劉顯明，雷焱林，陳 麗，韓 成

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施445000)

自從Bekenstein［1］和Hawking［2－4］建立起黑洞的熱力學(xué)定律以來，國內(nèi)外研究學(xué)者一直關(guān)注于對黑洞系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)的研究． Davies 首先發(fā)現(xiàn)了在Kerr－Newman 黑洞系統(tǒng)存在熱力學(xué)相變現(xiàn)象［5－6］．利用Landau－Lifshiz 的動力學(xué)漲落理論，研究者們進(jìn)一步確認(rèn)了在Ressner－Nordstrom 黑洞中存在二級相變現(xiàn)象，證明系統(tǒng)的熱容量在相變點是發(fā)散的［7］．除此之外人們還利用熱力學(xué)幾何的方法對黑洞系統(tǒng)的熱力學(xué)相變做了大量的研究［8］．

近年來，理論物理學(xué)家對漸進(jìn)AdS 時空中黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)的產(chǎn)生了濃厚的興趣．Witten 指出一個AdS黑洞的熱力學(xué)系統(tǒng)可以與一個高溫強(qiáng)耦合的共形場對偶［9］．因此，研究AdS 黑洞熱力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)可以洞察強(qiáng)耦合系統(tǒng)的熱力學(xué)特征．這一思想也正是AdS/CFT 對應(yīng)原理的具體體現(xiàn)．利用AdS/CFT 對應(yīng)原理，理論物理學(xué)家近期建立了全息超導(dǎo)、超流、全息熱化等理論模型，解釋了強(qiáng)耦合系統(tǒng)的許多有趣的物理特征．最早研究發(fā)現(xiàn)AdS 黑洞的熱力學(xué)系統(tǒng)存在Hawking－Page 相變［10］．近年來利用標(biāo)準(zhǔn)的熱力學(xué)研究方法研究了大量的AdS 黑洞系統(tǒng)的熱力學(xué)相變現(xiàn)象［11－14］．有趣的是，人們發(fā)現(xiàn)帶電的AdS 黑洞系統(tǒng)的相變和臨界行為與范德瓦耳斯物質(zhì)的汽液相變非常類似．如果把宇宙學(xué)常數(shù)作為系統(tǒng)的壓強(qiáng)，其共軛量作為系統(tǒng)的熱力學(xué)體積V，黑洞系統(tǒng)P－V 相圖正可以類比為一個范德瓦耳斯物質(zhì)的P－V 相圖．

本文將研究5 維Gauss－Bonnet－AdS 黑洞系統(tǒng)的熱力學(xué)和臨界現(xiàn)象．選取Bekenstein－Hawking 熵作為Gauss－Bonnet－AdS 黑洞的熵，討論系統(tǒng)的相變現(xiàn)象，主要目的是討論在存在高階曲率項時AdS 黑洞系統(tǒng)是否存在相變現(xiàn)象、相變點的臨界指數(shù)是否仍然滿足熱力學(xué)系統(tǒng)的普適熱力學(xué)標(biāo)度律．

1 5 維Gauss－Bonnet－AdS 黑洞的熱力學(xué)

含有高階的曲率項(Gauss－Bonnet 項)和宇宙學(xué)常數(shù)的5 維愛因斯坦引力的作用量為［15－16］:

式中αGB是Gauss－Bonnet 系數(shù)，在低能弦論中要求αGB≥0，在文章中要求其也是非負(fù)的．通過變分可以得到引力場方程:

這比愛因斯坦場方程多出了高階的曲率項．在該引力理論中存在類似于施瓦西黑洞的一類靜態(tài)黑洞解，其線元為［17］:

因此，由F(r+)=0 時，可以得到黑洞的質(zhì)量:

黑洞的霍金溫度可以計算得到為:

據(jù)此可以得到系統(tǒng)的基本熱力學(xué)方程:

正如文獻(xiàn)［18］指出，熱力學(xué)熵仍然可近視選擇為Bekenstein－Hawking 熵:

由此可以建立熱力學(xué)．文獻(xiàn)［18］基于此討論了帶電的Gauss－Bonnet－AdS 黑洞系統(tǒng)熱力學(xué)相變現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)對于k=1 的球?qū)ΨQ黑洞存在二級相變．本文同樣基于Bekenstein－Hawking 熵，在P－V 相空間中，利用S≡SH來研究不帶電的Gauss－Bonnet－AdS 黑洞的熱力學(xué)相變現(xiàn)象．

根據(jù)式(5)、(6)、(8)和式(10)可以得到，熱力學(xué)系統(tǒng)的焓:

和物態(tài)方程:

以及系統(tǒng)的其它熱力學(xué)函數(shù):

2 熱力學(xué)相變及臨界指數(shù)

接下來討論系統(tǒng)的熱力學(xué)相變并計算臨界指數(shù)．首先，根據(jù)定義，可以得到系統(tǒng)的定壓熱容量CP．利用關(guān)系式:

代入式(10)、(12)可以得到:

由此結(jié)合式(12)可以求得對應(yīng)的臨界常數(shù);

發(fā)現(xiàn)臨界常數(shù)滿足:

這是一個不依賴于Gauss－Bonnet 系數(shù)αGB的普適常數(shù)．這一結(jié)果與范德瓦爾斯系統(tǒng)非常類似．不同的是后者的臨界系數(shù)是

類比于范德瓦爾斯系統(tǒng)，可以進(jìn)一步計算黑洞系統(tǒng)在臨界點的臨界指數(shù)． 范德瓦爾斯系統(tǒng)的臨界指數(shù)(α，β，γ，δ)可以根據(jù)以下定義求得:

5 維Gauss－Bonnet－AdS 系統(tǒng)中，根據(jù)式(8)、(10)，S僅僅是V的函數(shù)，因此可以得到:

所以α=0．

同時，在臨界點引入

并假設(shè)ω 展開為下面的形式:

通過對τ、ε 在臨界點求導(dǎo)數(shù)，可以容易得到系數(shù):

于是(ω－1)|τ=0=－ε3，所以可得δ=3．

利用麥克斯韋等面積關(guān)系:

代入式(24)、(25)，可得:

另一方面，在相變點壓強(qiáng)保持不變，即:

利用式(24)、(25)可得:

發(fā)生相變時要求T＜TC(τ ＜0)時，同一壓強(qiáng)下有兩個不同的體積，即εg≠εl，于是利用式(25)、(27)、(29)可以求得:

又因為:

所以可以求得γ=1．

因此，現(xiàn)在已經(jīng)求得5 維Gauss－Bonnet－AdS 黑洞系統(tǒng)在臨界點的臨界指數(shù)這與范德瓦爾斯系統(tǒng)的臨界指數(shù)是一樣的．并且，很容易驗證這些臨界指數(shù)滿足熱力學(xué)系統(tǒng)的普適標(biāo)度律:

3 結(jié)論

本文利用標(biāo)準(zhǔn)研究熱力學(xué)系統(tǒng)相變的方法研究了一個5 維Gauss－Bonnet－AdS 黑洞系統(tǒng)的熱力學(xué)及其相變現(xiàn)象．發(fā)現(xiàn)當(dāng)采用Bekenstein－Hawking 熵作為系統(tǒng)的熵時，5 維的球?qū)ΨQGauss－Bonnet－AdS 黑洞會發(fā)生相變，相變點的臨界系數(shù)是一個與Gauss－Bonnet 系數(shù)無關(guān)的普適常數(shù)，并且臨界指數(shù)與范德瓦爾斯系統(tǒng)一致且滿足熱力學(xué)普適標(biāo)度律．結(jié)果證明了在擴(kuò)展的P－V 相空間中，5 維Gauss－Bonnet－AdS 黑洞系統(tǒng)與范德瓦爾斯系統(tǒng)具有類似的熱力學(xué)性質(zhì)．

［1］ Bekenstein J D．Black Holes and Entropy［J］．Phys Rev D，1973，7:2333．

［2］ Hawking S W．Black hole explosions［J］．Nature，1974，248:30－31．

［3］ Hawking S W．Particle creation by black holes［J］．Commun Math Phys，1975，43:199－220．

［4］ Bardeen J M，Carter B，Hawking S W．The four laws of black hole mechanics［J］．Commun Math Phys，1973，31:161－170．

［5］ Davies P C W．The thermodynamic theory of black holes［J］．Proc R Soc London A，1977，353:499－521．

［6］ Davies P C W．Thermodynamic phasetransitions of Kerr－Newman black holes in de Sitter space［J］．Class Quantum Grav，1989，6:1909－1914．

［7］ Pav'on D．Phase transition in Reissner－Nordstrom black holes［J］．Phys Rev D，1991，43:2495－2497．

［8］ Quevedo H．Geometrothermodynamics of black holes［J］．Gen Rel Grav，2008，40:971－984．

［9］ Witten E．Anti de Sitter space and holography［J］．Adv Theor Math Phys，1998，2:253－291．

［10］ Hawking S W，Page D N．Thermodynamics of black holes in anti－deitter Space［J］．Commun Math Phys，1983，87:577－588．

［11］ Banerjee R，Modak S K，Samanta S．Glassy phase transition and stability in black holes［J］．Eur Phys J C，2010，70:317－328．

［12］ Banerjee R，Roychowdhury D．Thermodynamics of phase transition in higher dimensional AdS black holes［J］．JHEP，2011，11:004．

［13］ Banerjee R，Ghosh S，Roychowdhury D．New type of phase transitionin Reissner Nordstrom－AdS black hole and its hermodynamic geometry［J］．Phys Lett B，2011，696:156－162．

［14］ Banerjee R，Modak S K，Roychowdhury D．Thermodynamics of phasetransitions in AdS black holes［J］．JHEP，2012，10:125．

［15］ Kim H C，Cai R G．Slowly rotating charged Gauss－Bonnet black holes in AdS spaces［J］．Phys Rev D，2008，77:024045．

［16］ Cai R G．Gauss－Bonnet black holes in AdS spaces［J］．Phys Rev D，2002，65:084014．

［17］ Wiltshire D L．Black holes in string－generated gravity models［J］．Phys Rev D，1988，38:2445－2456．

［18］ Hu C，Zeng X X，Liu X M．Phase transition and critical phenomenon of AdS black holes in Einstein－Gauss－Bonnet gravity［J］．Sci China－Phys Mech Astron，2013，56(9):1652－1663．