●鄭燕平(金華市第一中學(xué)浙江金華321015)

“老”的求和問題“新”的求解視野
——對(duì)錯(cuò)位相減法的持續(xù)思考

●鄭燕平(金華市第一中學(xué)浙江金華321015)

眾所周知，對(duì)于通項(xiàng)是anbn(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)形式的數(shù)列都可以采用錯(cuò)位相減法.這一方法是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推廣，其精髓在于通過錯(cuò)位將同次冪的項(xiàng)相減，使得這些項(xiàng)的系數(shù)相等，從而轉(zhuǎn)化為局部的等比數(shù)列求和來解決問題.對(duì)于這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生接受知識(shí)容易但操作起來正確率不高.筆者一直在思考有沒有更好的方法來解決這類問題?現(xiàn)筆者將一些想法整理成文，以饗讀者，有不當(dāng)之處，請(qǐng)批評(píng)指正.

新視角1將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行重新整理

例1求數(shù)列1，1+2，1+2+22，…，1+2+ 22+…+2n-1的前n項(xiàng)和Sn.

分析一般的解法是將該數(shù)列的通項(xiàng)求出

再利用分組求和法求出

換個(gè)角度我們可以將該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn分成n個(gè)1，n-1個(gè)2，n-2個(gè)3，……，1個(gè)2n-1，于是

這不是通項(xiàng)是anbn(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)的形式嗎?即可以反其道而行之，將適用錯(cuò)位相減法的數(shù)列轉(zhuǎn)化為例1所示的數(shù)列形式，就成功避開了錯(cuò)位相減法這個(gè)攔路虎!不妨一試:

例2求數(shù)列{n·2n}前n項(xiàng)和Sn.

利用分組求和法，可得

評(píng)注筆者發(fā)現(xiàn)這一思想不僅適用于求形如數(shù)列{anbn}(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)的前n項(xiàng)和問題，而且還可以求一些等差乘以其他數(shù)列為通項(xiàng)的求和問題，如:

例3求和:Sn=12+22+32+…+n2.

分析這是正整數(shù)的前n項(xiàng)和，很多教材上都是先猜想再用數(shù)學(xué)歸納法證明.我們可將該數(shù)列重新寫成數(shù)列n，n+n-1，…，n+n-1+…+n-k+ 1，…，n+n-1+n-2+…+2+1，其通項(xiàng)為

新視角2利用待定系數(shù)法

分析求形如an+1=pan+g(n)(其中p是常數(shù))的數(shù)列通項(xiàng)問題，主要思想是根據(jù)g(n)的形式，利用待定系數(shù)法構(gòu)造相應(yīng)形式的遞推關(guān)系，從而化歸為等比數(shù)列的問題.這里g(n)=2n-1是一次函數(shù)，故可構(gòu)造通項(xiàng)為an-(An+B)形式的數(shù)列.

設(shè)an-(An+B)=3{an-1-［A(n-1)+B］}，則

只需將上面的方法作一個(gè)類比，就可以不用錯(cuò)位相減法來求數(shù)列{anbn}(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)的和.具體類比如下:在求cn= 3·2n的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可以將其視為等比數(shù)列的和;也可以這樣思考:將cn=3·2n寫成cn=λ· 2n+1-λ·2n，易知λ=3，那么就可以用裂項(xiàng)相消的思想來求和:

接著，自然會(huì)想到當(dāng)?shù)缺葦?shù)列不是乘以常數(shù)而是乘以等差數(shù)列時(shí)，能否如此操作呢?下面舉例說明:

例5求數(shù)列cn=(2n+3)·3n的前n項(xiàng)和Sn.

分析設(shè)cn=(An+B)·3n+1-［A(n-1)+ B］·3n，則

評(píng)注這里巧妙地利用待定系數(shù)，將形如數(shù)列{anbn}(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)的和轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)相消求和問題.筆者發(fā)現(xiàn)這一思想不僅適用于求形如數(shù)列{anbn}(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)的前n項(xiàng)和問題，還可以應(yīng)用于其他形式的數(shù)列求和.下面以文獻(xiàn)［1］中提出的問題為例進(jìn)行說明:

例6已知數(shù)列an=(n2+n)·3n，求Sn.

分析文獻(xiàn)［1］利用2次錯(cuò)位相減法才解決這一問題，用本文的思想就非常容易.因?yàn)檫@里等比數(shù)列{3n}前乘的是關(guān)于n的二次式，所以可構(gòu)造關(guān)于n的二次式的裂項(xiàng)式子.

由此可見，利用待定系數(shù)法可將形如an= f(n)·bn(其中{bn}是等比數(shù)列)的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成裂項(xiàng)相消求和的問題.

新視角3利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)

冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(xn)'=nxn-1，即等差乘以等比的結(jié)構(gòu).循著這一想法，我們來試驗(yàn)一下:

例7求f(x)=x0+2x1+3x2+…+nxn-1.

利用這個(gè)結(jié)論可解決本文例2的問題:即當(dāng)x=2時(shí)，

數(shù)學(xué)充滿了奧妙，很多數(shù)學(xué)思想方法都是相通的.只要我們有一雙發(fā)現(xiàn)的眼睛，挖掘各種方法的內(nèi)涵，找準(zhǔn)問題解決的關(guān)鍵，就能將方法進(jìn)行有效地遷移，收到意想不到的效果.或許這就是數(shù)學(xué)的魅力所在吧!

［1］呂建恒，王微.一類數(shù)列求和的方法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006(12):19.

［2］李志臣.“待定系數(shù)法”解遞推數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006(12):29-30.