●蔡新蓮(溫州市第二中學(xué)浙江溫州325000)●朱新余(繡山中學(xué)浙江溫州325000)

2014年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題述評(píng)

●蔡新蓮(溫州市第二中學(xué)浙江溫州325000)●朱新余(繡山中學(xué)浙江溫州325000)

2014年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試卷讓新老初三學(xué)生都很有“喜感”，它著力體現(xiàn)新課標(biāo)精神，遵循浙江省考試說明，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，無偏題、怪題，難度適中，梯度合理，知識(shí)面覆蓋全，核心內(nèi)容重點(diǎn)考核，讓每一位考生都能發(fā)揮出應(yīng)有水平.筆者結(jié)合具體實(shí)踐，與各位再次咀嚼回味.

1 重要數(shù)學(xué)思想與文化素養(yǎng)的融合度

借助學(xué)業(yè)考試滲透數(shù)學(xué)文化是近幾年溫州數(shù)學(xué)中考的一大特色.勾股定理在中學(xué)幾何中的重要地位不可取代.雖然勾股定理的證明方法有400多種，但是讓學(xué)生在思維上比較“自然”就能想到的證法可以說是沒有.為了讓學(xué)生更好理解勾股定理，更多的是采用“面積法”、數(shù)形結(jié)合，教材例題和作業(yè)本等相關(guān)練習(xí)上常借用正方形、長(zhǎng)方形、梯形等特殊四邊形，因其簡(jiǎn)單易懂，“拼湊”“割補(bǔ)”思想突出.如溫州市2014年數(shù)學(xué)中考試題第22題，就是關(guān)于證明勾股定理的閱讀模仿題.

例1勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程:

將2個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證:a2+b2=c2.

(2014年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

圖2

證明聯(lián)結(jié)DB，過點(diǎn)D作BC邊上的高DF，可得

請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明.

將2個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2.

此題主要考查勾股定理的證明，相較于教材上的內(nèi)容，“原材料形狀不同”了，但是卻同樣滲透著重要的數(shù)學(xué)“面積割補(bǔ)”思想，讓學(xué)生在動(dòng)手“玩”圖的過程中進(jìn)行有效的思考，是對(duì)日常教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和延伸.此題解題的關(guān)鍵是用不同的切割方式表示出五邊形面積，建立等式.首先聯(lián)結(jié)BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b-a，表示出S五邊形ACBED，進(jìn)而得出答案.

從勾股定理的根源入手，探究它的證明方法，這在往年的考試中并不常見.這道題讓學(xué)生更加深刻地理解勾股定理，不僅使學(xué)生知其然而且更深入地知其所以然.在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探索勾股定理的證明過程，讓學(xué)生近距離地感受到圖形變換的魅力.考試不再是簡(jiǎn)單的“考考你”，更多的是讓你“試試”，你會(huì)學(xué)到更多，一場(chǎng)考試也是一節(jié)“學(xué)習(xí)課”!

源于教材，取題教材，進(jìn)行改編和再造，這一直以來受到大家的喜愛和擁護(hù)，相信必能有效遏制題海戰(zhàn)術(shù)，回歸到對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的研究.考查學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的掌握，突出數(shù)學(xué)重要思想與方法，研究解決問題的通性通法，這些基本溢滿整份試卷.

2 試卷出題原意與考生考場(chǎng)發(fā)揮的契合度

如今一份地方中考卷，肩負(fù)著雙重身份，即畢業(yè)考核和選拔考試.顯然選擇題壓軸題的主要功能是選拔，如溫州市2014年數(shù)學(xué)中考試題第10題.

圖3

例2如圖3，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)A的反比例函數(shù)(其中k≠0)中k值的變化情況是()

A.一直增大

B.一直減小

C.先增大后減小

D.先減小后增大

(2014年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(來源于溫州中考解析)在矩形ABCD中，設(shè)AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則a+b為定值.根據(jù)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知

再根據(jù)a+b為定值，當(dāng)a=b時(shí)，ab最大，可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.

此題主要考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及不等式的性質(zhì)，有一定的難度.根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵.

而考生在考場(chǎng)上是否能這樣想，并這樣做呢?他們?nèi)绾翁幚磉@個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)呢?借助考生草稿紙還原思考過程.

筆者收集了400名考生的草稿紙，結(jié)果有超過60%的考生幾乎一致地采用了特殊值法，避開了先用字母表示后求最值的方法，并表示此題不用如此繁瑣.特殊值法巧妙地將此題轉(zhuǎn)化成“已知a，b的值，求k”，雖然所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)一個(gè)也不落下，可已經(jīng)大大了降低了此題的難度，尤其是只要分別選出大于、等于、小于這3組值，就讓答案“手到擒來”，可謂最妙.或許出題者也想不到考生會(huì)有這么一“招”，讓此題的得分率大大提高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了理想值0.6.其實(shí)對(duì)于一道“規(guī)律題”，我們采用具有代表性的特殊數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)行“不完全歸納”，不失為一種好方法.此題特殊值法中選擇具有代表性的數(shù)值，題目已經(jīng)明確告訴是“從小于AD到大于AD的變化過程中”，使得此題有些簡(jiǎn)單了.

通過統(tǒng)計(jì)2014年溫州市數(shù)學(xué)中考卷的最終得分情況，各題難度值與得分率基本在“理想范圍”內(nèi)，只有這題在“掌握”之外，卻也是情理之中.

3 歷年中考最后壓軸題的共通處

看最近5年來，溫州市數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題都在考“動(dòng)”.以方程、函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用作為主要方式，用到三角形、四邊形、相似形和圓等有關(guān)知識(shí).動(dòng)態(tài)幾何問題經(jīng)常把操作、觀察、探求、計(jì)算和證明融合在一起.

2010年的壓軸題從邊長(zhǎng)為3，4，5的特殊直角三角形入手，利用點(diǎn)動(dòng)形成線動(dòng)，再帶動(dòng)形動(dòng)，通過圖形變換——平移與軸對(duì)稱創(chuàng)設(shè)問題情境，以線與線的平行和垂直在平移變換和軸對(duì)稱變換中所蘊(yùn)含的不變性為突破口，讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考、參與數(shù)學(xué)活動(dòng)、解決數(shù)學(xué)問題.

2011年的壓軸題嘗試設(shè)計(jì)2個(gè)獨(dú)立的動(dòng)點(diǎn)(邁進(jìn)一步)，一個(gè)“點(diǎn)動(dòng)”帶來“線動(dòng)”，另一個(gè)“點(diǎn)動(dòng)”帶來“線動(dòng)”并引起“形動(dòng)”.設(shè)計(jì)巧妙之處還在于2個(gè)獨(dú)立的動(dòng)點(diǎn)又不“獨(dú)立”，為了得到等腰直角三角形，它們需要合作，當(dāng)一個(gè)“點(diǎn)動(dòng)”帶來直角時(shí)，需另一個(gè)“點(diǎn)動(dòng)”帶來等腰，進(jìn)而解決問題，學(xué)生還需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行討論，在不同象限畫出符合題意的圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷問題探究的全過程.

2012年的壓軸題利用運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性原理，讓“形”先動(dòng)，視“點(diǎn)M、線PM”為“參照物”，從而帶動(dòng)相關(guān)的“線”和“點(diǎn)”動(dòng)(運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，與前幾年反過來，邁進(jìn)一步)，對(duì)學(xué)生綜合解決問題的能力提出了較高的要求.

2013年的壓軸題嘗試設(shè)計(jì)2個(gè)獨(dú)立的動(dòng)點(diǎn)(與2011年類似)，一個(gè)是“隱藏動(dòng)點(diǎn)”，而另一個(gè)是“輔助動(dòng)點(diǎn)”(邁進(jìn)一步).設(shè)計(jì)巧妙之處還在于2個(gè)獨(dú)立的動(dòng)點(diǎn)又不“獨(dú)立”，為了得到矩形，它們需要合作，當(dāng)“輔助動(dòng)點(diǎn)D”在運(yùn)動(dòng)過程中不能得到矩形時(shí)，需另一個(gè)“隱藏動(dòng)點(diǎn)C”來改變m的條件，如何確定m的值，是本題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵所在，學(xué)生需對(duì)m的取值范圍進(jìn)行討論，畫出相應(yīng)的圖形，……，進(jìn)而解決問題.

2014年的壓軸題如下:

例3如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，0)，(0，6).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使PE=AO.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

圖4

1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo).

2)當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，求證:四邊形ADEC為平行四邊形.

3)在線段PE上取點(diǎn)F，使PF=1，過點(diǎn)F作MN⊥PE，截取FM=2，F(xiàn)N=1，且點(diǎn)M，N分別在一和第四象限，在運(yùn)動(dòng)過程中?PCOD的面積為S.

①當(dāng)點(diǎn)M，N中有1個(gè)點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，求出所有滿足條件的t的值;

②若點(diǎn)M，N中恰好只有1個(gè)點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，直接寫出S的取值范圍.

(2014年浙江省溫州市數(shù)學(xué)中考試題)

此題整體上“起點(diǎn)低，坡度先緩后陡，尾巴很翹”.第1)和第2)小題看上去“動(dòng)”，實(shí)質(zhì)上是“定”，大部分學(xué)生能輕而易舉拿下，讓每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與，可謂面向全體學(xué)生.而第3)小題要求較高，考生需要綜合運(yùn)用四邊形、相似三角形等相關(guān)知識(shí).此題對(duì)熟練運(yùn)用多種技能與方法綜合解決問題上提出了很高要求.在動(dòng)態(tài)變化過程中，進(jìn)行正確分類之中再分類即復(fù)合分類方面，表現(xiàn)尤其突出.

分析3)①當(dāng)點(diǎn)C在BO上時(shí)，第1種情況，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，由△EMF∽△ECO求解，第2種情況，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，由△EFN∽△EPD求解;當(dāng)點(diǎn)C在BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，第1種情況，當(dāng)點(diǎn)M在DE邊上時(shí)，由EMF∽△EDP求解，第2種情況，當(dāng)點(diǎn)N在CE邊上時(shí)，由△EFN∽△EOC求解.

此題看上去是2個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)C，P在動(dòng)，可實(shí)際上是3個(gè)動(dòng)點(diǎn):點(diǎn)E隨著點(diǎn)P而動(dòng)(邁進(jìn)一步).雖然有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可是整個(gè)四邊形卻始終是一個(gè)平行四邊形，這也是巧妙之處.第3)小題看似入口很寬，條件也沒有限制很窄，只要點(diǎn)在面上即可，可是隱含條件中滿足條件的點(diǎn)卻有限，頗有新意.分類時(shí)，先對(duì)點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類，再套點(diǎn)N，M的分類.解決這種復(fù)合分類的關(guān)鍵是能找到根源，分清先動(dòng)點(diǎn)，后動(dòng)點(diǎn)，最后引起形動(dòng)的不同情況.考生進(jìn)行正確分類，在不同象限畫出符合題意的圖形，經(jīng)歷問題探究的全過程，最終綜合解決問題(延續(xù)2013年風(fēng)格).

通過探究中考數(shù)學(xué)壓軸題的共通處，可以找到一些解決這個(gè)“神秘”壓軸題的切入點(diǎn):構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形，如等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等;“做不出、找相似，有相似、用相似”，近5年均有所體現(xiàn);緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論.在圖形運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某2條線段，或某2個(gè)角或某2個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變;在題目中尋找多解的信息，點(diǎn)在動(dòng)，形在動(dòng)，在變化過程中，可能滿足條件的情形不止一種，要“把握全局，定位解題”.當(dāng)然這些切入點(diǎn)的實(shí)施者必須具有積極、勇敢而又強(qiáng)大的內(nèi)心.