●傅瑞琦(金華市教育局教研室浙江金華321000)

基于教材感悟思想導(dǎo)向思維
——一道源于教材的中考試題命題的實(shí)踐與思考

●傅瑞琦(金華市教育局教研室浙江金華321000)

試題設(shè)計(jì)一直重視教材資源的應(yīng)用和拓展，特別是試卷中的關(guān)鍵試題.由于承擔(dān)著考查學(xué)生探究能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重任，更需要立足教材，依據(jù)教材素材，改編形成試題，力求在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累、問(wèn)題解決能力以及數(shù)學(xué)潛能上對(duì)學(xué)生適度區(qū)分，達(dá)到對(duì)“數(shù)學(xué)深層思維”的考查目的.現(xiàn)以2014年數(shù)學(xué)中考金華卷第24題的命制過(guò)程，淺談如何利用教材資源，探討壓軸題編制的嘗試與完善.

1 教材素材

根據(jù)命題計(jì)劃，最后一題的素材選自教材.我們期望，一是背景設(shè)計(jì)為學(xué)生熟悉;二是考查內(nèi)容選自數(shù)學(xué)核心知識(shí)的交匯處;三是改編為具有開(kāi)放性、動(dòng)態(tài)探究相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，將觀察、探究和計(jì)算有機(jī)融合，綜合考查學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

素材已知:如圖1，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分別是垂足，且PD=PE.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

圖1

素材解讀這是浙教版八年級(jí)上冊(cè)2.8節(jié)“直角三角形全等的判定”中的范例，通過(guò)應(yīng)用直角三角形全等的判定方法，得出角平分線性質(zhì)定理的逆定理.若聯(lián)結(jié)DE，則△PDE是等腰三角形.

改∠AOB為鈍角，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，研究△PDE是等腰三角形的存在性問(wèn)題.

圖2

圖3

圖4

1)若△PDE是等腰三角形，點(diǎn)P的位置除了在∠AOB平分線上外，還有2種情況(如圖2):當(dāng)DP=DE時(shí)，點(diǎn)D在線段PE的中垂線上;當(dāng)EP= ED時(shí)，點(diǎn)E在線段PD的中垂線上.

2)若∠AOB=120°(如圖3)，則△PDE是正三角形.

3)若∠AOB=135°，除了∠AOB的角平分線上的點(diǎn)P外(如圖4)，還存在△PDE是等腰直角三角形2種情況.

結(jié)合上面的分析，將背景放置在直角坐標(biāo)系中，對(duì)點(diǎn)P的位置給出一定的限定，尋找隱含在其中的幾何基本圖形，讓學(xué)生對(duì)等腰三角形的存在性問(wèn)題進(jìn)行探究，形成初稿分析考查的可行性.

2 研究過(guò)程

初稿在平面直角坐標(biāo)系中，直線l:y=-x-4與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)拋物線上的點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為E，F(xiàn)，當(dāng)△PEF為等腰三角形時(shí)，試求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

分析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.如圖5，△PEF是等腰直角三角形，有t1=-4;如圖6，△PEF是等腰直角三角形，與x軸成45°角的直線PF與拋物線的交點(diǎn)有P2和P3這2種情況，直線PF的解析式為y=x+4，由，解得

圖5

圖6

圖7

如圖7，點(diǎn)P在∠ODF的角平分線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE，由，得方程

但該方程的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都含有根式，求解已經(jīng)超出課標(biāo)要求.

調(diào)整直線l的位置，并將拋物線改為雙曲線形成第2稿.

圖8

圖9

圖10

分析如圖8，△PEF是等腰直角三角形，可以求得點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為.如圖9，△PEF是等腰直角三角形有2種情況，設(shè)P1F2=F2E=t，則

如圖10，點(diǎn)P在角平分線上，延長(zhǎng)P4F4，交直線l于點(diǎn)H，設(shè)DF4=DE4=t，則

另外，從圖形看，點(diǎn)P的位置是直線l與x軸夾角平分線與拋物線或雙曲線的交點(diǎn)，求2個(gè)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算復(fù)雜，方法單一.

因此，基于選擇拋物線、雙曲線都會(huì)出現(xiàn)超標(biāo)的方程，因此改為直線型圖形就可以避免這種情況，于是形成第3稿(定稿).

3 定稿分析

定稿如圖11，直角梯形ABCO的2條邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線過(guò)點(diǎn)A，B，C.

1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

2)已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.

①當(dāng)m=0時(shí)，如圖11，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與BC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OP，試求△OPH的面積.

②當(dāng)m=-3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn).是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖11

圖12

圖13

圖14

分析第①小題應(yīng)盡可能讓學(xué)生得分，入口要寬，設(shè)置的問(wèn)題“當(dāng)m=0時(shí)，求△OPH的面積”.一方面，當(dāng)m=0時(shí)，直線l過(guò)原點(diǎn)，使問(wèn)題背景更簡(jiǎn)潔，在對(duì)問(wèn)題的理解上作了鋪墊;另一方面，求△OPH的面積時(shí)，需要用到PH與拋物線對(duì)稱(chēng)軸夾角45°這一結(jié)論，這為第②題的求解起到引領(lǐng)思路的作用，從而降低求解難度.

第②題的求解，對(duì)2種等腰直角三角形的2種情況(如圖15)，只要能夠分析畫(huà)出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，是容易的.對(duì)后2種的求解則需要有一定的綜合分析能力.

如圖13，點(diǎn)P在邊BC上，則點(diǎn)P為∠OGD的角平分線與BC的交點(diǎn)，有GE=GF，設(shè)為t.

方法1如圖15，過(guò)點(diǎn)F分別作FH⊥PE于點(diǎn)H，F(xiàn)K⊥x軸于點(diǎn)K，則△PHF，△FGK為等腰直角三角形，從而

由PE=PH+EH，得

圖16

圖17

方法4如圖18，過(guò)點(diǎn)F構(gòu)造矩形PQKE，則

由QF=PQ，得

圖18

圖19

圖20

方法5如圖19，分別過(guò)點(diǎn)E，G作直線l，PF的平行線，相交于點(diǎn)H，則

方法6如圖19，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥PF于點(diǎn)K，GH⊥EK于點(diǎn)H，則

方法7如圖20，延長(zhǎng)FP交y軸于點(diǎn)K，設(shè)CP=m，則△KFH是等腰直角三角形.由，得

方法8如圖21，延長(zhǎng)CP交直線l于點(diǎn)K，設(shè)CP=m，則△KCH，△PFK是等腰直角三角形.由CH=CK，得

圖21

4 命題反思

4.1 選擇教材素材，引導(dǎo)教學(xué)導(dǎo)向

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的載體，是課程目標(biāo)和課程內(nèi)容的具體化，以教材中的核心概念、性質(zhì)法則和例題習(xí)題為載體，將有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握程度，而背景“親切熟悉”，可以確保情境的公平性，將有利于學(xué)生的發(fā)揮.選擇一個(gè)核心的教材內(nèi)容，加工改造，將解決問(wèn)題需要的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化內(nèi)隱其中，就可以創(chuàng)造出一個(gè)嶄新的試題.

角平分線定理、等腰三角形等問(wèn)題都是學(xué)生熟悉的，頂點(diǎn)P在梯形邊上運(yùn)動(dòng)，很自然地將角平分線定理的基本圖形內(nèi)隱其中，但夾角為45°角的不變性，為圖形的分析給出思路和求解方向.既保證了情境的公平性，尊重了學(xué)生認(rèn)知水平的差異，又對(duì)引導(dǎo)課堂教學(xué)回歸教材，師生重視教材、用好教材，對(duì)減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、減少題海戰(zhàn)術(shù)有一定的現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)教學(xué)有著積極的導(dǎo)向作用.

4.2 問(wèn)題引導(dǎo)探究，感悟數(shù)學(xué)思想

依托課本素材進(jìn)行命題，反應(yīng)數(shù)學(xué)的本質(zhì).本題是等腰三角形存在性探究問(wèn)題，難于用兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行求解，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形的特征尋求解題思路.

問(wèn)題的設(shè)置，基于對(duì)學(xué)生知識(shí)水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的了解;問(wèn)題的呈現(xiàn)，采用遞進(jìn)式的循序漸進(jìn).第1)小題入口窄，對(duì)最后一問(wèn)的求解提供思路或知識(shí)的鋪墊;第2)小題的解決，對(duì)等腰直角三角形2種情況，求解通過(guò)畫(huà)圖是不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)果的，但角平分線上2個(gè)點(diǎn)的求解，涉及不同的數(shù)學(xué)思想方法，增加圖形分析的轉(zhuǎn)化層次，增加題目分析過(guò)程的復(fù)雜性，需要學(xué)生較高的思維能力，比較豐富的數(shù)學(xué)積累，來(lái)表現(xiàn)出自己在從事觀察、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力，在問(wèn)題的探究解決過(guò)程中，能很好地甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.3 解題思路多元，突出考查思維

試題的設(shè)計(jì)應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值，增加思維量而適當(dāng)控制計(jì)算量.如圖13，當(dāng)點(diǎn)P為直線l與x軸夾角的角平分線與梯形的邊的交點(diǎn)時(shí)，圖16～19所示的方法都是根據(jù)“∠EPF=45°”這一圖形特征，用不同的形式補(bǔ)成等腰直角三角形.圖18中補(bǔ)成一個(gè)矩形，出現(xiàn)2個(gè)等腰直角三角形;圖19中則分割成1個(gè)矩形和2個(gè)等腰直角三角形;而圖15中則補(bǔ)成直角梯形，再利用直角梯形的特征分割成矩形和一個(gè)等腰直角三角形.通過(guò)割補(bǔ)這2種常見(jiàn)手段，出現(xiàn)等腰直角三角形，轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題得到解決.