楊小巖，張洪生，吳鵬飛，2

(1.上海海事大學(xué) 海洋科學(xué)與工程學(xué)院，上海 201306;2.上海交通大學(xué)海科集團(tuán)有限公司，上海200231)

隨著LNG 船這類載液貨物船型的普遍應(yīng)用，晃蕩問(wèn)題逐漸成為海洋工程水動(dòng)力學(xué)的研究熱點(diǎn)［1-3］。由晃蕩而產(chǎn)生的共振問(wèn)題也顯得尤其重要。共振是自然界非常重要的現(xiàn)象，當(dāng)外部激發(fā)頻率等于系統(tǒng)的某一固有頻率時(shí)就會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)［4］采用線性理論分析了液艙內(nèi)二維液體的晃蕩問(wèn)題。當(dāng)外部激發(fā)頻率等于固有頻率時(shí)，液艙內(nèi)液體晃蕩發(fā)生共振。文獻(xiàn)［5-12］采用不同的數(shù)值方法，如有限元法和非線性模態(tài)法等，研究了液艙內(nèi)液體的非線性共振問(wèn)題。盡管根據(jù)非線性理論可以得出結(jié)論，當(dāng)共振發(fā)生時(shí)自由液面的高程不可能趨于無(wú)窮大，但仍然具有較大的振幅。這仍可能導(dǎo)致對(duì)液艙的猛烈沖擊，從而使其發(fā)生破壞。

文獻(xiàn)［13］研究發(fā)現(xiàn)，除了一階共振在液艙晃蕩中的影響比較重要外，二階共振也很重要。隨后，文獻(xiàn)［14］通過(guò)完全非線性理論，文獻(xiàn)［15-16］通過(guò)PSME(Pseudo Spectral Matrix-Elements 偽譜矩陣元)法，文獻(xiàn)［17-18］通過(guò)時(shí)域分析方法分別證實(shí)了二階共振的重要性。前人對(duì)二階共振的研究多采用模型試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算方法，而對(duì)二階共振的理論研究只局限于某一方向上的振蕩，如縱蕩或橫蕩運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，對(duì)于大多數(shù)晃蕩問(wèn)題，液艙運(yùn)動(dòng)包括所有運(yùn)動(dòng)模式［19］。例如，船舶運(yùn)動(dòng)通常結(jié)合了縱蕩和橫蕩運(yùn)動(dòng)。線性理論只能考慮簡(jiǎn)單的縱蕩和橫蕩運(yùn)動(dòng)的疊加，而不能考慮它們之間的耦合。然而，對(duì)于二階問(wèn)題，不再是簡(jiǎn)單的疊加運(yùn)動(dòng)，而需要考慮兩個(gè)方向的耦合運(yùn)動(dòng)。這種由兩個(gè)方向的耦合運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的耦合項(xiàng)在文獻(xiàn)［13］所考慮的單一方向運(yùn)動(dòng)、二維二階共振的問(wèn)題中是不存在的。文中考慮了三維二階共振問(wèn)題中的耦合運(yùn)動(dòng)，還研究了各個(gè)二階共振激發(fā)頻率下水深變化對(duì)晃蕩振幅的影響。

圖1 笛卡爾坐標(biāo)系ox0y0z0 和oxyzFig.1 Cartesian coordinate systems ox0y0z0 and oxyz

1 二階共振的理論解

1.1 基本方程和邊界條件

考慮一個(gè)三維長(zhǎng)方體液艙模型，長(zhǎng)為2l，寬為2b，液艙內(nèi)水深為d，并同時(shí)作橫蕩和縱蕩的三維晃蕩運(yùn)動(dòng)。假定液艙中液體為無(wú)黏、不可壓和運(yùn)動(dòng)無(wú)旋。在液艙上建立一個(gè)右手笛卡爾坐標(biāo)系ox0y0z0，原點(diǎn)位于初始靜止?fàn)顟B(tài)自由液面的中央，z0方向垂直向上，如圖1 所示。假定液艙在x0方向和y0方向的位移分別是s1(t)和s2(t)。

液艙中液體運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)φ 滿足三維拉普拉斯方程:

自由液面高程可以用z0= η (x0，y0，t)表示，則邊界條件為

在液艙運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中建立另外一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系oxyz，如圖1 所示。它與坐標(biāo)系ox0y0z0的關(guān)系可以表示為

因而在坐標(biāo)系oxyz 下，式(2)～(6)可分別表示為

根據(jù)微擾理論，在z = 0 (靜水面)處展開(kāi)，由式(8)和(9)分別可得

類似地，根據(jù)微擾理論，由式(10)～(12)分別可得

1.2 一階共振的理論解

由于一階速度勢(shì)φ(1)和一階波面函數(shù)η(1)是線性的，它們可分別通過(guò)直接將橫蕩和縱蕩的一階解進(jìn)行線性疊加而得到。假定和分別為橫蕩和縱蕩的速度勢(shì)一階解，和分別為橫蕩和縱蕩的波面函數(shù)一階解，三維晃蕩問(wèn)題一階速度勢(shì)φ(1)和一階波面函數(shù)η(1)的表達(dá)式分別可寫為

由文獻(xiàn)［13］可得

式中:Am，Bm，Jp和Kp為未知系數(shù);km= mπ/2l，jp= pπ/2b。

1.3 二階共振的理論解

對(duì)式(16)求關(guān)于t 的導(dǎo)數(shù)，并代入式(15)，可得

將式(20)和(21)分別代入式(26)，簡(jiǎn)化處理后可得

在式(27)中，等號(hào)右邊可以分為三個(gè)部分

假設(shè)

由文獻(xiàn)［13］可知

將式(22)～(25)和式(30)～(33)代入式(27)的最后一部分，整理后得到

其中，

將式(37)代入式(36)，整理可得

Fmp(t)的初始條件可從式(7)得到，再由式(16)，可得

利用拉普拉斯變換和逆變換，可得式(38)的解，即

式(40)表明當(dāng)fmp(τ)包含周期項(xiàng)ωmp，并當(dāng)t →∞時(shí)，F(xiàn)mp(t)趨近于無(wú)窮大。

2 二階共振的特性分析

2.1 二階共振發(fā)生的條件

在液艙以U(t)= U1sinΩ1t、V(t)= V1sinΩ2t 的速度做三維晃蕩運(yùn)動(dòng)的情況下，從式(34)可以發(fā)現(xiàn)，Ω2都為速度勢(shì)二階解中耦合項(xiàng)的周期項(xiàng)，ωm和ω'

p 分別為x 和y 方向的固有頻率，從文獻(xiàn)［5］可知，三維晃蕩液艙的固有頻率為ωmp(m，p = 1，3，…)。

顯然，當(dāng)m，p = 2，4，…時(shí)根據(jù)式(35)有fmp= 0 ，意味著偶模只對(duì)應(yīng)于橫蕩或者縱蕩的單一方向的晃蕩，而奇模則對(duì)應(yīng)于橫蕩與縱蕩同時(shí)發(fā)生時(shí)產(chǎn)生的耦合項(xiàng)。當(dāng)橫蕩固有頻率為奇模，縱蕩固有頻率為偶模即ωmp(m = 1，3，…;p = 2，4，…)或?qū)?yīng)橫蕩固有頻率為偶模，縱蕩固有頻率為奇模即ωmp(m = 2，4，…;p = 1，3，…)時(shí)，有fmp= 0 ，因而二階共振也不會(huì)發(fā)生。而如果3，…中任意一個(gè)頻率等于液艙某個(gè)滿足奇模的固有頻率ωmp(m，p = 1，3，…)時(shí)二階共振則會(huì)發(fā)生。

對(duì)奇模進(jìn)行分析，設(shè)m = p = 1 。根據(jù)式(40)可知F11反映了所討論的二階共振發(fā)生時(shí)波高的變化。假定液艙尺寸長(zhǎng)寬大小為l = d、b = 0.4l。圖2(a)和2(b)分別給出了當(dāng)Ω2+Ω1= ω11和Ω2－ Ω1= ω11時(shí)，無(wú)量綱波高，即的變化情況。由圖2 可知，對(duì)應(yīng)于奇模的這兩種情況，發(fā)生了明顯的共振。

圖2 不同條件下F1 相對(duì)于t1 的變化Fig.2 F1 against t1 under different conditions

圖3 相對(duì)于1/2l(或者1/2b)ω1 的變化Fig.3 ω1 against 1/2l(or 1/2b)

再來(lái)考慮二階共振的另外一個(gè)例子，圖2(c)和2(d)分別給出了當(dāng)Ω2±ω1= ω11，Ω1= 0.5ω1時(shí)波高隨時(shí)間的變化情況。結(jié)果同樣表明隨著時(shí)間的增加波高逐漸變大。由圖2(e)和2(f)可知，當(dāng)Ω1±= ω11，Ω2，也有類似現(xiàn)象。以上的例子表明，當(dāng)某一方向外部激發(fā)頻率與某一固有頻率和其另一方向晃蕩的固有頻率的和相等時(shí)，二階共振也會(huì)產(chǎn)生。

由式(34)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ω'p + ωm滿足下式時(shí)，二階共振可能發(fā)生。

然而，式(41)只有當(dāng)d/2l 和d/2b 取某些特定值時(shí)才成立。假設(shè)d = 1 、m = 1 ，圖3 給出了ω1相對(duì)于1/2l(或者1/2b)的變化情況。從圖3 可知，只有當(dāng)1/2l?0.1 或1/2b ?0.1 時(shí)式(41)才成立，也就是說(shuō)d/2l 或d/2b 是非常小的量，這也就意味著水深是非常淺的。然而，在水深很淺的條件下任何可能的二階共振都沒(méi)有實(shí)際的意義。

2.2 液面高度對(duì)二階共振振幅的影響

眾所周知，液艙尺寸大小比例、初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、激發(fā)頻率和液艙內(nèi)液深是影響晃蕩幅值的幾個(gè)重要因素。文獻(xiàn)［15］在采用PSME 方法對(duì)于二維晃蕩二階共振的研究中，對(duì)這上述幾個(gè)影響晃蕩共振的因素進(jìn)行了詳細(xì)的討論和對(duì)比分析。

采用Matlab 軟件，對(duì)不同深度液體的晃蕩共振情況進(jìn)行模擬，并討論液艙內(nèi)液體不同深度情況下三維晃蕩共振的特性。由于篇幅限制，只給出了在不同液深情況下和頻效應(yīng)所激發(fā)的無(wú)量綱波高隨時(shí)間變化的曲線。

算例1，Ω2+ Ω1= ω11

圖4 為Ω2+ Ω1= ω11時(shí)，d = 0.4l、d = l 和d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的情況。在此激發(fā)頻率下，對(duì)比圖4(a)～(c)明顯可以看出，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度分別為400、200 和180 左右;當(dāng)t1= 400 時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到800、400 和350 左右。由此可見(jiàn)，在輸入頻率為兩方向外部激發(fā)頻率的和頻時(shí)，液體深度對(duì)晃蕩作用的影響是明顯的，液體深度越小，其二階共振晃蕩的振幅就越大。

圖4 不同液深情況下F1 相對(duì)于t1 的變化Fig.4 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω2 + Ω1 = ω11

當(dāng)Ω2－Ω1= ω11時(shí)，根據(jù)d = 0.4l、d = l 和d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的曲線可以得到，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度分別為50、70 和80 左右;當(dāng)t1= 400時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到100、140 和160 左右。由此可見(jiàn)，在輸入頻率為兩方向外部激發(fā)頻率的差頻時(shí)，液體深度對(duì)晃蕩作用的影響不如和頻情況下明顯。

由圖5(a)可以看出，當(dāng)d/l ≤1.0 時(shí)，曲線下降趨勢(shì)較陡，說(shuō)明液深變化對(duì)于二階共振晃蕩幅度的影響較大;而當(dāng)d/l ≥1.0 時(shí)，曲線下降趨勢(shì)較緩，說(shuō)明液深變化對(duì)于二階共振晃蕩幅度的影響變小。由圖5(b)可以看出，曲線依舊由陡變緩，但振幅數(shù)值變化較輸入頻率為兩方向外部激發(fā)頻率的和頻時(shí)要小;且與和頻情況不同的是，二階共振晃蕩振幅隨著液深的增大而增大。

圖5 當(dāng)t1 一定時(shí)不同液深情況下F1 的變化Fig.5 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

算例2，Ω1+= ω11

圖6 為Ω1+= ω11時(shí)，d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的情況。在此激發(fā)頻率下，對(duì)比圖6(a)～(c)明顯可以看出，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度分別為15、35 和40 左右;當(dāng)t1=400 時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到30、70 和80 左右。由此可見(jiàn)，在輸入頻率為某一方向外部激發(fā)頻率與另一方向的固有頻率的和頻時(shí)，液體深度越大，其二階共振晃蕩的振幅就越大。

圖6 不同液深情況F1 相對(duì)于t1 的變化Fig.6 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω1 + ω'1 = ω11

當(dāng)Ω1－= ω11時(shí)，根據(jù)d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的曲線可以得到，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度都為70 左右;當(dāng)t1= 400 時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到130、150 和140 左右。由此可見(jiàn)，相對(duì)于輸入和頻，在輸入頻率為某一方向外部激發(fā)頻率與另一方向的固有頻率的差頻時(shí)，液深的變化對(duì)二階共振振幅的影響還是比較小的。

圖7 當(dāng)t1 一定時(shí)不同液深情況下F1 的變化Fig.7 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

當(dāng)0 ＜d/l ＜2.0 時(shí)，由圖7(a)可以看出無(wú)量綱波高值不大，說(shuō)明此時(shí)液艙內(nèi)液面晃蕩現(xiàn)象并不明顯，但二階共振確實(shí)已經(jīng)發(fā)生。由曲線先陡后緩的變化趨勢(shì)可以看出，液深變化在d/l ≤1.0 區(qū)域時(shí)對(duì)于二階共振晃蕩幅度的影響相對(duì)較大。由圖7(b)可以看出，液深變化對(duì)其差頻二階共振晃蕩振幅的影響很小。特別地，當(dāng)t1= 200 時(shí)，其對(duì)二階共振晃蕩振幅的影響趨近于零。

算例3，Ω2+ ω1= ω11

圖8 為Ω2+ ω1= ω11時(shí)，d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的情況。在此激發(fā)頻率下，對(duì)比圖8(a)～(c)可以明顯看出，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度分別為30、18 和15 左右;當(dāng)t1=400 時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到60、35 和30 左右。由此可見(jiàn)，在輸入頻率為橫蕩方向外部激發(fā)頻率與縱蕩方向的固有頻率的和頻時(shí)，液體深度越大，其二階共振晃蕩的振幅就越小。而與圖6(a)～(c)所反映的輸入頻率為縱蕩方向外部激發(fā)頻率與橫蕩方向固有頻率的和頻的情況進(jìn)行比較，兩者二階共振的變化規(guī)律正好相反。

圖8 不同液深情況F1 相對(duì)于t1 的變化Fig.8 F1 against t1 in the case of different water depths in tank as Ω2 + ω1 = ω11

當(dāng)Ω2－ ω1= ω11時(shí)，根據(jù)d = 0.4l、d = l、d = 1.8l 三種液體深度情況下，液艙晃蕩二階共振的液面高度隨時(shí)間變化的曲線可以得到，當(dāng)t1= 200 時(shí)，液艙中液體晃蕩高度分別為130、120 和110 左右;當(dāng)t1=400 時(shí)，晃蕩高度分別達(dá)到280、260 和220 左右。由此可見(jiàn)，在輸入頻率為橫蕩方向外部激發(fā)頻率與縱蕩方向的固有頻率的差頻時(shí)，液體深度越大，其二階共振晃蕩的振幅就越小。相對(duì)于輸入和頻，在此輸入頻率時(shí)，液深的變化對(duì)二階共振振幅的影響相對(duì)比較小。

圖9 當(dāng)t1 一定時(shí)不同液深情況下F1 的變化Fig.9 F1 against the water depth in tank at t1 = 200 and t1 = 400 ，respectively

由圖9(a)可以看出，其曲線變化趨勢(shì)與圖5(a)大體一致。但無(wú)量綱波高值不大，說(shuō)明此時(shí)液艙內(nèi)液面晃蕩現(xiàn)象并不明顯。由圖9(b)可以看出，曲線下降很緩，這說(shuō)明對(duì)于差頻二階共振晃蕩振幅隨著液深的變化并不明顯。

3 結(jié) 語(yǔ)

推導(dǎo)了液艙三維晃蕩運(yùn)動(dòng)二階共振問(wèn)題的理論解，并討論了其特性。在二維的條件下，當(dāng)外部激發(fā)頻率的和頻或者差頻等于液艙偶模固有頻率時(shí)，二階共振就會(huì)發(fā)生。對(duì)于三維問(wèn)題，當(dāng)在縱搖和橫搖運(yùn)動(dòng)中都存在激發(fā)頻率，則縱搖和橫搖之間的耦合運(yùn)動(dòng)在二階共振中起著非常重要的作用。當(dāng)縱蕩和橫蕩兩個(gè)晃蕩方向的和頻或者差頻等于液艙奇模固有頻率時(shí)，就會(huì)發(fā)生二階共振。當(dāng)某一晃蕩方向(橫蕩或縱蕩)外部激發(fā)頻率與另一方向(縱蕩或橫蕩)液艙某一固有頻率的差值或和等于液艙另一固有頻率時(shí)，也會(huì)發(fā)生二階共振。

通過(guò)數(shù)值模擬簡(jiǎn)要地分析了各個(gè)激發(fā)頻率下不同液深對(duì)共振振幅的影響。分析可得，對(duì)于兩個(gè)晃蕩方向外部激發(fā)頻率的和頻、或單一晃蕩方向(縱蕩或橫蕩)某一個(gè)激發(fā)頻率與另一晃蕩方向(橫蕩或縱蕩)某一個(gè)屬于奇模的固有頻率的和頻引發(fā)的共振情況，水深變化對(duì)共振的振幅大小影響比較大;而對(duì)于兩個(gè)晃蕩方向外部激發(fā)頻率的差頻、或單一晃蕩方向(縱蕩或橫蕩)某一個(gè)激發(fā)頻率與另一晃蕩方向(橫蕩或縱蕩)某一個(gè)屬于奇模的固有頻率的差頻引發(fā)的共振情況，水深變化對(duì)共振的振幅大小影響比較小。

應(yīng)當(dāng)指出的是，二階共振振幅與激發(fā)振幅的平方有關(guān)。文獻(xiàn)［20-21］證明了粘性對(duì)晃蕩共振的影響會(huì)在激發(fā)振幅對(duì)晃蕩共振的影響起作用之前就已經(jīng)明顯了。這表明激發(fā)振幅和粘性對(duì)晃蕩共振的影響也是很明顯的。目前的工作可以進(jìn)一步擴(kuò)展到研究沿水深具有不同密度液體的晃蕩問(wèn)題。

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