郭本銀，劉鈺，苗亮

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033）

機(jī)器人工作空間是指機(jī)器人末端執(zhí)行器工作時所能到達(dá)的區(qū)域，是機(jī)器人性能評價的重要指標(biāo)［1-3］。根據(jù)執(zhí)行器工作時位姿變化等特點(diǎn)，工作空間主要分為可達(dá)工作空間和靈活工作空間?？蛇_(dá)工作空間是指執(zhí)行器參考點(diǎn)所能打到的點(diǎn)的集合，靈活工作空間是指指執(zhí)行器參考點(diǎn)可以從任何方向到達(dá)的點(diǎn)的集合，可達(dá)工作空間包含靈活工作空間。并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行器的位姿受多個支鏈共同決定，這種特殊構(gòu)型使得并聯(lián)機(jī)器人不存在靈活工作空間。另外，與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人雖然有良好的剛度及穩(wěn)定性，但是工作空間較小，是制約其性能的主要因素，所以對并聯(lián)機(jī)器人特別是微動并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行求解是非常有必要的。

并聯(lián)機(jī)器人工作空間的求解方法主要有兩類：解析法和數(shù)值法。解析法的代表為Gosselin［4］的幾何法，它利用曲面包絡(luò)原理求解各支鏈空間邊界，再利用曲面求交獲得實(shí)際工作空間，但是這種方法求解復(fù)雜難以實(shí)現(xiàn)。數(shù)值法是在空間中進(jìn)行掃描，利用機(jī)構(gòu)的逆解獲得當(dāng)前位姿對應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以邊界約束條件為判定依據(jù)從而獲得所有邊界點(diǎn)的方法［5，6］，該方法是求解并聯(lián)機(jī)器人工作空間的有效方法。

本文以實(shí)際研制的微動并聯(lián)機(jī)器人為研究對象，在機(jī)構(gòu)組成及工作原理的基礎(chǔ)上分析了影響其工作空間的因素，為反映傾斜調(diào)整能力，選擇合適的歐拉角表達(dá)運(yùn)動平臺的姿態(tài)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了逆解的求解，利用數(shù)值法獲得了定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角工作空間。

1 機(jī)構(gòu)組成及工作原理

本文實(shí)際研制的微動并聯(lián)機(jī)器人是基于Stewart平臺的一種典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示，由上下兩個剛性平臺和六個并聯(lián)的、可伸縮的支桿組成，各支桿兩端與上下兩個平臺相接，通過六個支桿的協(xié)調(diào)運(yùn)動實(shí)現(xiàn)運(yùn)動平臺的位置和姿態(tài)的調(diào)整。為了克服傳統(tǒng)球鉸或萬向鉸等運(yùn)動副存在間隙和摩擦等對調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動分辨率不利的問題，一方面在Stewart平臺的基礎(chǔ)上引入柔性鉸鏈來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運(yùn)動副，另一方面在六個支桿中設(shè)計位移縮小機(jī)構(gòu)。六條柔性支鏈成對使用，每對柔性支鏈軸向成120°均勻分布在運(yùn)動平臺和基座平臺之間。單條柔性支鏈如圖2所示，兩端各有一個柔性萬向鉸，靠近其中一端有一個柔性片體，電機(jī)克服彈簧拉力的情況下進(jìn)行位移輸入，LVDT位移傳感器實(shí)時監(jiān)測位移變化來構(gòu)成控制閉環(huán)，柔性支鏈兩端距離會發(fā)生與電機(jī)位移成一定關(guān)系的微小變化。六路支鏈的長度變化量共同決定了運(yùn)動平臺相對于基座平臺的位姿，從而實(shí)現(xiàn)了具有一定運(yùn)動分辨率的精密調(diào)整功能。

圖1 六自由度并聯(lián)柔性精密調(diào)整機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 單條柔性支鏈?zhǔn)疽鈭D

2 工作空間約束因素分析

并聯(lián)機(jī)器人的工作空間主要受到三個因素的影響，分別為：

（1）各個支鏈長度變化限制。每一路支鏈的長度變化范圍須滿足lmin≤li≤lmax，lmin和lmax分別表示每一路支鏈長度所能達(dá)到的最小值和最大值。

（2）運(yùn)動副轉(zhuǎn)角限制。各個支鏈通過運(yùn)動副分別于運(yùn)動平臺和基座平臺相連，由于本身結(jié)構(gòu)的限制，每個運(yùn)動副轉(zhuǎn)角須滿足 0≤θi≤θmax，θmax為運(yùn)動副可以達(dá)到的最大轉(zhuǎn)角極限。

（3）支鏈之間的干涉。各個支鏈在實(shí)際設(shè)計中有自己的幾何尺寸，但是在運(yùn)動平臺行走過程中必須確保各個支鏈不存在干涉。

對于研究的微動并聯(lián)機(jī)器人來說，目的是實(shí)現(xiàn)微米量級和微弧度量級的精密定位，其運(yùn)動平臺的位姿變化與整體尺寸相比非常小，所以可以排除運(yùn)動副轉(zhuǎn)角限制和支鏈干涉限制兩個約束條件，各個支鏈長度變化限制作為工作空間的約束條件，其主要由電機(jī)的驅(qū)動行程、LVDT傳感器的量程、柔性片體應(yīng)力屈服極限等因素決定。其中選取的壓電螺紋電機(jī)的驅(qū)動行程為12.7mm，LVDT傳感器的量程為±1.4mm，柔性片體材料為殷鋼，屈服極限為276Mpa。利用NX Nastran對單條柔性支鏈進(jìn)行有限元分析，殷鋼參數(shù)表如表1所示，位移云圖如圖3所示，最終得到的電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間的關(guān)系如圖4所示。

表1 殷鋼參數(shù)

圖3 單條柔性支鏈位移變化云圖

由圖4可得，電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系，制約支鏈長度變化的因素為LVDT的測量行程，LVDT具有的±1.4mm的量程對應(yīng)了支鏈±0.18mm的長度變化，且在LVDT量程內(nèi)支鏈最大應(yīng)力為143.05MPa，在殷鋼屈服極限以內(nèi)。

圖4 電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間的關(guān)系

3 工作空間求解

3.1 微動并聯(lián)機(jī)器人逆解

已知運(yùn)動平臺的位姿求解各支鏈長度變化等結(jié)構(gòu)參數(shù)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解問題，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析的重要組成部分［7］，也是數(shù)值法求解工作空間首要解決的問題。設(shè)計的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)原理圖如圖5所示。圖中坐標(biāo)系{P}:Op-XpYpZp為運(yùn)動平臺的坐標(biāo)系，A1～A6表示運(yùn)動平臺的球鉸副，分布在半徑為r的平面圓上，α為每對球鉸副與坐標(biāo)系原點(diǎn)及圓心連線的夾角。坐標(biāo)系{B}:Ob-XbYbZb為基座平臺的坐標(biāo)系，B1～B6表示基座平臺的球鉸副，分布在半徑為R的平面圓上。l為兩個球鉸副之間的距離即支鏈的原始長度，h為球鉸副在Zb軸方向上的垂直距離。結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為：

圖5 柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理圖

為了得到運(yùn)動平臺具有傾斜能力的工作空間，采用直觀的歐拉角來描述運(yùn)動平臺的姿態(tài)。該變換方法是將動平臺坐標(biāo)系的當(dāng)前姿態(tài)用初始與基座坐標(biāo)系重合的坐標(biāo)系通過三次有順序的旋轉(zhuǎn)而來，如圖6所示，旋轉(zhuǎn)順序?yàn)椋海?）繞{P} 坐標(biāo)系的Zp軸旋轉(zhuǎn)角ψ，ψ為最終Zp在{B} 中XbYb平面內(nèi)的投影與Xb的夾角；（2）繞{P} 坐標(biāo)系的Yp軸旋轉(zhuǎn)角θ，θ為最終Zp在{B} 中與Zb的夾角；（3）最后再繞{P}坐標(biāo)系的Zp軸旋轉(zhuǎn)角φ。ψ、θ和φ分別是歐拉角中的進(jìn)動角、章動角和自旋角。

圖6 運(yùn)動平臺的歐拉角

設(shè)運(yùn)動平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)沿在基座平臺坐標(biāo)系Xb、Yb、Zb軸的移動量為 xp、yp、zp，歐拉角分別是ψ、θ和φ，則有如下關(guān)系：

根據(jù)A1～A6在運(yùn)動平臺坐標(biāo)系的分布可以求出根據(jù)式（2）可以求出 A1～ A6在基座平臺坐標(biāo)系下的，根據(jù)式（1）可以求出B1～B6在基座平臺坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，各支鏈長度l'及與原始長度相比的變化量Δl為：

3.2 微動并聯(lián)機(jī)器人工作空間求解

利用柱坐標(biāo)系的方式構(gòu)造掃描空間，在高度上以微小步長將搜索空間分割為若干個平行的掃面平面，在每個掃面平面上以極坐標(biāo)的方式，使運(yùn)動平臺中心點(diǎn)坐標(biāo)的極徑和極角分別從0開始逐漸增大，通過式（4）得到每個掃描點(diǎn)對應(yīng)位置的6個柔性支鏈長度l'，然后根據(jù)約束條件判斷是否仍在工作空間范圍內(nèi)，若超出的話記錄邊界點(diǎn)，依次搜索出各個掃描截面上的邊界曲線，進(jìn)而得到整個工作空間。搜索示意圖如圖7所示。

圖7 工作空間邊界搜索示意圖

利用上述方法對本文中實(shí)際研制的微動并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，l'的變化范圍為l-0.18mm≤li'≤l+0.18mm，即工作空間邊界點(diǎn)的判斷依據(jù)。

表2 微動并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)mm

首先令三個歐拉角均為零，得到定姿態(tài)工作空間如圖8所示。

章動角θ即運(yùn)動平臺的靈活姿態(tài)角［8］，代表了運(yùn)動平臺在任意方向都能夠偏轉(zhuǎn)到的角度值，可以評判機(jī)構(gòu)運(yùn)動平臺的傾斜調(diào)整能力。為了限制運(yùn)動平臺自身的轉(zhuǎn)動，令ψ=-φ，在每個掃面點(diǎn)添加靈活姿態(tài)角判斷的掃描，即令ψ從0°到360°進(jìn)行姿態(tài)掃描。得到靈活姿態(tài)角為700μrad的工作空間如圖9所示。

從圖8和圖9可以得到：

（1）定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角為700μrad的工作空間均為較規(guī)則的十二面體，側(cè)視投影近似菱形，運(yùn)動平臺處在原點(diǎn)高度時，XY方向調(diào)整能力最大，隨著高度的上下變化，XY向調(diào)整范圍逐漸變小。

（2）X向調(diào)整范圍最大，其次是Y向，Z向調(diào)整范圍最小。隨著靈活姿態(tài)角的增大，工作空間逐漸變小。

圖8 定姿態(tài)工作空間

圖9 靈活姿態(tài)角θ為700μrad的工作空間

（3）從圖9可以得到，運(yùn)動平臺原點(diǎn)在長寬均為0.2mm，高度為0.18mm的長方體中的任一點(diǎn)均可實(shí)現(xiàn)任意方向700μrad的傾斜調(diào)整，即機(jī)器人在X、Y向具有±100μm的調(diào)整范圍，Z向具有±90μm調(diào)整范圍，并且在此空間內(nèi)任意點(diǎn)均可實(shí)現(xiàn)任意方向700μrad的傾斜調(diào)整。

4 結(jié)論

對實(shí)際研制的微動并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行了分析。首先針對微動并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析了影響其工作空間的約束條件。為了獲得機(jī)器人帶有一定傾斜調(diào)整能力的工作空間，采用更加直觀的歐拉角描述運(yùn)動平臺的姿態(tài)，對機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解的進(jìn)行求解，并通過給出的空間掃描邊界點(diǎn)的方法獲得了定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角工作空間。分析結(jié)構(gòu)表明機(jī)器人在給定任意方向具有700μrad的傾斜調(diào)整的前提下，在X、Y向具有±100μm的調(diào)整范圍，Z向具有±90μm調(diào)整范圍。該分析方法對微動并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計及性能評價具有重要指導(dǎo)意義。

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