介玉新　柏永亮　張彬

摘 要：評價邊坡穩(wěn)定性可以用最小安全系數(shù)，也可以用基于加速度的指標，比如最大加速度、最大慣性力、最大角加速度等。它們可以從另外的角度來看待邊坡的穩(wěn)定和失穩(wěn)行為。這種思路也可以推廣到擋土墻土壓力計算。算例計算表明：基于瑞典條分法和簡化畢肖甫法的假定對加速度、慣性力和角加速度的計算結(jié)果相同，說明它們的計算對條間力的假定不敏感；相對于滑體質(zhì)心的角加速度不能單獨用來判斷滑體的穩(wěn)定情況；對擋土墻土壓力來說，由于外部支撐力的引入改變了土條的受力條件，最大慣性力的大小和方向與土壓力并沒有一致性的關(guān)系；隨著土的強度參數(shù)的不同，最大慣性力可能大于擋土墻土壓力，也可能小于土壓力；以此類比，根據(jù)事先引入支擋結(jié)構(gòu)力的作用方向得到的不平衡推力會更合理。

關(guān)鍵詞：邊坡；擋土墻；加速度；角加速度；慣性力；安全系數(shù)；土壓力；條分法

中圖分類號：TU43；P642.11+6 文獻標志碼：A

Stability Analysis of Slopes and Retaining Walls Based on Acceleration

JIE Yu-xin1， BAI Yong-liang2， ZHANG Bin2

（1. State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering， Tsinghua University， Beijing 100084， China；

2. School of Engineering and Technology， China University of Geosciences， Beijing 100083， China）

Abstract： Like the minimum safety factor， the indices based on acceleration， such as the maximum acceleration， maximum inertial force and maximum angular acceleration， can also be employed to evaluate the stability of slopes. In fact， they provide the probability to review the stability and instability of slopes from another point of view. This approach can also be extended to studying the soil pressure of retaining walls. Numerical results show that it is the same for the acceleration， inertial force and angular acceleration calculated based on the assumptions of Sweden slice method and simplified Bishop method， respectively， which imply that they are not sensitive to the assumption of forces between slices； the angular acceleration relative to the barycenter of the slip mass can not be independently used to evaluate the stability of slopes； for the soil pressure of retaining wall， due to the external bracing force changes the stress state of slices， the maximum inertial force is not consistent with the soil pressure either in magnitude or in direction； with the different strength parameters of soils， the maximum inertial force may be greater， or less than the soil pressure of retaining wall； analogously， it will be more reasonable to compute the imbalance thrust force of retaining structures by introducing its direction in advance.

Key words： slope； retaining wall； acceleration； angular acceleration； inertial force； safety factor； soil pressure； slice method

0 引 言

邊坡穩(wěn)定性分析的要點是求取最小安全系數(shù)及其對應(yīng)的臨界滑動面，常用的分析方法有極限平衡法、極限分析方法和基于有限元的方法[1-5]。邊坡穩(wěn)定性分析涉及土體的極限平衡狀態(tài)。在極限平衡法中，極限平衡條件的引入是不可缺少的。Spencer法、Morgenstern-Price方法等能夠滿足全部平衡條件，瑞典條分法、簡化畢肖甫（Bishop）法、不平衡推力傳遞法、Janbu法等則只能滿足部分平衡條件。

雖然最小安全系數(shù)對應(yīng)的臨界滑動面從受力上講是最不穩(wěn)定的，但在失穩(wěn)時并不一定是最先滑動的。如果兩個潛在滑動面的安全系數(shù)都小于1，那么它們都是可以滑動的，由于運動快慢與加速度有關(guān)，顯然在同樣情況下加速度最大的滑動面可能最先滑動。因此，在安全系數(shù)之外，可以引入加速度作為評價參數(shù)[6]。在這里，將最大加速度對應(yīng)的臨界滑動面稱為加速度臨界滑動面，而通常與安全系數(shù)對應(yīng)的滑動面稱為安全系數(shù)臨界滑動面。

如果邊坡不穩(wěn)定，就需要采取加固措施。擋土墻就是直立邊坡的加固方法之一；另外，常用的邊坡加固方法是抗滑樁。保證邊坡穩(wěn)定的支撐力也可以按類似思路來求解。適用于邊坡穩(wěn)定性分析的方法也可以用于擋土墻土壓力的計算[7-8]。與加速度相應(yīng)的是慣性力，也可以通過搜索最大慣性力來定性估算保證邊坡穩(wěn)定的支撐力。

采用加速度的概念能夠從另外的角度考察邊坡和擋土墻的穩(wěn)定問題。它的缺點是不能像常規(guī)極限平衡法那樣充分利用平衡條件，但它的優(yōu)點也在于此，即可以不受平衡條件的限制進行計算；而且由于它計算的是整體的加速度或慣性力，對條塊間力不敏感，所以可以降低對條塊間力假定的要求。

本文給出了基于加速度的邊坡穩(wěn)定性分析的基本原理和計算方法；并針對典型邊坡，采用瑞典條分法和簡化畢肖甫法對邊坡的加速度、慣性力和角加速度進行計算，并與安全系數(shù)的計算結(jié)果進行對比；在此基礎(chǔ)上，基于最大慣性力對擋土墻土壓力進行分析。

1 基本原理

對于圖1（a）所示的邊坡和滑動面，可以劃分豎向的土條，假定在各條塊滑動面上滿足極限平衡條件，即Ti=cili+Nitan φiFs=ceili+Nitan φei

（1）式中：Fs為安全系數(shù)；Ti為第i個土條底部的切向力；li為第i個土條底部邊長；Ni為第i個土條底部的法向力；ci、φi為第i個土條抗剪強度指標；cei=ciFs；φei=tan-1（tan φiFs）。

Wi為第i個土條重力

圖1 邊坡滑動面及土條受力分析

Fig.1 Slope Slip Surface and Stress Analysis of Soil Slice

對條間力進行適當假定，然后對每個土條進行力平衡分析和力矩平衡分析，即可采用極限平衡法求解其安全系數(shù)。

可以直接利用極限平衡法的結(jié)果計算加速度或慣性力。假定滑動面上的滑體已發(fā)生滑動，此時Ti應(yīng)當取Tfi。把滑面之上的滑體整體作為隔離體，可以看出它所受到的力為重力W、法向力合力N，以及切向力合力Tf。重力W為隔離體的自重；法向力N由各土條底部的法向力Ni通過矢量累加得到；切向力合力Tf則由各土條的切向力Tfi通過矢量累加得到。

Tfi表達式為Tfi=cili+Nitan φi

（2） 計算Tfi用的是ci和φi，而不是cei和φei。于是得到滑體滑動的加速度為a →=W →+N →+T →fW

（3） 上述算式是除以重力加速度g后無量綱化的加速度，因此，分母為重力而不是質(zhì)量。加速度大小a為a=a2x+a2y

（4）式中：ax和ay分別為水平和豎直方向的加速度分量。

顯然條塊間力在加速度計算中不出現(xiàn)，因此，加速度計算還是非常方便的，且受條塊間力假定的影響會比較小。式（2）、（3）中涉及的法向力可以采用常規(guī)方法，如瑞典條分法、簡化畢肖甫法、不平衡推力傳遞法、Morgenstern-Price方法等求解[6]。

由式（4）也可以計算慣性力R，其表達式為R=Wa

（5） 類似于求取最小安全系數(shù)，可以通過改變滑動面位置和形狀進行搜索，從而得到最大加速度和最大慣性力對應(yīng)的臨界滑動面（加速度臨界滑動面和慣性力臨界滑動面）。除了這種加速度，也可以計算針對滑體質(zhì)心或某一轉(zhuǎn)動中心的角加速度。

2 基于加速度的邊坡穩(wěn)定性分析

2.1 計算方法簡介

不失一般性，這里以瑞典條分法和簡化畢肖甫法這兩種最常用的條分法為例進行分析。加速度可以根據(jù)式（2）～（4）進行計算。這里主要介紹角加速度的計算方法。

簡化畢肖甫法與瑞典條分法的最大區(qū)別在于是否考慮土條條塊間力的影響。由于條塊間力互為作用力與反作用力，在角加速度計算中并不出現(xiàn)，所以兩種方法在計算角加速度時是相同的。

計算簡圖如圖2。相對于滑動面圓心計算角加速度，由M=αI可知，角加速度α為力矩M與轉(zhuǎn)動慣量I之比。由于法向力Ni的力臂為0，所以對圓心O的力矩為M=∑Widi+∑TfiRi

（6）

圖2 相對于圓心O的角加速度分析

Fig.2 Analysis of Angular Acceleration

Relative to Center O

其中，Tfi用式（2）進行計算。將各個土條的形狀簡化成矩形，根據(jù)矩形轉(zhuǎn)動慣量計算公式可得第i個土條相對于圓心O的轉(zhuǎn)動慣量為Ii=（a2i+b2i）mi/12+mir2i

（7）式中：ri為第i個土條質(zhì)心距圓心O的距離；ai、bi分別為第i個簡化的矩形土條的長度和寬度；mi為第i個土條的質(zhì)量。

進一步可得相對于圓心O的角加速度計算公式為α=∑Widi+∑TfiRi∑[（a2i+b2i）mi/12+mir2i]

（8） 如果計算相對于滑體質(zhì)心的角加速度，首先計算出滑體質(zhì)心位置，然后計算相對于滑體質(zhì)心的力矩。力矩計算公式為M=∑Widi+∑Tfili+∑Nisi

（9）式中：di、li及si分別為Wi、Tfi及Ni相對于土條質(zhì)心的力臂（圖3）。

圖3 相對于滑體質(zhì)心的角加速度分析

Fig.3 Analysis of Angular Acceleration Relative to the

Barycenter of Slip Mass

將各土條簡化成矩形，可以計算各土條相對于滑體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。第i個土條轉(zhuǎn)動慣量計算公式為Ii=（a2i+b2i）mi/12+mir′2i

（10）式中：r′ i為第i個土條質(zhì)心距滑體質(zhì)心的距離。

由此可以得到相對于滑體質(zhì)心的角加速度計算公式為α=∑Widi+∑Tfili+∑Nisi∑[（a2i+b2i）mi/12+mir′2i]

（11）

圖4 邊坡算例

Fig.4 Schematic of Slope

2.2 算例分析

本文采用澳大利亞計算機應(yīng)用協(xié)會（ACADS）的EX1（c）算例進行驗證。邊坡示意如圖4，土層參數(shù)見表1，不考慮地下水對邊坡的影響，其建議的安全系數(shù)為1.39。

表1 邊坡的土層參數(shù)

Tab.1 Soil Parameters of Slope

注：c為內(nèi)聚力；φ為內(nèi)摩擦角；γ為重度。

首先，采用陳祖煜基于極限平衡法的軟件STAB[2，7]進行計算，取初始滑動面圓心O（-33.919，-45.937）半徑R為21.366（圖5）。計算得到采用瑞典條分法時邊坡最小安全系數(shù)Fs為1.269，采用簡化畢肖甫法時Fs為1.383，臨界滑動面位置見圖6。

圖5 初始滑動面

Fig.5 Initial Slip Surface

圖6 最小安全系數(shù)和臨界滑動面

Fig.6 Minimum Safety Factor and Critical Slip Surface

然后，利用本文編寫的程序?qū)υ撍憷M行計算。選擇同樣的初始滑動面圓心及半徑，采用瑞典條分法和簡化畢肖甫法得到的最小安全系數(shù)分別為1.265和1.393，與軟件STAB的計算結(jié)果比較接近。進一步可以計算最大加速度、最大慣性力、最大角加速度以及對應(yīng)的臨界滑動面。針對臨界滑動面，還可以計算出其他指標的數(shù)值。計算結(jié)果見圖7以及表2、3。表2、3中對角線上的黑體數(shù)值是搜索得到的對應(yīng)該計算條目的最小值（安全系數(shù)）或最大值（加速度、角加速度），非對角線上的數(shù)值是對應(yīng)該臨界滑動面其他指標的數(shù)值。加速度和角加速度以使滑體向臨空面滑動為正值。顯然，對本算例來說，由于邊坡有足夠的安全性，加速度和慣性力均為負值。圖7是按不同條目搜索得到的臨界滑動面，對該邊坡來說，不同條目對應(yīng)的臨界滑動面是很接近的。

圖7 臨界滑動面計算結(jié)果對比

Fig.7 Comparison of Calculated Critical Slip Surfaces

表2 瑞典條分法計算結(jié)果

Tab.2 Results Calculated by Swedish Slice Method

表3 簡化畢肖甫法計算結(jié)果

Tab.3 Results Calculated by Simplified Bishop Method

接著，將表1中各材料的強度參數(shù)c和tan φ除以1.4，采用上述方法進行計算，得到的臨界滑動面見圖8。安全系數(shù)、加速度等的計算結(jié)果見表4、5，表4、5中對角線上的黑體數(shù)值是搜索得到的對應(yīng)該計算條目的最小值（安全系數(shù)）或最大值（加速度、角加速度），非對角線上的數(shù)值是對應(yīng)該臨界滑動面其他指標的數(shù)值。從表4、5可以看出，此時邊坡的最小安全系數(shù)小于或接近于1（表5中最小安全系數(shù)略大于1，可能是計算誤差），邊坡處于失穩(wěn)狀態(tài)，相應(yīng)地最大加速度和相對于圓心的最大角加速度都為正值，但相對于滑體質(zhì)心的最大角加速度仍為負值，無法單獨用來判斷滑體的穩(wěn)定情況。因此，除非遇到存在力偶的情況，否則單純采用相對于滑體質(zhì)心的角加速度是不合適的。

圖8 強度參數(shù)降低后臨界滑動面計算結(jié)果對比

Fig.8 Comparison of Calculated Critical Slip Surfaces

with Reduced Strength Parameters

表4 強度參數(shù)降低后瑞典條分法計算結(jié)果

Tab.4 Results Calculated by Swedish Slice Method with

Reduced Strength Parameters

另外，從表2～5可以看出，瑞典條分法和簡化畢肖甫法對加速度、慣性力和角加速度的計算結(jié)果相同。其原因可能在于加速度等是針對滑體整體進行計算，對條間力的假定不敏感。

表5 強度參數(shù)降低后簡化畢肖甫法計算結(jié)果

Tab.5 Results Calculated by Simplified Bishop Method with

Reduced Strength Parameters

3 擋土墻土壓力分析

用上述方法進行擋土墻土壓力計算。對于直立邊坡（圖9），假定土的重度為γ，內(nèi)摩擦角為φ，顯然此時其安全系數(shù)小于0。修建擋土墻相當于在臨空面施加一支撐力E，使之保持平衡。如果假定墻背垂直光滑，則E為水平方向。

圖9 直立邊坡及土條受力分析

Fig.9 Stress Analysis of Vertical Slope and Soil Slice

對于直立邊坡（圖9），假定直線滑動面與水平面夾角為θ，對土條進行受力分析。直線滑動面可以看成是半徑無窮大的圓弧。仿照簡化畢肖甫法，假定土條間切向力為0，只有法向力Pi。

在垂直于滑動面方向滿足平衡條件，有Wicos θ+Pisin θ-Pi+1sin θ=Ni

即

Ni=Wicos θ-ΔPisin θ

（12）式中：ΔPi=Pi+1-Pi。

對于該三角形隔離體，其下滑的加速度（除以g進行量綱為1化）為

a=∑Wisin θ+∑ΔPicos θ-∑Nitan φ∑Wi

（13）

將式（12）代入式（13），有

a=∑Wisin θ+∑ΔPicos θ-∑（Wicos θ-ΔPisin θ）tan φ∑Wi

由于∑ΔPi=0，式（13）變?yōu)?/p>

a=sin θ-cos θtan φ=sin θ（1-tan φ/tan θ）

（14）

當θ=90°時，加速度最大，即豎直的臨空面是最先滑動的破壞面，且滑動加速度等于重力加速度。

下滑的最大慣性力R計算公式為R=∑Wisin θ+∑ΔPicos θ-∑Nitan φ=

W（sin θ-cos θtan φ）=

12γH2cot θ（sin θ-cos θtan φ）

（15） 對式（15）進行求導(dǎo)，可以得到R取最大值（Rmax）的條件為θ=θc。θc的表達式為

θc=cot-1（3cot φ2+827+cot2 φ4+

3cot φ2-827+cot2 φ4）

（16）

顯然，Rmax也可以作為維持邊坡穩(wěn)定所需要的支撐力的參考值，相當于邊坡的不平衡推力。但由于支撐力的引入改變了土坡本身的受力條件，所以不能直接用Rmax或Rmax/cos θc來確定支撐力E。

對于圖10的情況，由于∑ΔPi=-E，代入式（13）并考慮在E的作用下使得a=0，可以得到E=12γH2tan（θ-φ）/tan θ

（17）

圖10 支撐力示意圖

Fig.10 Schematic of Bracing Force

對式（17）進行求導(dǎo)，可以得到當θ=45°+φ/2時E取最大值，即E=12γH2 tan2（45°-φ/2）

（18） 式（18）與朗肯或庫侖土壓力理論的計算結(jié)果相同。上述結(jié)果對條間力假定不是很敏感。假定條間力的方向與滑動方向平行，即與水平面夾角為θ，也能得到同樣的結(jié)果。

最大慣性力Rmax與擋土墻支撐力E的比較見表6。從表6可以看出，θc總是小于45°+φ/2，隨著φ的增加，兩者差別逐漸減小。就Rmax和E的比較來說，在內(nèi)摩擦角φ較小時，Rmax

表6 最大慣性力Rmax與擋土墻支撐力E的比較

Tab.6 Comparison of Maximum Inertial Force Rmax

and Bracing Force E of Retaining Wall

注：E和Rmax均為除以γH2/2后量綱為1的值；ε=（Rmax-E）/E。

Rmax>E，最大誤差約50%。在φ=30°時，兩者大小比較接近，但考慮到兩者方向并不相同，且支撐力的引入實際上改變了邊坡的受力狀態(tài)，因此，Rmax只能用于E的定性估計。另外，計算中只考慮了直線型滑動面，如果考慮曲線滑動面以及支撐力作用點位置的影響，計算結(jié)果就可能會又有所不同[7-8]。

4 結(jié) 語

（1）評價邊坡穩(wěn)定性可以用最小安全系數(shù)，也可以用其他指標，包括最大加速度、最大慣性力、最大角加速度等。本文給出了相應(yīng)的計算方法，并用算例進行驗證，這種思路也可以推廣到擋土墻土壓力計算中。

（2）針對邊坡穩(wěn)定性的計算分析表明，基于瑞典條分法和簡化畢肖甫法的假定對加速度、慣性力和角加速度的計算結(jié)果相同，說明它們對條間力的假定不敏感。計算結(jié)果也表明相對于滑體質(zhì)心的最大角加速度在邊坡最小安全系數(shù)小于1時仍可能為負值，說明其不能單獨用來判斷滑體的穩(wěn)定情況。因此，除非遇到存在力偶的情況，否則單純采用相對于滑體質(zhì)心的角加速度是不合適的。

（3）針對擋土墻土壓力的計算結(jié)果表明，最大慣性力可以作為土壓力的參考，但它與土壓力的關(guān)系比較復(fù)雜。由于外部支撐力的引入使得土坡中應(yīng)力重新分配，改變了土條的受力條件，所以最大慣性力的大小、方向與土壓力并沒有一致性的關(guān)系。土的強度參數(shù)不同，最大慣性力可能大于擋土墻土壓力，也可能小于土壓力。最大慣性力對應(yīng)的是不平衡推力，因此，根據(jù)事先引入支擋結(jié)構(gòu)力的作用方向得到的不平衡推力會更合理。

（4）采用安全系數(shù)評價邊坡的安全性是從靜力平衡方面看待當前邊坡與破壞失穩(wěn)之間的距離，相當于考察其強度儲備?；诩铀俣鹊脑u價則從運動學(xué)方面看待邊坡當前狀態(tài)與滑動狀態(tài)之間的距離，相當于考察邊坡滑坡時的動力學(xué)行為，即在運動加速度方面的儲備?；诩铀俣鹊姆治霾⒉皇且〈踩禂?shù)的計算，而是提供新的視角，從另外的角度來看待邊坡的穩(wěn)定和失穩(wěn)行為，有利于更全面地認識邊坡穩(wěn)定這一經(jīng)典問題。

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