劉孝磊，馬翠玲，郝樹(shù)艷，孫璽菁（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

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Banach空間中的常微分方程邊值問(wèn)題的擬上下解方法

劉孝磊，馬翠玲，郝樹(shù)艷，孫璽菁
（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

摘要：利用擬上下解方法，研究了一階非線性微分方程邊值問(wèn)題u′(t ) =f(t,u(t ) )，u(0 ) -u(T ) =1,1≥0擬解的存在性，并通過(guò)線性微分方程的解來(lái)構(gòu)造算子，從而得到單調(diào)迭代序列，進(jìn)而得到該邊值問(wèn)題的最大最小擬解對(duì)。

關(guān)鍵詞：邊值問(wèn)題；擬上下解；單調(diào)迭代

目前，在微分方程的研究領(lǐng)域中利用擬上下解方法來(lái)研究微分方程解的存在性是一種重要且行之有效的方法。

文獻(xiàn)[1-9]中分別研究了一階常微分方程初值、終值及周期邊值問(wèn)題的擬上下解方法。作為研究周期邊值問(wèn)題的一種推廣，本文來(lái)考慮如下一階微分方程邊值問(wèn)題：并設(shè)f(t,) =f0(t,) +f1(t,) +f2(t,)，其中f0,f1,f2:J×R→R均連續(xù)，J=[0,T ]。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[5]：設(shè)B是半序Banach空間，D?B，A:D×D→B。若A(,)關(guān)于是增算子，關(guān)于是減算子，則稱A是混合單調(diào)算子。

定義2[5]：設(shè)B是半序Banach空間，D?B，A:D×D→B。若存在(*,*)∈D×D，使得A(*,*)=*，A(*,*)=*則稱(*,*)是A的一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)；若(*,*)是A的一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)，*≤*，并且對(duì)A的任意一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)(ˉ,ˉ )都有*≤ˉ，*≤ˉ，則稱(*,*)是A的一對(duì)最大最小擬不動(dòng)點(diǎn)。

定義3[5]：若(0,0)∈D×D,0≤0，使得0≤A(0,0)，A(0,0)≤0，則稱(0,0)是A的一對(duì)擬上下解。

定義4：若v0(t ) ,w0(t )∈C1(J,R )，滿足：則稱(v0(t ) ,w0(t ) )為周期邊值問(wèn)題（1）的一對(duì)擬上下解，其中v0(t )為擬下解，w0(t )為擬上解。若式（2）、（3）中不等式均以等式成立，則稱(v0(t ) ,w0(t ) )為邊值問(wèn)題的一對(duì)擬解。

引理1（Ascoli-Arzela定理）[6]：設(shè)F在[α,β ]上是一致有界和等度連續(xù)的，則存在{fn}?F在[α,β ]上是一致收斂的。

引理2[5]：設(shè)B是半序Banach空間，0,0∈B，0≤0，D=[0,0]，A:D×D→B。若：

（1）A∈C(D×D,B )；

2　主要結(jié)果

定理1：設(shè)v0(t )，w0(t )分別是邊值問(wèn)題的一對(duì)擬上下解，并且v0(t )≤w0(t )，t∈J。如果對(duì)?t∈J，v0(t )≤≤≤w0(t )，有

則邊值問(wèn)題在D×D中存在最大最小擬解(v*(t ) ,w*(t ) )，即邊值問(wèn)題的一對(duì)擬解，并且對(duì)任意一對(duì)擬解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有

其中，D={u|v0≤u≤w0}。若分別以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )為初始元素作迭代序列其中，則{vn}，{wn}是單調(diào)的，并且vn(t )，wn(t )分別一致收斂于v*(t )，w*(t )。

證明：設(shè)v0(t )≤w0(t )，t∈J。令，任給(h1,h2)∈D×D，考慮線性邊值問(wèn)題

F(h1,h2)由式（7）定義。顯然該邊值問(wèn)題有唯一解為

由式（8）定義。

定義算子則A:D×D→C(J,? )連續(xù)，并且A在D×D中的不動(dòng)點(diǎn)與周期邊值問(wèn)題在D×D中的解是等價(jià)的。以下只需證明算子A滿足引理1的條件。

首先，證明A是混合單調(diào)算子。

不妨設(shè)h11≤h12，下證A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

由A的定義知，只需證明如果能證明則式（10）成立。式（11）等價(jià)于即由h11≤h12及條件（4），上式成立，即

A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

同理可以證明，若h21≤h22，則A(h1,h21)≥A(h1,h22),即A是混合單調(diào)算子。

其次，證明v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0。若令v1=A(v0,w0)，則由A的定義有從而

令m(t ) =v1(t ) -v0(t )，則由擬上下解的定義及上式有

下面比較v1(0 )與v1(T )的大小和v0(0 )與v0(T )的大小。由于-1≤0，所以v1(T )≤v1(0 )。

另一方面，由于v0是方程的下解，故有v0(0 ) -v0(T )≤0≤1，即v0(0 )≤v0(T )。

綜合以上2個(gè)不等式，v1(T )≤v1(0 )，v0(0 )≤v0(T )，得

以下證明：對(duì)?t∈J, m(t )≥0。

利用反證法，假設(shè)上述結(jié)論不成立，則存在t0∈J使得m(t0)= mt∈iJn m(t ) <0。由式（12）得，可取t0∈(0,T ]，有m′(t0)≤0。從而m′(t0)≥-Mm(t0)>0，矛盾。故m(t )≥0,?t∈J，即v0≤A(v0,w0)，同理可證A(w0,v0)≤w0。

最后證明A(D×D )?C(J,R )是相對(duì)緊的。

對(duì)任意的u∈A(D×D )，由A的定義，存在(h1,h2)∈D×D，使得u=A(h1,h2)，即

因?yàn)锳是混合單調(diào)算子及v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0，所以對(duì)v0≤h1≤w0，v0≤h2≤w0，有，即A:D×D→D，從而A(D×D )是一致有界的，所以{F(h1,h2)-Mu|(h1,h2)∈D×D,u=A(h1,h2)}是一致有界的，即{u′|u∈A(D×D )}是一致有界的，從而A(D×D )是等度連續(xù)的。由Ascoli- Arzela定理，A(D×D )?C(I,R )是相對(duì)緊的。

至此，引理1中的條件均成立。根據(jù)引理1得，邊值問(wèn)題在D×D中存在最大最小擬解(v*(t ) ,w*(t ) )，并且對(duì)任意一對(duì)擬解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有v*(t )≤vˉ(t )，wˉ(t )≤w*(t )，其中D={u|v0≤u≤w0}。進(jìn)一步，若分別以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )為初始元素作迭代序列vn(t ) ,wn(t )，則{vn(t ) } ,{wn(t ) }是單調(diào)的，并且vn(t ) ,wn(t )分別一致收斂于v*(t ) ,w*(t )。

3　結(jié)論

本文利用擬上下方法研究了一類一階微分方程邊值問(wèn)題，并通過(guò)構(gòu)造單調(diào)迭代序列得到該問(wèn)題的最大最小擬解。另外，從方程所給的條件可以看出，在一階微分方程邊值問(wèn)題（1）中，當(dāng)1=0時(shí)，這個(gè)邊值問(wèn)題就是通常的周期邊值問(wèn)題，因而問(wèn)題（1）是比周期邊值問(wèn)題更具一般性的一類邊值問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸海霞.含間斷項(xiàng)微分方程初值問(wèn)題的擬上下解方法[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（4）：24-27. LU HAIIA. The method of quasi-upper and lower solutions to initial value problem of differential equations including discontinuous term[J]. Journal of Gansu Sciences，2010，22（4）：24-27.（in Chinese）

[2]劉永莉. Banach空間中常微分方程終值問(wèn)題的擬上下解方法[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（1）：10-12. LIUONGLI. The method of quasi-upper and lower solutions to terminal value problem of differential equations in banach spaces[J]. Journal of Gansu Sciences，2005，17 （1）：10-12.（in Chinese）

[3]周媛媛.常微分方程周期邊值問(wèn)題的一種擬上下解方法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，20（1）：77-80. ZHOUUANUAN. Method of quasi-upper and lower solutions for periodic boundarvalue problems of ordinardifferential equation[J]. Journal of Heilongjiang Institute of Science & Technolog，2010，20（1）：77-80.（in Chinese）

[4]張騫.一階常微分方程周期邊值問(wèn)題的擬上下解方法[J].江漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，38（4）：9-11. ZHANG QIAN. A method of quasi-upper and lower solutions for periodic boundarvalue problems of one–order ordinardifferential equation[J]. Journal of Jianghan Universit，2010，38（4）：9-11.（in Chinese）

[5]郭大鈞，孫經(jīng)先，劉昭理.非線性常微分方程泛函方法[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1995：29-38. GUO DAJUN，SUN JINGIAN，LIU ZHAOLI. The functional method of nonlinear ordinardifferential equation [M]. Jinan：Shandong Science and TechnologPress，1995：29-38.（in Chinese）

[6]時(shí)寶，王興平，蓋明久，等.泛函分析引論及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006：62-66. SHI BAO，WANGINGPING，GAI MINGJIU，et al. Introduction to functional analsis with applications[M]. Beijing：National Defense IndustrPress，2006：62- 66. （in Chinese）

[7]李相鋒. Banach空間中二階非線性常微分方程周期邊值問(wèn)題[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2008，10（1）：92-96. LIIANGFENG. Periodic boundarvalue problem for second order nonlinear ordinardifferential equation in banach spaces[J]. Acta Analsis Functional Applicata，2008，10（1）：92-96.（in Chinese）

[8]孫經(jīng)先，劉立山.非線性算子方程的迭代求解及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，1993，13（2）：141-145. SUN JINGIAN，LIU LISHAN. The iteration and application of nonlinear operator equation[J]. Mathematical Phsics Journal：A，1993，13（2）：141-145.（in Chinese）

[9]張騫.上下解與擬上下解的存在性[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，14（1）：8-10.

ZHANG QIAN. The eistence theorem of the upper and lower solutions and the quasiupper and lower solutions [J]. Journal ofi’an Universitof Arts Science，2011，14 （1）：8-10.（in Chinese）

[10]鐘承奎，范先令，陳文源.非線性泛函分析[M].蘭州：蘭州大學(xué)出版社，1998：18-30. ZHONG CHENGKUI，F(xiàn)ANIANLING，CHEN WENUAN. Nonlinear functional analsis[M]. Lanzhou： Lanzhou UniversitPress，1998：18-30.（in Chinese）

[11]閆東明.一階常微分方程無(wú)窮點(diǎn)邊值問(wèn)題的上下解方法[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，20（3）：11-13.AN DONGMING. The lower and upper solution method of infinite- manpoint boundarvalue problem of the first- order ordinardifferential equations[J]. Journal of Gansu Sciences，2008，20（3）：11-13.（in Chinese）

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Reforming Estimation of the Perturbation Bound in Wilkinson Theorem

作者簡(jiǎn)介：劉孝磊（1983-），男，講師，碩士。

收稿日期：2014-09-11；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.019

文章編號(hào)：1673-1522（2015）02-0181-03

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O175

修回日期：2014-12-17