平面解析幾何是高中數(shù)學的主要知識模塊，也是高考考查的重點知識之一，所涉及的知識甚多，同時易錯點也非常多.在高三復習中，如能在這些易錯點上，強化正誤辨析意識，就會加強訓練的針對性，提高復習效率.本文意在從剖析解析幾何的常見錯誤出發(fā)，為同學們在以后的平面解析幾何復習中防微杜漸，起拋磚引玉之用.

易錯點一：基本概念理解偏差致錯

例1 （1）過點（2，1）且與兩坐標所圍成的三角形面積為4的直線方程 ；

（2）已知定圓F1：（x+5）2+y2=1，圓F2：（x-5）2+y2=16，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心的軌跡方程.

錯解：（1）中設所求直線方程為xa+yb=1，由（2，1）在直線上得2a+1b=1及ab=8得a=4，b=2，

故所求直線方程為x+2y=4.

（2）由F1：（x+5）2+y2=1，F(xiàn)2：（x-5）2+y2=16，設圓M半徑為r，則MF1=1+r，MF2=4+r，

故MF2-MF1=3<|F1F2|=10，知M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，且2a=3，a=32，c=5；b2=c2-a2=914，故M的軌跡方程為：x294-y2914=1.

錯因分析：（1）截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”.事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為12|a||b|，而不是12ab.

（2）上述解法將MF2-MF1=3看成|MF1-MF2|=3，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致.

正解：（1）所求直線方程應為：x+2y=4，或（2+1）x-2（2-1）y-4=0，

或（2-1）x-2（2+1）y+4=0.

（2）應在上述解法中添加：由于MF2-MF1=3，知MF2>MF1，點M的軌跡是雙曲線的左支，

故M的軌跡方程為：x294-y2914=1（x≤-32）.

評注：“距離”與“截距”、圓錐曲線的定義、兩直線夾角與到角等基本概念，看似基礎(chǔ)，實則涉及到一類問題的本質(zhì)，若理解入陷阱，易致錯.

易錯點二：知識掌握不重細節(jié)，忽視實際條件致錯

例2 過點A（-4，2）且與x軸的交點到（1，0）的距離是5的直線方程 .

錯解：設直線斜率為k，其方程為y-2=k（x+4），則與x軸的交點為（-4-2k，0）.

∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.故所求直線的方程為x+5y-6=0.

錯因分析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”，其實x=-4也符合題意.

正解：x+5y-6=0或x=-4.

評注：在直線方程的五種形式中，每種形式都有其適用條件，忽視斜率不存在的情況，是很多同學常犯的錯誤.

易錯點三：審題不清，條件審視不全致錯

例3 （1）過點（1，1）且橫、縱截距相等的直線方程 ；

（2）已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

錯解：（1）設所求方程為xa+ya=1，將（1，1）代入得a=2，得直線方程為x+y-2=0.

（2）將圓的方程配方得：

（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24.

∵其圓心坐標為C（-a2，-1），半徑r=4-3a24，當點A在圓外時，過點A可作圓的兩條切線，則|AC|>r，

即（1+a2）2+（2+1）2>4-3a24.即a2+a+9>0，解得a∈R.

錯因分析：（1）上述錯解所設方程為xa+ya=1，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（1，1）的直線y=x也符合條件，典型的審題不全致錯！

（2）本題的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出|AC|>r，卻忽視了a的另一制約條件4-3a2>0.

正解：（1）x+y-2=0；x-y=0.

（2）圓方程為（x+a2）2+（y+1）2=4-3a24，

由a2+a+9>0及4-3a2>0可得a的取值范圍是（-233，233）.

評注：審題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)挖掘問題的隱含條件，理清條件間錯綜復雜的關(guān)系.審題不清，是解析幾何解題的大忌！

易錯點四：過分偏重技巧、忽視本質(zhì)致錯

例4 已知雙曲線x2-y22=1，問過點A（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.

錯解：假設符合題意的直線l存在，并設P（x1，y1）、Q（x2，y2），

則x21-y212=1（1）x22-y222=1（2）

（1）-（2）得（x1-x2）（x1+x2）=12（y1-y2）（y1+y2） （3）

因為A（1，1）為線段PQ的中點，

所以x1+x2=2（4）y1+y2=2（5）

將（4）、（5）代入（3）得x1-x2=12（y1-y2），若x1≠x2，則直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，

所以符合題設條件的直線l存在，其方程為2x-y-1=0.

錯因分析：（3）式成立的前提下，由（4）、（5）兩式可推出（6）式，這是很多同學都十分熟悉的“點差法”.這種“設而不求”的解題技巧雖簡化了解題過程，但忽視了大前提：必需兩根都存在，要用判別式去檢驗！

正解：應在上述解題的基礎(chǔ)上，

再由y=2x-1x2-y22=1得2x2-4x+3=0，

根據(jù)Δ=-8<0，

說明所求直線不存在.

評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通過聯(lián)立方程組，用判別式來判別解的情況是前提.一些技巧性的解法，雖簡化了過程，但忽視了本質(zhì)，易致錯.

易錯點五：錯在解析幾何，根在函數(shù)與方程，數(shù)據(jù)處理方法致錯

例5 過點A（0，1），B（4，m）且與x軸相切的圓有且只有一個，求實數(shù)m的值和這個圓的方程.

錯解：設所求圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中r2=b2.

將A，B的坐標代入，

得a2+1-2b=0a2-8a+16+m2-2mb=0，

消去b得（1-m）a2-8a+m2-m+16=0 （），由題設知方程（）只有一解.

故此關(guān)于a的一元二次方程

Δ=64-4（1-m）（m2-m+16）=0，

即：m（m2-2m+17）=0，所以m=0，此時a=4，b=172，

故所求方程為（x-4）2+（y-172）2=（172）2.

錯因分析：（1-m）a2-8a+m2-m+16=0只有一解時，忽視m=1，方程是一元一次方程，也是一解！用方程手段處理解析幾何問題時，二次項系數(shù)含參數(shù)時，不考慮其能否為零，是致錯的根本原因.

正解：應在上述解題過程中加條件m≠1.

再補充：當m=1時，方程（）只有一解.此時a=2，b=52，

故所求方程為（x-2）2+（y-52）2=（52）2.

評注：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究平面幾何問題，往往對常見代數(shù)問題處理能力和手段會直接影響解析幾何問題的解決，從而產(chǎn)生“錯在解析幾何，根在函數(shù)與方程”的現(xiàn)象.

上面談及的問題和所舉例題，只是解析幾何中部分常見錯誤.整個高三一輪復習是一個見微知漸的過程，希望通過錯誤的剖析引導同學辨析正誤.而產(chǎn)生錯誤的最根本原因是基礎(chǔ)掌握不牢，概念理解不透，對基本方法一知半解.故在解析幾何的復習中，狠抓三基，不斷對相應題型作出歸納總結(jié)，定能取得不俗效果！

（作者：顧華，江蘇省海門中學）