黃衛(wèi)華，周 平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山663000)

粗糙集理論［1］是由波蘭科學(xué)家Z．Pawlak 于1982 年首次提出的．Pawlak 粗糙集的特點(diǎn)是它處理的分類必須是完全正確的或是肯定的，因此它的分類是精確的，即只考慮完全包含與不包含，而沒有某種粗度的包含與屬于;并且它所處理的對象是已知的，所以從模型中得到的結(jié)論僅適合于這些對象．Pawlak 粗糙集模型的這些特點(diǎn)限制了它的廣泛應(yīng)用．為了彌補(bǔ)該缺陷，許多學(xué)者從不同角度推廣了這一模型，如程度粗糙集模型、變精度粗糙集模型等［2－6］、多粒度粗糙集模型［7－8］、不確定性度量與決策分析［9－10］等．

1 預(yù)備知識

定義1［11］設(shè)(U，R)是一個(gè)近似空間，假設(shè)X(X≠?)?U，則:

分別稱為X在近似空間S(U，R)中下近似和上近似，其中［x］R是x所在的R等價(jià)類． 稱集合posr(X)=(X)為X的R正域?yàn)閄的R負(fù)域稱作X的邊界域．

引理1［11］令X，Y是近似空間(U，R)的任意兩個(gè)非空子集，由定義1 給出的下近似(X)和上近似滿足下列(對偶)性質(zhì):

定義2 設(shè)(U，R)是一個(gè)近似空間，假設(shè)X(X≠?)?U，k為非負(fù)整數(shù)，稱為X的程度k上、下近似，即:，或當(dāng))時(shí)稱X依程度k是可定義的，否則稱X依程度k是粗糙的．分別稱為X的程度k R正域、R負(fù)域．分別稱為X的程度k R上邊界域、R下邊界域和R邊界域．

由上述定義可以知道，當(dāng)元素x的R類元素屬于X的個(gè)數(shù)多于k時(shí)，它就屬于X的上近似R－k(X);而當(dāng)元素x的R類元素個(gè)數(shù)最多只有k個(gè)不屬于X時(shí)，它就屬于X的下近似k(X);當(dāng)k=0 時(shí)，近似空間中的粗糙集模型就退化為經(jīng)典粗糙集模型．

引理2［3］

2 主要結(jié)果

程度粗糙集模型是經(jīng)典粗糙集模型的推廣，而經(jīng)典粗糙集模型是程度粗糙集模型k=0 時(shí)的特例．對比兩種模型的性質(zhì)，引理1 中的性質(zhì)(4)～(8)，在程度粗糙集模型中均成立，而性質(zhì)(1)～(3)不成立．下面分別從這三個(gè)方面來研究程度粗糙集的性質(zhì)．

定理1 (i

證明 (i)若LbnRk(X)=?，由定義2 知，則時(shí)，即，所以，從而

(ii)若UbnRk(X)=?，由定義2 知，則當(dāng)時(shí)，即，而，所以，即，從而

反之，假設(shè)UbnRk(X)≠?，即，則，所以，但，此與矛盾，所以，從而

(iii)由結(jié)論(i)、(ii)知下證

若LbnRk(X)=UbnRk(X)=?，由引理2 知:bnRk(X)=UbnRk(X)∪LbnRk(X)=?∪?=?，以上各步等價(jià)，所以LbnRk(X)=UbnRk(X)=??bnRk(X)=?．

證明 (i)，由 定 義2 知:若，則，此與上式矛盾，所以

(ii)若，有定義2 知:，又由結(jié)論(i)知:反之，若，則若［x］R＞k，即，由定義2 知:否則，所以，從而

(iii)(iv)的證明類似結(jié)論(i)(ii)．

由定理2 可知，程度k近似算子同上、同下復(fù)合時(shí)，具有冪等性，而上下相反復(fù)合時(shí)，取程度k上近似算子后集合變小，取程度k下近似算子后集合變?。?/p>

分別稱為集合X和Y的程度kR邊界下外、上內(nèi)、下內(nèi)、上外算子．

本文在近似空間中定義了程度粗糙集和程度邊界下外、上內(nèi)、下內(nèi)、上外算子，研究了程度粗糙集模型的性質(zhì)．在程度粗糙集中，利用程度邊界算子修正了包含關(guān)系為相等關(guān)系的性質(zhì)，并給出了這些結(jié)論嚴(yán)格的證明，拓展了粗糙集理論的研究范圍．

［1］ Pawlak Z．Rough sets［J］．International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11(5):341－356．

［2］ 張賢勇，謝壽才，莫智文．程度粗糙集［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，33(1):12－16．

［3］ Ziarko W．Variable precision rough set modle［J］．J Computer and System Sciences，1993，46:39－59．

［4］ 張賢勇，莫智文．變精度粗糙集［J］．模式識別與人工智能，2004，17(2):151－155．

［5］ Zhang X Y，Mo Z W，Shu L．Product approximation of grade and precision［J］．J E lectron io Sciene and Technology of China，2005，3(3):276－279．

［6］ 申錦標(biāo)，呂躍進(jìn)．變精度與程度粗糙集的一種推廣［J］．計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44(36):45－47．

［7］ 吳志遠(yuǎn)，鐘培華，胡建根．程度多粒度粗糙集［J］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2014，28(3):165－172．

［8］ 顧力平，楊習(xí)貝．基于一般二元關(guān)系的多粒度粗糙集模型［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45(1):124－129．

［9］ 譚旭，毛太田，張少丁，等．基于粒計(jì)算的多屬性群決策分析［J］．四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45(4):140－148．

［10］ 滕書華，魯敏，楊阿鋒，等．基于一般二元關(guān)系的粗糙集加權(quán)不確定性度量［J］．計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2014，37(3):649－665．

［11］ 張文修，吳偉志．粗糙集理論與方法［M］．北京:科學(xué)出版社，2001:55－56．