李艷紅

（昆明理工大學(xué)城市學(xué)院，云南昆明 650051）

一類傳染病模型的動力學(xué)分析

李艷紅

（昆明理工大學(xué)城市學(xué)院，云南昆明 650051）

傳染病是危害人類身體健康的重要病癥之一，長期以來人類的生存和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展都深受其害.通過閱讀相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，目前對傳染病的研究基本是進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合來預(yù)測病情趨勢，卻很少考慮當(dāng)時間變化時怎樣更好的控制傳染病.為了更接近現(xiàn)實醫(yī)學(xué)，本文首先建立了包含接種者和隔離者的SVEIQR模型，從而找到基本再生數(shù)，然后通過參數(shù)的設(shè)置和控制，達(dá)到控制并最終消除傳染病的目的.

傳染??；接種；隔離；基本再生數(shù)；穩(wěn)定性

1 引言

當(dāng)傳染病具備傳染源、傳播途徑、易感人群等條件時,就會在人群中傳播,但會受到自然因素和社會因素的影響.目前醫(yī)學(xué)上較有效且常用的措施分別是隔離治療已患病者和預(yù)防（如接種疫苗）易感染者.因此找到一個最優(yōu)疫苗接種和隔離控制策略來阻止傳染病的蔓延具有十分重要的意義.

2 預(yù)備知識及相關(guān)理論

2.1 線性穩(wěn)定性

考慮具有常系數(shù)的線性系統(tǒng)

其中A=(aij)n×n是n階實矩陣，x∈!n

定理2.1(1)系統(tǒng)（2.1）具有穩(wěn)定的平凡解?矩陣A的特征值都具有負(fù)實部或零實部,且具有零實部的特征值僅僅對應(yīng)矩陣A的簡單初等因子.

(2)系統(tǒng)（2.1）的平凡解是漸進(jìn)穩(wěn)定的?矩陣A的所有特征值的實部均小于零.

(3)系統(tǒng)（2.1）的平凡解是不穩(wěn)定的?矩陣A存在具有正實部的特征值或存在對應(yīng)于多重初等因子的零實部特征值.

2.2 線性系統(tǒng)的擾動理論

設(shè)非線性系統(tǒng)

考慮F對x的Jacobi矩陣

若它與t無關(guān)，則系統(tǒng)（2.2）可以寫成

其中f(t,x)∈C[I×in，in]，f(t,0)=0.

定理2.2設(shè)f(t,x)在[t0,+∞]×in上連續(xù)，關(guān)于x滿足Lipschitz條件，且對t一致有

則當(dāng)A不存在零實部的特征值時，線性系統(tǒng)(2.3)與非線性系統(tǒng)（2.1）具有相同的穩(wěn)定性.

定理2.3設(shè)ζ是in中的有界閉集，從ζ內(nèi)出發(fā)的式（2.1）的解x(t)≡x(t;t0,x0)永遠(yuǎn)停留在ζ中.若存在V(x)∈C1[ζ,i]使

設(shè)S是M內(nèi)的最大正向不變集，則有

特別的，若S={0}時，式（2.1）的平凡解是漸近穩(wěn)定的.

3 模型的建立

3.1 模型的建立

由于接種和隔離在傳染病控制中的作用越來越明顯，因此本文同時考慮了接種和隔離，建立了SVEIQR模型.模型如下：

其中參數(shù)如下：

S(t):t時刻易感者的數(shù)量p:預(yù)防接種率

V(t):t時刻接種者的數(shù)量ε:潛伏者向患病者的轉(zhuǎn)化率

E(t):t時刻潛伏者的數(shù)量ρ:疾病恢復(fù)率

I(t):t時刻患病者的數(shù)量d:自然死亡率

Q(t):t時刻隔離者的數(shù)量α:因病死亡率

R(t):t時刻恢復(fù)者的數(shù)量γ:接種者的免疫喪失率

A人口的常數(shù)輸入率δ:患病者的隔離率

從對限時訓(xùn)練剩余題目處理情況的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，69.02%的學(xué)生面對限時訓(xùn)練剩下的做錯題目想老師去解決，也看出了學(xué)生整體知識和能力還是不夠，雖然我們給出了詳細(xì)的解題過程，但是依然無法自己突破，也看出了課后小組成員的交流還不夠。

其中αβ(0≤σ≤1)表示接種者的傳染率系數(shù),當(dāng)σ=0時意味著接種者對疾病完全免疫,當(dāng)σ=1時意味著疫苗完全失效，不具有預(yù)防功能.為了更好的模擬實際情況，文中假設(shè)接種者具有部分免疫，即0<σ<1;易感者的傳染率為飽和型βN/(1+ωN).

3.2 模型的分析

再由（3.1）的第四、五、六個方程知

由（3.1）的第一、二個方程可知

因此（3.1）的全部解(S,V,E,I,Q,R)最終將趨向、進(jìn)入或停留在區(qū)域

3.3 平衡點的存在性

因為模型（3.1）中的前四個方程不含變量Q和A,故考慮如下子系統(tǒng)

類似于前述可得區(qū)域

是系統(tǒng)（3.2）的正向不變集.我們以下的討論均在Ω0內(nèi).

當(dāng)R0≤1時（3.2）僅有無病平衡點M0(S0,V0,E0,I0),其中

當(dāng)R0≥1時（3.2）有兩個平衡點：無病平衡點M0和地方病平衡點M*(S*,V*,E*,I*),其中

且I*是方程F(I)=0的正根.

定理3.2若R0≤1,具有全局漸近穩(wěn)定的無病平衡點; 若R0>1,無病平衡點不穩(wěn)定,地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定.

4 模型的參數(shù)控制與主要結(jié)果

4.1 對系統(tǒng)（3.2）施加輸入控制

設(shè)輸入控制率為k，則模型變?yōu)?/p>

同前面可得

是系統(tǒng)（3.3）的正向不變集.

4.2 對系統(tǒng)（3.2）的易感者施加隔離控制

設(shè)隔離控制率為m,則模型變?yōu)?/p>

此時對應(yīng)的正向不變集仍為Ω0.

定理3.4當(dāng)

結(jié)果：要達(dá)到消除傳染病的目的，易感者的隔離控制率m要滿足

4.3 對系統(tǒng)（3.2）的傳染者施加隔離控制

設(shè)隔離控制率為n,則模型變?yōu)?/p>

結(jié)果：要達(dá)到消除傳染病的目的,傳染病的隔離控制率n要滿足

結(jié)論：本文通過對非線性傳染病的SVEIQR模型的全局分析,找到了決定系統(tǒng)在可行域內(nèi)動力學(xué)行為的重要指標(biāo)——基本再生數(shù)R0,它可控制疾病流行與消除.當(dāng)R0<1 時,新感染者數(shù)量下降,傳染病的傳播得到控制并最終消除; 當(dāng)R0>1時,傳染病在種群中持續(xù)傳播蔓延并成為地方病.同時探討了通過一些控制措施使得基本再生數(shù)R0變小,例如控制人口的輸入、減少易感者或患病者的人數(shù)等,并且可知當(dāng)參數(shù)滿足一定的條件時R0<1,從而使得疾病最終消除.

〔1〕余風(fēng)高.流行?。跰］.濟(jì)南：山東畫報出版社，2003.

〔2〕馬之恩，周義倉，王穩(wěn)地.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.1-27.

〔3〕Kermack W O，Mckendrick A G.Contributions to the Mathematical Theory of Epidemics［J］.Proc.Roy.Soc，1927，（A115）：700-721.

〔4〕Hethcote HW，Waltman P.Optimal Vaccination Schedules in a Deterministic Epidemic Model［J］.Mathematical Biosciences，1973，18（3-4）：365-381.

〔5〕蔡全才，姜慶五，徐勤豐.定量評價SARS干預(yù)措施效果的傳播動力學(xué)模型［J］.中華流行病雜志，2005，26（3）：153-158.

〔6〕Song X Y，Chen L S.Optimal Harvesting and Stability foraTwo-speciesCompetitiveSystemwithStage Structure［J］.Mathematical Biosciences，2001，170：173-186.

〔7〕KunalChakraborty，MilonChakraborty，T.k.kav.Optimal Control of Harvest and Bifurcation of a Prey-predator Model with Stage Structure.Applied Mathematics and Computation，2011，217：8778-8792.

〔8〕Belbas S A，Schmidt W H.Optimal Control of Volterra Equations with Impulses［J］. AppliedMathematicsandComputation，2005，166：696-723.

〔9〕Belbas S A，Schmidt W H.Optimal Control of Volterra EquationswithVariableImpulseTimes［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，214：353-369.

〔10〕雍炯敏，樓紅衛(wèi).最優(yōu)控制理論簡明教程［M］.北京：高等教育出版社，2006.

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1673-260X（2015）04-0003-03