坐標(biāo)變換矩陣統(tǒng)一為：

由OTP1=OTP2=OTP3對式（10）、（11）、（12）計(jì)算得到滑塊s1、s2、s3中心的位置ys1、ys2、ys3，即所要求的運(yùn)動學(xué)方程逆解：

2 ADAMS環(huán)境下的運(yùn)動學(xué)仿真

2.1運(yùn)動學(xué)逆解分析

為使得動平臺按加工工件所需軌跡運(yùn)動，對動平臺中心點(diǎn)P的x、y、z方向分別添加驅(qū)動函數(shù)如下：

X軸方向驅(qū)動：

STEP（TIME，0，0，1，20）+STEP（TIME，1，0，5，130）+STEP（TIME，5，0，9，-130）+STEP（TIME，9，0，10，10）+STEP（TIME，10，0，12，-20）

Y軸方向驅(qū)動：

STEP（TIME，0，0，1，20）+STEP（TIME，9，0，12，-120）

Z軸方向驅(qū)動：

STEP（TIME，0，0，1，-20）+STEP（TIME，1，0，3，-20）+STEP（TIME，3，0，7，-80）+STEP（TIME，7，0，9，-20）

添加好驅(qū)動約束進(jìn)行12秒1000步的仿真，在后處理模塊中求得動平臺的位移、速度和加速度隨時間變化曲線。同時求得滑塊的逆解位移曲線，通過后處理中樣條曲線工具將三個滑塊的位移曲線生成樣條曲線SPLINE_1、SPLINE_2、SPLINE_3，將三條樣條曲線分別與三個滑塊的初始坐標(biāo)值做差運(yùn)算，得到三個滑塊的移動量offset曲線SPLINE_4、SPLINE_5、SPLINE_6。

2.2運(yùn)動學(xué)正解分析

抑制添加在動平臺的點(diǎn)驅(qū)動，分別以三個滑塊作為主動元件，利用得到的曲線SPLINE_4、SPLINE_5、SPLINE_6編寫AKISPL函數(shù)作為驅(qū)動函數(shù)，分別為AKISPL（time，0，SPLINE_4，0）、AKISPL（time，0，SPLINE_5，0）、AKISPL（time，0，SPLINE_6，0）。

對約束完畢的機(jī)構(gòu)進(jìn)行12秒1000步的仿真后，在后處理模塊中求得動平臺的位移、速度和加速度隨時間變化曲線，即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正解，正解和逆解的擬合曲線圖如圖4所示。

圖4　動平臺正、逆解位移、速度、加速度隨時間變化曲線擬合圖Fig.4 Curve fitting graph of displacement，speed and acceleration in direct and reverse kinematical simulations of the moving platform

由圖4中的前兩張分圖可知，采用逆解作為驅(qū)動，所求得的動平臺位移和速度隨時間變化的三條曲線和所期望得到的三條曲線重合，這也驗(yàn)證了這種利用運(yùn)動學(xué)逆解來作為驅(qū)動取得期望軌跡的方法是正確的。通過對比發(fā)現(xiàn)，兩種情況下動平臺的加速度存在時間上的差異和變向時刻數(shù)值上的差異，時間差是由動平臺分別作為主動和驅(qū)動在達(dá)到相同速度時的時間差異造成的，而引起數(shù)值上的差異則是在采用逆解作為驅(qū)動時忽略滑塊側(cè)向力造成的。

3 改進(jìn)前后動平臺運(yùn)行軌跡精度對比

理想狀態(tài)下的運(yùn)行狀態(tài)在現(xiàn)實(shí)中是難以達(dá)到的，為了模擬實(shí)際情況下運(yùn)動鏈中存在的鉸鏈間隙，將ADAMS模型中的回轉(zhuǎn)副全部替換為圓柱副，并在鉸鏈間添加接觸力，分別以三個運(yùn)動支鏈為主動元件，以之前求取的運(yùn)動學(xué)逆解曲線為驅(qū)動曲線，對改進(jìn)前和改進(jìn)后的并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行正向運(yùn)動仿真。

將采集到的動平臺x軸、y軸、z軸位移隨時間變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入到Matlab環(huán)境中，分別將兩結(jié)構(gòu)仿真里相同坐標(biāo)的變化曲線擬合，為顯示清晰，截取前5s數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖5所示，改進(jìn)前后x軸運(yùn)動軌跡的變化不明顯，但y軸和z軸在3.5s前后、4.5s等位置的軌跡尖點(diǎn)基本被消除，改善較為明顯。

圖5　改進(jìn)前后動平臺運(yùn)行三坐標(biāo)軌跡對比圖Fig.5 Three-dimensional trajectory comparison charts of the former mechanism and the improved mechanism

4 總結(jié)

本文在前期研究的3-P4R并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)上，提出了通過添加以平行機(jī)構(gòu)為形式的冗余約束提高并聯(lián)機(jī)器人穩(wěn)定性的方案，利用螺旋理論對并聯(lián)機(jī)構(gòu)和整機(jī)的自由度分析以驗(yàn)證方案的可行性。運(yùn)用D-H法建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)方程并求取運(yùn)動學(xué)逆解，通過Solidworks軟件進(jìn)行虛擬樣機(jī)的建立，利用ADAMS軟件對并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行正、逆向仿真并分別得到正、逆解曲線，精確的得到了機(jī)器人的運(yùn)動特性，并通過Matlab軟件對改進(jìn)前后的運(yùn)動精度進(jìn)行仿真對比，驗(yàn)證了新結(jié)構(gòu)的可行性和有效性，為該機(jī)器人的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)和后期的運(yùn)動控制設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

［1］黃真，劉婧芳，等.基于約束螺旋理論的機(jī)構(gòu)自由度分析的普遍方法［J］.中國科學(xué)（E輯），2009，1.

［2］于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等.機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］..北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

［3］孟慶鑫，王曉東.機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

［4］鄭建榮.ADAMS虛擬樣機(jī)技術(shù)入門與提高［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［5］朱立達(dá)，史家順，蔡光起，王宛山.基于ADAMS的3-TPS混聯(lián)機(jī)床運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)仿真［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，10.

Kinematical Analysis and Simulation of a 5-P4R Parallel Robot Based on ADAMS

XIE Ben-Ming，CHI Zhuang
（Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

Kinematical analysis of an improved 3-DOF 5-P4R parallel machine tool is studied and kinematical simulation is performed with the CAE software ADAMS.DOF condition is analyzed with the screw theory，the kinematical equations are established with the D-H theory and reverse solutions of which are obtained.The virtual prototype of the machine tool is established with the CAD software Solidworks，then imported into ADAMS environment and restrained with constraints and driving functions for direct and reverse kinematical simulations. Our study provides valuable reference for kinematical analysis and mechanical designing of parallel mechanism.

3-DOF parallel robot；ADAMS；inverse kinematical solutions；kinematical simulation

TH122

A

10.3969/j.issn.1002-6673.2015.02.001

1002-6673（2015）02-001-04

2014-10-07

解本銘（1956-），教授，碩士，中國民航大學(xué)機(jī)場學(xué)院副院長。研究方向：機(jī)電液一體化。已發(fā)表論文五十多篇；遲壯（1988-），中國民航大學(xué)航空自動化學(xué)院碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論。