徐龍華

（安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，陜西安康725000）

完備度量空間上不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣及應(yīng)用

徐龍華

（安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，陜西安康725000）

Banach在1922年證明了完備度量空間上壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)的存在性。通過對(duì)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理?xiàng)l件的研究，給出了Banach壓縮映像原理的推廣，并提出Banach不動(dòng)點(diǎn)定理在存在唯一性方面的應(yīng)用。

完備度量空間；壓縮映射；不動(dòng)點(diǎn)

把一些方程的求解問題轉(zhuǎn)化為求映射的不動(dòng)點(diǎn)，以及用逐次逼近法來求不動(dòng)點(diǎn)，這是代數(shù)方程、微分方程、積分方程、泛函方程以及計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的方法。這個(gè)方法起源很早，一直可以追溯到牛頓求代數(shù)方程根時(shí)所用的切線法，后來Picard用逐次逼近法求解常微分方程。求不動(dòng)點(diǎn)的問題本質(zhì)上是算子方程Tx=x的求解問題。不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性的判定定理一般是基于Banach不動(dòng)點(diǎn)定理［1-3］。1922年Banach把這個(gè)方法的基本點(diǎn)提煉出來，用度量空間以及其中的壓縮算子的一些概念更一般地描述了這個(gè)方法［4］。這種利用泛函分析來研究方程的解的近似方法以及關(guān)于算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在性的研究，自Banach以后又取得了不少重要進(jìn)展［5-8］，甚至成為非線性泛函分析的主要內(nèi)容。壓縮映像原理是一個(gè)非常重要、應(yīng)用最廣的存在性定理［9-10］，它是數(shù)學(xué)分析中許多存在性定理的一種推廣。本文中對(duì)應(yīng)用較廣的Banach不動(dòng)點(diǎn)定理做了進(jìn)一步的推廣，表明不動(dòng)點(diǎn)原理遠(yuǎn)不止用于解通常的方程，還有許多其他應(yīng)用，如隱函數(shù)存在性定理等。

1　壓縮影像原理

定義1設(shè)T：（X，ρ）→（X，ρ）是一個(gè)壓縮映射，如果存在0＜α＜1，使得

定理1Banach不動(dòng)點(diǎn)定理-壓縮映像原理

設(shè)（X，ρ）是一個(gè)完備的度量空間，T是（X，ρ）到其自身的壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

證明T是（X，ρ）→（X，ρ）的一個(gè)壓縮映射，既存在0＜α＜1，使得

任取初始點(diǎn)x0∈X，由迭代產(chǎn)生的序列為：

從而對(duì)?p∈N，

即x*為T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。下面證x*是T的唯一的不動(dòng)點(diǎn)。如果x*，x＊＊都是T的不動(dòng)點(diǎn)，則α＜1），所以x*=x＊＊。故T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

2　Banach不動(dòng)點(diǎn)定理一個(gè)推廣

定理2設(shè)（X，ρ）是一個(gè)完備的度量空間，T是X到X的一個(gè)映射，如果存在自然數(shù)n使得Tn是X上的一個(gè)壓縮映射，那么映射T在X上必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

證明根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，?x0使得Tnx0=x0，則有

可知Tx0也是Tn的不動(dòng)點(diǎn)，又壓縮映射Tn的不動(dòng)點(diǎn)的唯一性可知必有Tx0=x0，這就證明了T有不動(dòng)點(diǎn)。下面證T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。假設(shè)x1是T的任一不動(dòng)點(diǎn)，由于Tx1=x1，則

因此x1也是Tn的不動(dòng)點(diǎn)，又由于Tn的不動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)，所以x1=x0，也就是說T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。當(dāng)n=1時(shí)，定理2就是定理1 Banach不動(dòng)點(diǎn)定理一個(gè)推廣。

3　Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用

3.1數(shù)學(xué)分析中存在性定理

設(shè)X=［0，1］是完備的的度量空間，T（x）是［0，1］上的可微函數(shù)，滿足條件：

則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

3.2常微分方程的初值問題的局部存在唯一性

分析討論下列常微分方程的初值問題：

即求連續(xù)函數(shù)x（t）滿足下列積分方程的問題：也可以看作是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)問題。為此，在以t=0為中心的某區(qū)間［-h，h］上考察度量空間C［-h，h］，并引入映射

則式（11）等價(jià)于求C［-h，h］上的一點(diǎn)x，使得x=Tx，即求T的不動(dòng)點(diǎn)。

證明首先分析在C［-h，h］上，式（12）定義的映射T：

假設(shè)二元函數(shù)F（s，x）對(duì)變?cè)獂關(guān)于s滿足局部Lipschitz條件：?δ＞0，M＞0，使得當(dāng)

其中：

在這里不能直接取C［-h，h］為定理中的度量空間X，因?yàn)楫?dāng)Mh=α＜1時(shí)，T只是C［-h，h］的子集（ξ，δ）上的壓縮映射取X=B（ξ，δ），為了使T：X→X，再設(shè)

取h＞0足夠小，使

由于（C［-h，h］，ρ）是一個(gè)完備的度量空間，而X是它的一個(gè)閉子集，所以（X，ρ）也是一個(gè)完備的度量空間。設(shè)函數(shù)F（t，x）在［-h，h］×［ξ-δ，ξ+ δ］上定義并滿足條件：?δ＞0，M＞0，使得

3.3隱函數(shù)存在定理

設(shè)f：Rn×Rm→Rm，U×V?Rn×Rm是（x0，y0）的一個(gè)領(lǐng)域。設(shè)f及在U×V上連續(xù)，且f（x，y）=0，det|≠0，則?（x，y）的一00（x0，y0）00個(gè)臨域U0×V0?U×V以及唯一的連續(xù)函數(shù)φ：U0→V0，滿足

此證明見文獻(xiàn)［5］。

3.4壓縮影像原理在積分方程中的應(yīng)用

對(duì)于積分方程

其中y（t）∈C［0，1］為一給定函數(shù)，λ為常數(shù)，-1＜λ＜1，求證：積分方程（17）有唯一解。

定義映射T：z（t）·ξ（t）+λ∫10z（s）ds，則

所以T是壓縮映射，壓縮常數(shù)為|λ|＜1，C［0，1］為完備的度量空間，由壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知，T由唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程在C［0，1］有唯一解，從而原方程在C［0，1］上由唯一解。

4　結(jié)束語(yǔ)

Banach不動(dòng)點(diǎn)定理是一個(gè)非常重要、應(yīng)用最廣的存在性定理，本文對(duì)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理做了進(jìn)一步的推廣，推廣的定理適用范圍更廣、應(yīng)用更方便。最后深入分析了不動(dòng)點(diǎn)原理在微分方程、積分方程、隱函數(shù)存在性定理方面的應(yīng)用。

［1］Fisher B.A fixed point theorem for compact metric spaces［J］.Publ Math Debrecen，1978，25：193-194.

［2］朱順榮.完備度量空間與緊空間上的不動(dòng)點(diǎn)定理［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，23（4）：365-369.

［3］干曉蓉.用壓縮映射原理證明較弱條件下的隱函數(shù)存在定理［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，27（5）：14-16.

［4］夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：68-70.

［5］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1987：1-7.

［6］施明輝，江敏，晁飛，等.一種改進(jìn)的不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性定理［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版.2014，53（3）310-312.

［7］江正華.Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)推廣［J］.南京大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，50（1）：9-13.

［8］何瑞強(qiáng).Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，33（2）：61-62.

［9］譚長(zhǎng)明，龍麗.不動(dòng)點(diǎn)定理在方程解方面的應(yīng)用［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，28（1）：84-86.

［10］李晗.壓縮映射的構(gòu)造及Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用［J］.沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（2）：249-251.

（責(zé)任編輯何杰玲）

Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space

XU Long-hua
（Department of Mathematics and Statistics，Ankang University，Ankang 725000，China）

Banach proved that the fixed point of contraction mapping existed on the complete metric space in 1922.Based on the Banach fixed point theorem condition research，the paper provided the generalization of Banach contraction mapping principle and put forward the existence uniqueness of the Banach fixed point theorem in application areas.

complete metric space；contraction mapping；fixed point

O177.5

A

1674-8425（2015）04-0143-04

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.04.029

2014-09-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61152003）；國(guó)家社科基金資助項(xiàng)目（13XJY026）；安康學(xué)院教學(xué)改革資助項(xiàng)目（Jg05224）；安康學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目（2013AYPYZR03）

徐龍華（1980—），男，山東巨野人，碩士，講師，主要從事算子代數(shù)學(xué)研究。

徐龍華.完備度量空間上不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣及應(yīng)用［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（4）：143 -146.

format：XU Long-hua.Promotion and Application of Fixed Point Theorem on Complete Metric Space［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（4）：143-146.