方 明，宋開宏，王娟娟，黃志祥，吳先良，2

（1.安徽大學(xué)計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039；2.合肥師范學(xué)院物理與電子工程系，合肥 230061）

文章編號(hào)：1001?246X（2015）01?0101?06

納米器件的非零點(diǎn)能Casim ir排斥力

方 明1，宋開宏1，王娟娟1，黃志祥1，吳先良1，2

（1.安徽大學(xué)計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039；2.合肥師范學(xué)院物理與電子工程系，合肥 230061）

結(jié)合邊界元方法，利用離散點(diǎn)表面電流及表面磁流的格林函數(shù)得到任意三維幾何體及任意材料納米器件互相作用離散點(diǎn)之間的Casimir力.給出浸泡在液體中納米器件的“非零點(diǎn)能”Casimir效應(yīng)，分析Casimir排斥力產(chǎn)生的條件，為實(shí)際納米器件之間Casimir效應(yīng)分析提供新的數(shù)值方法.

Casimir力；頻域電磁算法；非零點(diǎn)能；Casimir排斥力

0 引言

Casimir效應(yīng)是由荷蘭物理學(xué)家Hendrik Casimir提出的，他指出真空中充滿了各種波長(zhǎng)的粒子，當(dāng)兩個(gè)不帶電的金屬板平行靠近時(shí)，會(huì)形成諧振腔較長(zhǎng)波長(zhǎng)粒子會(huì)被隔斷在平板之外，導(dǎo)致平板系統(tǒng)外能量高于系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生吸引力，這就是Casimir效應(yīng)［1］.近十年隨著微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展，納米器件之間Casimir效應(yīng)越來(lái)越受到關(guān)注.如果納米器件距離小于一定量級(jí)，器件之間的Casimir力將占主導(dǎo)地位成為強(qiáng)吸引力［2］，它會(huì)使本來(lái)可以移動(dòng)的器件粘滯在一起，導(dǎo)致微機(jī)電系統(tǒng)［3］（MEMS）失效.所以需要一種精準(zhǔn)的方法對(duì)復(fù)雜幾何體微系統(tǒng)進(jìn)行建模分析計(jì)算納米器件之間的Casimir效應(yīng)，尤其是Casimir排斥力［4］，這是MEMS技術(shù)商用化的關(guān)鍵.

近年來(lái)國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者做了很多Casimir排斥力的研究，給出了幾種Casimir排斥力產(chǎn)生的方法，如使用特殊材料：左手材料［5］、負(fù)折射材料［6］、各向異性單負(fù)超材料［7］、基于飽和亞硝酸鹽對(duì)Casimir力極性調(diào)節(jié)［8］和通過(guò)磁光效應(yīng)理論［9］等，以及特殊的系統(tǒng)中：浸沒(méi)在液體中的介質(zhì)體之間［10］，交錯(cuò)間隔的幾何體之間［11］.但是都只給出了Casimir排斥力產(chǎn)生的條件，或者簡(jiǎn)單理想模型Casimir力的計(jì)算.真實(shí)MEMS應(yīng)用中需要面對(duì)任意溫度下復(fù)雜的三維幾何體任意材料的器件Casimir力，所以分析Casimir排斥力產(chǎn)生條件需要精確的數(shù)值方法.本文使用頻域電磁算法邊界元法，通過(guò)經(jīng)典電磁理論頻域求解散射問(wèn)題，通過(guò)電磁場(chǎng)的量子化得到物體表面的Maxwell應(yīng)力張量，由應(yīng)力張量得到Casimir力.計(jì)算出MEMS中器件之間Casimir排斥力產(chǎn)生的距離范圍，甚至得到吸引力轉(zhuǎn)變?yōu)榕懦饬Φ钠胶馕恢?，克服MEMS器件粘附現(xiàn)象.

1 基本原理

1.1 基于Maxwell應(yīng)力張量求解Casimir效應(yīng)

通常計(jì)算Casimir效應(yīng)從兩方面出發(fā)，①是直接計(jì)算各模式真空零點(diǎn)能進(jìn)行重正化［12］，該方法對(duì)于對(duì)稱幾何體之間Casimir計(jì)算可以快速收斂而且精度較高，但是此方法只適合簡(jiǎn)單的模型，對(duì)復(fù)雜幾何體很難操作；②是使用Maxwell應(yīng)力張量［13］.本文使用應(yīng)力張量方法，結(jié)合電磁算法可以求解任意材料和幾何體之間Casimir力.

如圖1所示，考慮兩個(gè)任意材料的三維物體A和B放置在真空中，根據(jù)“零點(diǎn)能”理論，真空環(huán)境中存在無(wú)窮多頻點(diǎn)的電磁能，A和B會(huì)改變真空中“零點(diǎn)能”的邊界．B表面S面上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，這些感應(yīng)電流產(chǎn)生的散射電磁場(chǎng)會(huì)在A上產(chǎn)生的Maxwell應(yīng)力張量，對(duì)A表面S′應(yīng)力張量面積分即為A和B之間的Casimir力

FCasimir＝ ∮S′

Fm＝∫∞

0

∮S′

圖1 兩個(gè)物體使用三角形面元離散，使用RWG基函數(shù)對(duì)電磁流描述Fig.1 Schematic of electromagnetic currents discreted by RWG basis functions

Fm（ξ）dξ． （1） Fm（ξ）表示A上的m點(diǎn)在虛頻率ξ下Casimir力頻點(diǎn)分量，它可以表示為對(duì)物體B表面S的面積分（r）表示S面上r點(diǎn)的內(nèi)法線方向，Tmn表示n點(diǎn)電磁流對(duì)應(yīng)的散射電磁場(chǎng)在m點(diǎn)產(chǎn)生的Maxwell應(yīng)力張量，對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行量子化可以得到

在絕對(duì)零度，將上式中〈Em（r）En（r′）ξ〉和〈Hm（r）Hn（r′）ξ記為

?為普朗克常量，GEEmn（r，r′；ξ）表示電流源r′（n點(diǎn)）在r（m點(diǎn)）產(chǎn)生的散射電場(chǎng)，GMMmn（r，r′；ξ）表示磁流源r′（n點(diǎn)）在r（m點(diǎn)）產(chǎn)生的散射磁場(chǎng)．將（2）－（4）式代入（1）便可以得到m點(diǎn)Casimir力的為

所以對(duì)于任意材料和幾何體物體之間的Casimir力計(jì)算首先我們要得到GEEmn（r，r′；ξ）和GMMmn（r，r′；ξ）兩個(gè)格林函數(shù).

1.2 離散求解

對(duì)經(jīng)典電磁理論部分求解使用PMCHW方程［14］，分別由等效原理和介質(zhì)體表面電磁場(chǎng)切向連續(xù)邊界條件可以得到介質(zhì)體內(nèi)外的電場(chǎng)積分方程和磁場(chǎng)積分方程，將電場(chǎng)積分方程和磁場(chǎng)積分方程疊加可得到PMCHW方程

這里L(fēng)0、L1、K0和K1為積分算子［14］，對(duì)電流和磁流使用RWG基函數(shù)［15］離散J（r）＝∑ajafa（r），M（r）＝∑amafa（r）．使用加勒金法進(jìn)行檢測(cè)可得到矩陣方程

通過(guò)求解矩陣方程（9）得到電流和磁流離散系數(shù)，通過(guò)該系數(shù)可以得到散射場(chǎng).記PMCHW阻抗矩陣的逆為

則待求電流磁流為

將RHS向量中的激勵(lì)場(chǎng)更換為n點(diǎn)上的點(diǎn)電磁流源在m點(diǎn)產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，計(jì)算m點(diǎn)電磁流產(chǎn)生的散射場(chǎng)即可得到（r，r′；ξ）和（r，r′；ξ），由此可得到

將（13）式代入到（1）式中，得到物體間相互作用Casimir力為

2 計(jì)算結(jié)果

2.1 Casimir排斥力分析

圖2 各種材料相對(duì)介電常數(shù)ε（iξ）隨虛頻率ξ變化Fig.2 Materials relative permitivity as functions of image frequency

如圖2所示，使用Drude?Lorentz模型描述不同色散材料虛頻率下相對(duì)介電常數(shù)隨頻率的變化.浸沒(méi)在液體里介質(zhì)體之間的介電常數(shù)滿足

則此時(shí)Casimir力表現(xiàn)為排斥力［16］，即在液體的虛頻率相對(duì)介電常數(shù)介于兩介質(zhì)之間時(shí)，介質(zhì)體之間Casimir力為排斥力.當(dāng)兩個(gè)物體距離較近時(shí)，高頻率Casimir分量占到主導(dǎo)地位；而在物體距離較遠(yuǎn)時(shí)，低頻率Casimir分量占主導(dǎo)地位［17］.由此可以推測(cè)兩個(gè)材料為聚四氟乙烯和硅的器件放入乙醇中，當(dāng)兩物體距離較近時(shí)Casimir力為排斥力而距離較遠(yuǎn)時(shí)為吸引力.為了驗(yàn)證這個(gè)猜想使用本文方法計(jì)算不同材料放在液體中的Casimir力，同時(shí)準(zhǔn)確地計(jì)算出物體之間的平衡距離（物體之間Casimir力為0）.

如圖3所示，兩個(gè)浸沒(méi)在乙醇液體中平行放置的立方體邊長(zhǎng)分別為150 nm和300 nm，計(jì)算不同材料下兩個(gè)立方體之間的Casimir力（曲線上方標(biāo)注前者為小立方體材料后者為大立方體材料），曲線都是使用PFA Casimir力歸一化［18］.本文歸一化方式是首先計(jì)算出介質(zhì)體之間Casimir力，然后使用介質(zhì)體相同的幾何模型，將介質(zhì)體的介電參數(shù)改為理想導(dǎo)體，計(jì)算出此時(shí)的Casimir力，使用后者的Casimir力對(duì)介質(zhì)體計(jì)算結(jié)果進(jìn)行歸一化.圖中歸一化Casimir力為正表示吸引力，負(fù)值表示排斥力.計(jì)算結(jié)果與預(yù)測(cè)趨勢(shì)相同，同時(shí)給出了不同材料之間的平衡距離.

2.2 非零點(diǎn)能Casimir力計(jì)算

對(duì)于非零點(diǎn)能Casimir計(jì)算，需要在式（3）量子化過(guò)程加入溫度T的影響［18］.則（4）、（5）式改寫為

圖3 不同材料立方體之間經(jīng)PFA歸一化的Casimir力隨距離變化Fig.3 Casimir force between cubes with differentmaterials normalized with PFA predictions

如圖4（a）所示模型，高為50 nm，直徑為120 nm的聚四氟乙烯圓餅和厚度為100 nm長(zhǎng)度為400 nm的正方形硅板浸沒(méi)在乙醇中.圖4（b）所示曲線，為圓餅旋轉(zhuǎn)角度為0°時(shí)，在不同溫度下，Casimir力隨著聚四氟乙烯圓餅和正方形硅板距離變化.圖中可以看出溫度對(duì)Casimir力的影響，隨著溫度從0 K增加到400 K，Casimir力平衡距離從58 nm逐漸增加到100 nm.將聚四氟乙烯圓餅旋轉(zhuǎn)，圖4（c）所示曲線，計(jì)算圓餅旋轉(zhuǎn)不同角度下Z方向的Casimir力，隨著旋轉(zhuǎn)角度增大，圓餅在硅板上的投影變小，Casimir平衡距離逐漸變大.

圖4 常溫下聚四氟乙烯圓柱和硅板浸沒(méi)在乙醇中不同放置下Casimir力Fig.4 Casimir forces between silicon plate and Teflon cylinder immersed in ethanol

3 結(jié)論

使用頻域電磁方法即邊界元法對(duì)經(jīng)典量子現(xiàn)象Casimir效應(yīng)求解，對(duì)Drude?Lorentz模型的色散材料任意幾何體器件表面電磁流使用RWG基函數(shù)進(jìn)行離散，求解經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中的散射問(wèn)題，經(jīng)過(guò)電磁場(chǎng)量子化得到離散元上的Maxwell應(yīng)力張量.由應(yīng)力張量得到Casimir力.本文給出的幾個(gè)算例包括不同材料物體之間Casimir力計(jì)算，分析了Casimir力排斥力出現(xiàn)的條件并且通過(guò)計(jì)算得到驗(yàn)證.同時(shí)從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，給出非零點(diǎn)能Casimir力計(jì)算方法，為實(shí)際應(yīng)用MEMS系統(tǒng)器件之間Casimir效應(yīng)分析提供了精確的數(shù)值方法.

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Nonzero?point Casim ir Force Between Nano Devices

FANG Ming1，SONG Kaihong1，WANG Juanjuan1，HUANG Zhixiang1，WU Xianliang1，2（1.Key Laboratory of Intelligent Computing and Signal Processing，Ministry ofEducation，Anhui University，Hefei 230039，China；2.Department ofPhysics and Electronic Engineering，Hefei Normal University，Hefei 230061，China）

A frequency domain electromagnetic algorithm boundary element method is applied for computation of Casimir forces between arbitrarymaterialswith arbitrary geometry.Considering electric andmagnetic surface currentdistributions，Casimir force of two objects in terms of interactions of surface currents is obtained.Casimir effects between dielectric objects embedded in dielectric fluid are presented and numerical conditions of repulsive Casimir force are investigated.Non?zeropoint energy Casimir force calculation method is provided.It can be used for design of realistic MEMS.

Casimir force；electromagnetic algorithm；nonzero?point energy；repulsive Casimir force

O413.2

A

2014－01－15；

2014－06－07

國(guó)家自然科學(xué)基金（61101064，51277001）；安徽省杰出青年基金（1108085J01）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才基金（NCET?12?0596）；安徽省高校自然科學(xué)基金（KJ2011A002，KJ2011A242，KJ2012A013）及教育部博士點(diǎn)基金（20123401110009）資助項(xiàng)目

方明（1990－），男，研究生，從事量子光學(xué)中電磁算法研究，E?mail：lyqy007＠gmail.com

Received date： 2014－01－15；Revised date： 2014－06－07