徐亮
前不久,筆者在翻閱幾本高三二輪復(fù)習(xí)用書的過程中發(fā)現(xiàn),不同的編者卻不約而同地都選用了這樣一道題:“設(shè)a∈R,二次函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a,若f(x)>0的解集為A,B={x|1 初探 集合運(yùn)算是這道題的關(guān)鍵條件,抓住“A∩B≠?覫”作為解題的切入口。集合B已知,故考慮先求出集合A。對于不等式ax2-2x-2a>0(a≠0)的解集,考查含參的一元二次不等式的解法,需要進(jìn)行分類討論。 這樣的解法樸實(shí)無華,回歸集合運(yùn)算的本質(zhì),通過解含參不等式,借助數(shù)軸比較區(qū)間端點(diǎn)的大小實(shí)現(xiàn)問題的解決。但是,不難發(fā)現(xiàn),這種方法的求解過程中涉及無理不等式的求解,對計(jì)算能力的要求較高,學(xué)生易錯。 再探 回到原題再看“B={x|1 此解法沒有停留在原有問題的表面,將集合A,B的交集不空轉(zhuǎn)化為不等式在給定區(qū)間上有解的問題,為解決本題跨出了堅(jiān)實(shí)有力的一步。但是,怎么看都覺得這個方法的解題過程略顯繁雜,還有簡化改進(jìn)的空間嗎? 三探 既然解法二中已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x-2a>0(a≠0)在a∈(1,3)上有解的問題,何不順藤摸瓜,沿著這條線繼續(xù)前行。對于一元二次不等式在給定區(qū)間上有解,借助二次函數(shù)的圖像研究更為直觀。 問題到此似乎已經(jīng)尋找到解決該題的最佳方法,但是學(xué)生的思路又給這道題的解決開辟了更廣闊的途徑。 學(xué)生的思路 先考查A∩B≠?覫時,實(shí)數(shù)a的取值范圍。 對于二次函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a,方程ax2-2x-2a=0兩根x1x2=-2<0,函數(shù)有兩個零點(diǎn)分別在y軸的兩側(cè); 當(dāng)a>0時,拋物線開口向上,此時若要求A∩B≠?覫,只需f(3)≤0即可,解之得:0 當(dāng)a<0時,拋物線開口向下,此時若要求A∩B≠?覫,只需f(1)≤0即可,解之得:-2≤a<0; 所以當(dāng)A∩B≠?覫時,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2≤a<0或0 。 此解法從問題的另一個角度入手,另辟蹊徑,化歸為不等式無解問題進(jìn)行研究,顯得更加清晰明朗。 回顧本題的幾種不同解法,雖然有些略顯冗長和復(fù)雜,有些卻娓娓道來,但是相比較本題的優(yōu)美解,筆者更欣賞解法一和解法二。對于某些數(shù)學(xué)問題,在計(jì)算并不復(fù)雜的情況下,回歸樸素自然的方法也是不錯的選擇。數(shù)學(xué)解題就是一個從無到有、從有到優(yōu)的過程,“有”和“優(yōu)”兩個結(jié)果都可以實(shí)現(xiàn)問題的最終解決,并不是每一次的解題都能尋求到最簡潔、最漂亮的方法。如果一味追求優(yōu)美解,可能就會忽略數(shù)學(xué)解題中最真實(shí)的本源、最自然的流露。巧解、妙解的背后也許就隱藏著更大的危機(jī)。在平時的教學(xué)中,教師也要有意識地引導(dǎo)學(xué)生,從最基本的方法入手,掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),提高分析問題與解決問題的能力。同時,教師更要對高考試題進(jìn)行深入剖析與研究,從近幾年的高考題中,找到高考命題的共性與變化趨勢。從一些相似問題的研究中發(fā)現(xiàn)變化、尋找規(guī)律,讓這些陳題、好題發(fā)揮其內(nèi)在價值,滲透在平時復(fù)習(xí)的各個環(huán)節(jié)中,提高高三復(fù)習(xí)的效率。 編輯 謝尾合