張鵬鴿+高淑萍+馬建榮

摘要：線性代數(shù)課程特點(diǎn)使得其課堂教學(xué)一直以來都是教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，本文從幾何直觀的角度對課程中行列式和線性相關(guān)性理論進(jìn)行討論，主要是通過幾何直觀的思想引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生理解和掌握這部分內(nèi)容，使得課堂效果得到大幅提高，并提升教師在線性代數(shù)課堂教學(xué)中和學(xué)生的互動(dòng)關(guān)系，激發(fā)學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，更好地落實(shí)素質(zhì)教育在高校中的普及，有助于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；行列式；線性相關(guān)與線性無關(guān)；秩

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）16-0199-02

針對線性代數(shù)課程的特點(diǎn)以及幾大模塊的教學(xué)安排，本文重點(diǎn)介紹幾何直觀在線性代數(shù)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，使得學(xué)生豁然開朗，甚至是醍醐灌頂?shù)母杏X。正如中國當(dāng)代數(shù)學(xué)家徐利治說：“無論是從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究，我是喜歡直觀的。學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我能把定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了?！?/p>

線性代數(shù)是理工、經(jīng)管類等大學(xué)生的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程不可缺少的工具。我校陳懷琛教授早在2008年全國大學(xué)數(shù)學(xué)論壇報(bào)告中指出，線性代數(shù)的教學(xué)對后續(xù)課程的影響非常大，僅機(jī)械和電子專業(yè)在大學(xué)前三年中就有十多門課會(huì)用到線性代數(shù)的知識(shí)，可見提高線性代數(shù)課堂教學(xué)的重要性是不言而喻的。有人說得好：“開設(shè)線性代數(shù)課程的目的，不僅是要教給學(xué)生一些有用的運(yùn)算工具和算法，而且要注意提高學(xué)生在空間想象、抽象思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)表述等方面的能力，幫助學(xué)生構(gòu)建起嶄新的思維方式，為他們的后續(xù)課程及進(jìn)一步深造打好基礎(chǔ)。”

從教多年以來，筆者得知學(xué)生對線性代數(shù)課程的普遍反映就是：抽象，難學(xué)，概念、定理多，證明、推理難，尤其是好多概念來得突然，不知所云。為了解決學(xué)生面臨的這些問題，作者總結(jié)了多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，重點(diǎn)從幾何直觀的角度給出線性代數(shù)課程中兩個(gè)抽象概念的幾何背景，有助于學(xué)生理解和掌握相關(guān)知識(shí)，并提高了線性代數(shù)課堂教學(xué)的效果。下面針對該課程中這兩個(gè)概念做詳細(xì)討論。

一、行列式的幾何意義

線性代數(shù)的主線就是求解線性方程組，矩陣是求解方程組的一大重要工具，而行列式則用來解決一類特殊的方程組，在引入二元一次線性方程組時(shí)，提出了行列式的概念，在此我們給出二階、三階行列式的幾何意義幫助學(xué)生理解掌握n階行列式的意義。

二階行列式：a■ b■a■ b■=a■b■-a■b■則表示以向量α■=（a■，b■），α■=（a■，b■）為鄰邊的平行四邊形的面積。如下圖：

S■=α■α■sin<α■，α■>

其中α■=■，α■=■，

sin<α■，α■>=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=■·■-■·■=■

從而S■=α■α■sin<α■，α■>=a■b■-a■b■=a■ b■a■ b■

三階行列式a■ b■ c■a■ b■ c■a■ b■ c■則表示由行向量或列向量所張成的平行六面體的體積，這一結(jié)論可以從兩個(gè)向量張成的平行四邊形推出。如下圖所示：

由兩個(gè)向量α■、α■張成的平行四邊形Aα■Bα■，面積S為α■、α■構(gòu)成的行列式，沿著第三個(gè)向量α■會(huì)生長出無數(shù)個(gè)平行于原四邊形的新平行四邊形，直到α■的末端。顯然，所有的這些平行四邊形構(gòu)成一個(gè)以向量α■、α■、α■為棱的平行六面體，這些四邊形的面積疊加起來正是平行六面體的體積。于是，行列式的幾何意義可以解釋為：行列式中行或者列向量所構(gòu)成的超平行多面體的有向面積或有向體積。

二、向量組線性相關(guān)性的幾何意義

大家都知道向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生普遍難理解這部分內(nèi)容的意義，比如相關(guān)與無關(guān)、極大線性無關(guān)組、線性空間的基等概念。課堂上通過幾何直觀的思想解釋線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，便于學(xué)生理解。抽象的東西，學(xué)生往往難以理解和掌握，而直觀的幾何圖形往往更容易讓人找到學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)，從而更好地掌握相關(guān)知識(shí)。

向量組中若有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。在二維平面上，如果兩個(gè)向量線性相關(guān)，則這兩個(gè)向量一定在一條直線上，方向相同或相反，反之亦成立。這時(shí)可以給學(xué)生解釋：因?yàn)樵谝粭l直線上的所有向量中兩個(gè)向量都具有倍數(shù)關(guān)系，即β=kα，所有向量都線性相關(guān)，而不在一條直線上的兩個(gè)向量一定線性無關(guān)（反證法易得矛盾）。在三維空間中，若考慮兩個(gè)向量的線性相關(guān)性，則與平面上共線或不共線的情形相同，若考慮三個(gè)或三個(gè)以上的向量組的線性相關(guān)性時(shí)，以三個(gè)向量α、β、γ為例，根據(jù)定義線性相關(guān)是指其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，不妨設(shè)γ=k■α+k■β，當(dāng)α與β共線時(shí)，α、β、γ共線，當(dāng)α與β不共線時(shí)，α與β可以張成一平面，則γ就落在這一平面上，即α、β、γ共面；反之亦成立。顯然，不共面或不共線的三維向量組一定線性無關(guān)。

從幾何意義上講，在一個(gè)向量組里，若有多個(gè)向量在同一條直線上，那么這些向量中只需要一個(gè)非零向量做代表就可以了，直線上其余向量均可由這一個(gè)非零向量表示了，而且這一非零向量選法不唯一；進(jìn)而，如果向量組中是由多個(gè)向量構(gòu)成且位于一個(gè)平面上，那么只要找兩個(gè)非零非共線的向量做代表就可以了，其余向量就可以用這兩個(gè)非零非共線的向量表示了。如果向量組中是由多個(gè)向量構(gòu)成且位于一個(gè)立體空間中，那么只要找三個(gè)非零非共線非共面的向量做代表就可以了，其余向量就可以用這三個(gè)非零非共線非共面的向量表示了。

于是n維向量組就可以通過幾何篩選得到一個(gè)極大線性無關(guān)組。學(xué)生就可以理解極大線性無關(guān)組就是這樣一組向量：從原來一組向量中挑出一部分向量組成一個(gè)新的向量組，這個(gè)新的向量組在某種意義下可以代表原來的向量組，同時(shí)這個(gè)新向量組很純凈，沒有躲在后面濫竽充數(shù)的向量，多余的向量都被剔出去了，向量相互獨(dú)立，誰也不代表，誰也不被代表，這些構(gòu)成的向量組中向量的個(gè)數(shù)就是向量組的秩了。實(shí)質(zhì)上，這樣向量組就原向量組的一極大線性無關(guān)組或是構(gòu)成向量空間的一組基，極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)即為原向量組的秩或者空間的維數(shù)，秩和維數(shù)均為不變量。這樣學(xué)生理解起來就容易多了，而且清楚了極大線性無關(guān)組和秩的意義，接下來講到線性方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)學(xué)生就非常能理解為何要找一組基礎(chǔ)解系來表示全部解。

總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得到：若將線性代數(shù)中抽象概念幾何化，學(xué)生會(huì)很容易掌握，同時(shí)課堂教學(xué)效果也大幅提高，最主要的是教會(huì)了學(xué)生一種借助幾何直觀分析問題、思考問題、解決問題的科學(xué)方法，對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)將大有益處。

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