劉雅倩，朱家明，曾淑嫻

（1.安徽財經(jīng)大學 金融學院；2.安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030）

創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計及優(yōu)化模型

劉雅倩1，朱家明2，曾淑嫻2

（1.安徽財經(jīng)大學 金融學院；2.安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學學院，安徽 蚌埠 233030）

本文針對一款新型的創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計加工問題，參考立體幾何學、物理力學、線性規(guī)劃等理論，分別構(gòu)建了動態(tài)變化過程描述模型與最優(yōu)加工參數(shù)規(guī)劃模型以及創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計模型，通過使用Matlab、Excel等軟件，求解了模型中所涉及的各種問題并給出了具體的結(jié)論.

創(chuàng)意折疊桌；受力分析；立體幾何；規(guī)劃模型；Matlab

某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子［1］，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度.這款桌子設(shè)計復雜，需要綜合用料，加工，桌子本身穩(wěn)定性各個方面的綜合考慮.本文試圖建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)（相關(guān)數(shù)據(jù)見2014年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題［2］）.

1 折疊桌動態(tài)變化過程的數(shù)學描述

1.1 研究思路

在折疊桌展開過程中的任意時刻鋼筋總是貫穿所有木條，由于鋼筋是固定在最外面的那根木條上，首先計算出某一時刻t最外根木條的空間位置，再由最外根木條的位置計算鋼筋的位置，除四根著地的木條外，其他所有木條的位置只受到兩個約束條件：木條槽底端與鋼筋的接觸點和木條頂端與桌面的接觸點，根據(jù)這兩點可以分別求出其他木條的位置，通過畫出不同時刻的折疊桌打開瞬時圖來表現(xiàn)桌子的動態(tài)圖.這里設(shè)定長方形平板尺寸為120cm×50cm× 3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm.

1.2 模型的建立

要得到曲面方程，首先要對相對靠近外側(cè)的兩條木條即木條1和木條2進行分析，推導出一般的規(guī)律方程.首先分析桌子的俯視圖，見圖1.

圖1 桌面俯視示意圖

圖2 桌面最終狀態(tài)側(cè)面圖示意圖

2 折疊桌最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的確定

2.1 研究思路

這里以折疊桌的設(shè)計穩(wěn)固性好、用材最少為原則［3］，建立多目標線性規(guī)劃，再對兩個目標分別賦予權(quán)重，將多目標線性規(guī)劃［4］進行分步規(guī)劃，使問題轉(zhuǎn)化為單目標線性規(guī)劃，求解出最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù).這里假定桌高70cm，桌面直徑80cm.

2.2 研究準備

折疊桌的穩(wěn)固性主要取決于兩個因素：折疊桌的重心位置和木條承受能力.

圖4 第一種受力分析示意圖

圖5 第二種受力分析示意圖

圖中B點為著地木條重心位置，A點為該根木條著地位置，C點為鋼筋與著地木條交點位置，F(xiàn)為地面給木條提供的支持力，f為地面給木條提供摩擦力，G為木條重力，T為鋼筋給木條提供拉力，設(shè)AC長度為x，容易知道θ+β=π/2.以第一種受力情況為例，對木條進行力矩分析：

2.3 模型的建立

以第一種受力情況為例，建立如下方程組.方程組的約束條件是穩(wěn)定性最大與用材最少，方程組的第一個式子反映了各個木條長度與各變量之間的關(guān)系，第二個式子是反應(yīng)的是折疊桌處于最終狀態(tài)時相鄰兩木條與豎直方向夾角之間的推導關(guān)系，第三個式子衡量的是設(shè)計木桌的重心所在位置，第四個式子是根據(jù)受力分析以分析桌子的最大載重情況，第五個式子和第六個式子是鋼筋在木條上位置的約束條件.

2.4 模型的求解

鑒于多目標線性規(guī)劃求解較為復雜，采取分步規(guī)劃與控制變量相結(jié)合的方法來求解［5］.

2.4.1 關(guān)于角度θ1的規(guī)劃

桌子處于最終狀態(tài)時，位于邊緣的著地木條與豎直方向的夾角θ1，而這個夾角對于桌子的穩(wěn)定性，桌子的參數(shù)設(shè)計等因素產(chǎn)生重要的影響.所以先對角度的變化范圍進行規(guī)劃分析.畫出桌子最終打開狀態(tài)的簡單的俯視圖，如果穿過所有桌腿的鋼筋即圖中的AB與桌面也就是圓O相離，則桌子的穩(wěn)定性會變差，所以鋼筋位置的臨界值是鋼筋AB與圓O相切的位置，見圖7.根據(jù)這一臨界位置算出θ1的臨界角度，計算原理見圖8.

圖7 鋼筋位置臨界情況示意圖

圖8 θ1的臨界角度的計算原理圖

圖8中鋼筋所在的與桌面相切的平面為面P，AD為折疊桌最外根木條的鋼筋位置距木條地面的距離q，DC為折疊桌最外根木條的長度l1，CB等于桌面半徑e/2.CD與豎直方向夾角為β.當鋼筋位置在面P外時，折疊桌無法維持穩(wěn)定，所以圖示β為木條夾角的最大值，根據(jù)正弦定力可知sinβ=BC/AC=BC/（CD-AD）=e/2（l1-q），由此可求出β，得到木條夾角取值的最大值為46°.研究一計算θ1值為22.8°，并且分析角度不可能過小，這里確定的θ1的變化范圍是12° 到46°，同時設(shè)定θ1變動的步長值為2°.將桌高70cm，桌面直徑80cm，u=0.5帶入轉(zhuǎn)化后目標函數(shù)，得到簡化模型.將結(jié)果做成圖形以直觀地看出變動趨勢，見圖4.

根據(jù)上述方程式，計算出不同的夾角對應(yīng)的折疊桌的承受力，并作出如下圖形.

2.4.2 整體的規(guī)劃結(jié)果

綜上所述：對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)為：平板的長為189cm；鋼筋所在位置到折疊桌最外根木條底端的距離為19.52cm，即位于折疊桌最外根木條的1/3處；開槽長度結(jié)果見下表.

圖9 不同θ1的取值對折疊桌承受力的影響示意圖

表1 開槽長度結(jié)果值

3 總結(jié)

通過確定的鋼筋位置和桌面寬度建立模型，接著根據(jù)算出的桌腿長度，根據(jù)立體幾何學知識，給出桌子的動態(tài)變化描述模型；要想給出桌子的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，首先通過對折疊桌的受力與重心位置的分析建立折疊桌的穩(wěn)固性約束方程，結(jié)合研究一的結(jié)論，進一步考慮加工的方便性和用材的效益性，從而建立一個多目標規(guī)劃模型.通過利用分步規(guī)劃、控制變量法與曲線擬合等方法，計算出在給定桌高與桌面直徑的數(shù)值，計算出的最優(yōu)解為：木條根數(shù)為32根，木板長度為 189.148cm，鋼筋在木條上的位置離木條末端為19.517cm.

〔1〕平板邊桌：Rising Side Table［EB/OL］，http：//www.ixiqi. com/archives/47763.2014-09-12/2012-07-09.

〔2〕2014年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題［EB/ OL］，http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/ 93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.html.2014-09-15/ 2014-09-12.

〔3〕向高軍，季廷洪，杜博亞.創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計［J］.硅谷，2015（01）.

〔4〕邱松強.非線性規(guī)劃的可行性控制方法及其應(yīng)用［D］.蘇州大學，2013.

〔5〕李朝霞.線性規(guī)劃的數(shù)學模型及實際應(yīng)用［J］.宿州教育學院學報，2006（01）.

TS665.3

A

1673-260X（2015）05-0040-03

國家自然科學基金項目資助（11301001）；安徽財經(jīng)大學教研項目資助（acjyzd201429）