張海濱 何清波 孔凡讓

1 引言

在傳統(tǒng)的觀念上，噪聲總是被認(rèn)為起破壞作用的。但是近二十年非線性理論和實(shí)驗(yàn)揭示，對(duì)許多非線性系統(tǒng)來說，適當(dāng)?shù)脑肼暩蓴_反而可以幫助系統(tǒng)提高信號(hào)輸出的能力，這類現(xiàn)象即為隨機(jī)共振（Stochastic Resonance, SR），其最初是在文獻(xiàn)[1]中用來解釋過去70萬年地球的冰川期和暖氣候期交替出現(xiàn)的現(xiàn)象。根據(jù)隨機(jī)共振理論，當(dāng)淹沒在強(qiáng)背景噪聲中的微弱信號(hào)通過某種非線性系統(tǒng)時(shí)，在噪聲與信號(hào)的協(xié)同作用下會(huì)發(fā)生噪聲能量向信號(hào)能量轉(zhuǎn)移，使非線性系統(tǒng)的輸出信噪比得到增強(qiáng)[2,3]。由于信號(hào)的輸出信噪比隨噪聲的增大呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，并在某一噪聲強(qiáng)度值時(shí)出現(xiàn)峰值，產(chǎn)生類似力學(xué)中人們熟知的共振輸出現(xiàn)象，故稱為隨機(jī)共振。正是由于隨機(jī)共振能夠提高含噪微弱信號(hào)的輸出信噪比，人們將隨機(jī)共振引入微弱信號(hào)檢測(cè)[36]-、機(jī)械故障診斷[79]-、能量回收[10,11]等領(lǐng)域。

但是不難發(fā)現(xiàn)，在所有的隨機(jī)共振應(yīng)用領(lǐng)域中，用于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的信號(hào)都具有固定周期，即輸入信號(hào)都是由周期信號(hào)和噪聲所構(gòu)成。但是在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到一些非周期性信號(hào)（aperiodic signal），比如線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulated, LFM）信號(hào)、非線性調(diào)頻信號(hào)（NonLinear Frequency Modulated, NLFM）、多普勒（Doppler）信號(hào)等等。這些非周期信號(hào)在無線通信、雷達(dá)、聲信號(hào)處理等領(lǐng)域都廣泛存在，而且這類信號(hào)同樣容易受到噪聲的污染使其不容易被探測(cè)和甄別，特別對(duì)于LFM信號(hào)的檢測(cè)和恢復(fù)也同樣面臨巨大挑戰(zhàn)[12,13]。鑒于隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)探測(cè)的優(yōu)勢(shì)，所以為了能夠利用隨機(jī)共振處理一些非周期信號(hào)，必須將輸入信號(hào)推廣到具有有限帶寬的非周期信號(hào)中去。1995年以來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)非周期隨機(jī)共振作了大量研究[14,15]；國(guó)內(nèi)也有一些研究人員利用傳統(tǒng)的隨機(jī)共振對(duì)周期信號(hào)的放大作用，將其用于線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)和信號(hào)恢復(fù)[16,17]。在利用隨機(jī)共振處理非周期驅(qū)動(dòng)信號(hào)時(shí)，由于非周期信號(hào)不再具有確定的頻率，因此不能再用信噪比來度量，文獻(xiàn)[16]提出了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的分?jǐn)?shù)階信噪比（Fractional Signal-to-Noise Ratio, FrSNR），但是這個(gè)只適用于線性調(diào)頻信號(hào)，他們?cè)谀硞€(gè)確定的方向上仍然具有頻譜能量集中的特點(diǎn)，對(duì)于其他的非周期信號(hào)則不適用，而且，目前對(duì)于非周期隨機(jī)共振的研究模型，由于受到絕熱近似條件的約束，輸入信號(hào)仍然需要滿足小參數(shù)條件，這就限制了模型在一些實(shí)際場(chǎng)合的應(yīng)用。

出于以上幾點(diǎn)考慮，本文采用四階 Runge-Kutta數(shù)值求解的數(shù)值仿真分析，基于雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振模型參數(shù)的歸一化變換[18]，提出了一種變參數(shù)隨機(jī)共振（Variable Parameters SR, VPSR）模型。該模型首先將系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行歸一化變換使其適應(yīng)于高頻輸入信號(hào)；然后以輸出信號(hào)的擬合決定系數(shù)及其和輸入信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，得到時(shí)變信號(hào)的頻率變化參數(shù)，利用該參數(shù)決定VPSR的系統(tǒng)參數(shù)變化規(guī)律；最后尋找系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)初始值，得到隨時(shí)間變化的最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)；將參數(shù)代入模型后獲取系統(tǒng)的輸出信號(hào)，即為有效去噪的時(shí)變信號(hào)的恢復(fù)信號(hào)。本文以線性調(diào)頻信號(hào)為例研究說明了該模型對(duì)時(shí)變信號(hào)檢測(cè)和恢復(fù)的實(shí)用性和有效性，并最終得到理想的輸出信號(hào)，文章最后分析了不同時(shí)變信號(hào)的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響并和傳統(tǒng)的隨機(jī)共振模型輸出做了對(duì)比分析。

2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振及其參數(shù)歸一化變換

在隨機(jī)共振的研究中，受微弱周期力與白噪聲驅(qū)動(dòng)的非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到外力和噪聲驅(qū)動(dòng)時(shí)，在一個(gè)對(duì)稱的雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的模型，其動(dòng)力學(xué)方程可以用經(jīng)典的朗之萬方程來描述[2]：

式中，A為L(zhǎng)FM信號(hào)的幅值，f0為初始頻率，k為調(diào)頻率， f （ t） = f0+ k t則表示 LFM 信號(hào)的瞬時(shí)頻率； n （ t）=2Dξ（t）代表零均值的高斯白噪聲并且滿足 n （ t） n（ t + τ ） = 2 D δ （t ） （D 為噪聲密度）。從式（2）中可以看出，對(duì)稱雙勢(shì)阱的位置位于 xmin=±，勢(shì)壘高度 Δ V = a2/4b 。

為了在實(shí)際大參數(shù)下仍能利用絕熱近似理論得到SR現(xiàn)象，并識(shí)別微弱信號(hào)，文獻(xiàn)[18,19]分別提出了參數(shù)歸一化變換方法和二次采樣隨機(jī)共振來解決這一問題。但是文獻(xiàn)[18]提到當(dāng)混合輸入信號(hào)的信噪比保持不變，對(duì)幅度進(jìn)行縮放時(shí)，運(yùn)用該方法在搜索合適的二次采樣頻率過程中可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值仿真發(fā)散的情況，所以這里采用歸一化變換方法。當(dāng)雙穩(wěn)系統(tǒng)式（2）中的參數(shù)a, b取值不為1時(shí)，引入變換：

將式（3）代入式（2）中可得：

經(jīng)過變換后，式（4）中的噪聲信號(hào)為（）/naτ，而n（t）為白噪聲，頻域上均勻分布，因而（）/naτ仍然為零均值噪聲強(qiáng)度為D的白噪聲，簡(jiǎn)化式（4）可以得到

3 變參數(shù)隨機(jī)共振和輸出指標(biāo)

實(shí)際上SR系統(tǒng)可以被當(dāng)做是一個(gè)選通濾波器，傳統(tǒng)意義上的SR現(xiàn)象出現(xiàn)需要輸入信號(hào)中的微弱信號(hào)周期、系統(tǒng)噪聲強(qiáng)度和模型參數(shù)之間滿足一定的匹配條件，當(dāng)兩勢(shì)阱間躍遷率rk=a/exp（-ΔV/D）的一半與周期信號(hào)頻率相匹配時(shí)，隨機(jī)共振現(xiàn)象就會(huì)出現(xiàn)。但是對(duì)于時(shí)變信號(hào)（非周期），這種匹配關(guān)系隨著時(shí)間變化不可能一直滿足。從文獻(xiàn)[18]中可知，對(duì)于第2節(jié)提到的參數(shù)歸一化變化過程中，參數(shù)a起著決定性作用，變換后的噪聲密度D' = a3D / b，增大為原來的a3/b倍，將ΔV和D'代入躍遷率 rk表達(dá)式可得：

對(duì)于大參數(shù)信號(hào)，為了保證SR現(xiàn)象的出現(xiàn)，參數(shù)a往往會(huì)取很大的值，所以可以近似得到exp（- 1 /（4a D）≈ 1 ?？梢钥闯鼋?jīng)過歸一化變換后的SR系統(tǒng)的克萊姆斯躍遷率與參數(shù)a成正比。據(jù)此，本文提出一種用于檢測(cè)確知時(shí)變信號(hào)的變參數(shù)隨機(jī)共振系統(tǒng)，其參數(shù)a和輸入信號(hào)頻率保持相同的時(shí)變特點(diǎn)，表示為a（t），從另一角度看，此時(shí)變參數(shù)a（t）可以使得經(jīng)過歸一化變換后的信號(hào)對(duì)SR系統(tǒng)來說具有穩(wěn)定的頻率，以此來滿足SR現(xiàn)象發(fā)生的條件，對(duì)于如式（2）所示的系統(tǒng)，輸入信號(hào)為L(zhǎng)FM信號(hào)時(shí)，所提出的模型可以表示為

其中，參數(shù) a （ t） = a0+ a0k t/f0，可以使歸一化變換后的信號(hào)等效頻率為

式中，const表示一固定的常量，所以在式（7）所示的模型下，輸入信號(hào)的等效驅(qū)動(dòng)頻率將保持恒定，可以滿足與躍遷率匹配的條件，保證了SR現(xiàn)象的出現(xiàn)。同時(shí)，為了保證輸出信號(hào)幅值的穩(wěn)定性，必須使平衡位置xmin=保持恒定，取相應(yīng)的參數(shù)b（ t） = b0+ b0k t/f0，同時(shí)將輸入信號(hào)隨時(shí)間變化放倍，求解式（7）得到結(jié)果即為VPSR輸出信號(hào)。

但是另一方面，由于時(shí)變信號(hào)的傅里葉變換頻譜上不會(huì)再出現(xiàn)單頻信號(hào)的能量集中的單一譜峰，傳統(tǒng)的SR系統(tǒng)中所使用的SNR作為衡量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)將不再適用。對(duì)于非周期隨機(jī)共振的研究工作中，多數(shù)研究[13]都使用輸入信號(hào)中的純凈理想信號(hào)s（t）和經(jīng)SR系統(tǒng)后的輸出信號(hào)x（t）之間的時(shí)移最大互相關(guān)系數(shù)來表征，記作sxC ，對(duì)于離散化的信號(hào)，其表達(dá)式為

式中，殘差平方和（Sum of Squares for Error, SSE）表示實(shí)際值與擬合值的誤差平方和，總偏差平方和（Total Sum of Square, SST）表示實(shí)際值和平均值的誤差平方和。xi和x分別表示SR輸出信號(hào)及其平均值，?xi指輸出信號(hào)的擬合結(jié)果。很容易看出 R2≤ 1 恒成立而且其值越大表示原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)越吻合，擬合誤差越小，也即輸出效果越好。

4 LFM信號(hào)的檢測(cè)和恢復(fù)結(jié)果

4.1 預(yù)定參數(shù)下的輸出

首先，本文根據(jù)前面模型提出和理論分析過程中所提到的LFM信號(hào)模型，利用Matlab數(shù)學(xué)工具進(jìn)行線性調(diào)頻信號(hào)的數(shù)值仿真分析，并通過本文所提出的變參數(shù)隨機(jī)共振系統(tǒng)來進(jìn)行信號(hào)的參數(shù)估計(jì)和去噪恢復(fù)。根據(jù)信號(hào)的理論公式 s（ t） = A c os（2π （f0t+k t2/2）+ φ ），建立一個(gè)仿真信號(hào)s（t），該LFM信號(hào)滿足：線調(diào)頻率k=5 kHz/s，初始頻率f0=1 kHz，初始相位 φ =-π / 2和信號(hào)幅值A(chǔ)=1，設(shè)定采樣頻率= 2 × 1 05Hz ，采樣時(shí)間T=0.15 s，得到理想信號(hào)如圖1（a）中的圓點(diǎn)虛線所示。利用Matlab的awgn函數(shù)向該信號(hào)中加入-5 dB的噪聲，可以獲得最終的混合輸入信號(hào)如圖1（a）的實(shí)線條所示，其左圖和右圖分～別為混合信號(hào)和理想LFM信號(hào)0～0.020 s和0.140 0.150 s時(shí)間段的放大細(xì)節(jié)視圖。

圖1 LFM仿真信號(hào)以及傳統(tǒng)SR和VPSR的輸出信號(hào)波形

本文分別利用預(yù)定參數(shù)的傳統(tǒng)SR系統(tǒng)和所提出的VPSR系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理。對(duì)于傳統(tǒng)的SR模型，設(shè)定參數(shù)a=b=10000，同時(shí)將輸入信號(hào)放大= 1 0000倍，代入式（2）中，進(jìn)行數(shù)值求解后，得到的輸出信號(hào)如圖1（b）實(shí)線所表示波形。使用Matlab的lsqcurvefit函數(shù)對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行曲線擬合，圖1（b）中圓點(diǎn)虛線為擬合信號(hào)，且求得輸出信號(hào)與原信號(hào)相關(guān)系數(shù) Csx1= 0 .8193，擬合決定系數(shù)= 0 .5617。然后再利用所提出的VPSR模型，設(shè)定參數(shù)k=5 kHz/s, f0=1 kHz, a（ t） = b （ t） = a0+ a0kt/f0（a0= 1 0000），同時(shí)將輸入信號(hào)幅值隨時(shí)間放大10000倍，代入式（7）可以得到系統(tǒng)的輸出信號(hào)如圖1（c）實(shí)線所描繪。進(jìn)行擬合后，圖1（c）中圓點(diǎn)虛線表示波形為擬合信號(hào)，同時(shí)求得輸出信號(hào)與原信號(hào)相關(guān)系數(shù) Csx2= 0 .9229，擬合決定系數(shù)= 0 .8243。與傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出結(jié)果相比，可以看出，輸出信號(hào)的低頻段二者波形相差不大，都較為理想；但是到高頻段（圖1（b）和圖1（c）右圖），所提出的VPSR模型輸出波形更平整接近實(shí)際信號(hào)，而且可以從相關(guān)系數(shù)和擬合決定系數(shù)看出新模型的兩個(gè)參數(shù)也得到了明顯的提高。

4.2 最優(yōu)參數(shù)條件下的輸出

首先作為對(duì)比分析，本文利用最優(yōu)參數(shù)下傳統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài) SR模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理。以系統(tǒng)輸出信號(hào)的擬合決定系數(shù)R2為參考指標(biāo)，計(jì)算在不同系統(tǒng)參數(shù)a（b=a）條件下的輸出信號(hào)決定系數(shù)，得到的2

R a- 變化曲線。同樣利用4.1節(jié)中仿真的信號(hào)，可以得到如圖2（a）所示的曲線，從結(jié)果中可以看出，當(dāng)取 a=23000時(shí)，系統(tǒng)輸出參數(shù)20.8357 R= 達(dá)到最大，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。將參數(shù)和放大23000倍的輸入信號(hào)代入式（2），得到輸入信號(hào)的最有輸出結(jié)果如圖 2（b）中的實(shí)線所示，圓點(diǎn)虛線為對(duì)輸出信號(hào)按照線性調(diào)頻信號(hào)的擬合結(jié)果。

之后，利用VPSR模型對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理。根據(jù)前面的描述，該模型（式（9））的參數(shù)有 a0=b0, f0和 k。所以需要對(duì)這 4個(gè)參數(shù)分別進(jìn)行搜索，求得最優(yōu)值，然后代入系統(tǒng)。為了讓搜索過程可視化，本文給出了如圖3所示的幾個(gè)搜索結(jié)果。第1步，固定a0=b0=10000，然后對(duì)參數(shù)f0, k進(jìn)行全局搜索，在搜索過程中，對(duì)每組參數(shù)?對(duì)應(yīng)的輸出結(jié)果x（t）使 用 s '（t） = A 'c os（2π+/2）+ φ '） 進(jìn) 行數(shù)據(jù)擬合，并將計(jì)算的擬合決定系數(shù) R2）作為輸出指標(biāo)，可以得到系統(tǒng)參數(shù) f0, k的最優(yōu)組合 f0=1 kHz, k=5 kHz/s。圖 3（a）中，固定 f0=1 kHz，同時(shí)將k以0.1 kHz/s的增幅從3 kHz/s增加到7 kHz/s，得到輸出參數(shù)R2隨參數(shù)k的變化規(guī)律；同樣取k=5 kHz/s，將f0以10 Hz的增幅從0.8 kHz增加到1.2 kHz，得到R2隨參數(shù)f0的變化規(guī)律如圖3（b）所示。從兩幅圖中明顯可以看出，在f0=1 kHz, k=5 kHz/s時(shí)，R2達(dá)到一個(gè)峰值0.8243，所以得到這兩個(gè)參數(shù)的最優(yōu)組合，同時(shí)也對(duì)應(yīng)著輸入信號(hào)的初始參數(shù)。

第2步，在獲得了輸入信號(hào)的參數(shù)之后，固定這兩個(gè)值，同時(shí)改變系統(tǒng)參數(shù) a0（b0=a0）。將 a0從5000開始以1000的間隔增加到50000，得到輸出參數(shù) R2隨 a0的變化關(guān)系如圖 3（c）所示，從結(jié)果中得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)值 b0=a0=14000，此時(shí)輸出擬合決定系數(shù)R2=0.8721，相比于圖1和圖2中的結(jié)果都有了進(jìn)一步的提升。將最優(yōu)參數(shù)組合代入式（7），得到最優(yōu)輸出如圖4所示?？梢钥闯鲚敵鲂盘?hào)中，原始信號(hào)中的噪聲經(jīng)過VPSR之后能量得到了有效轉(zhuǎn)移，輸出信號(hào)與理想的擬合結(jié)果已經(jīng)十分吻合。

本文將前面分析的結(jié)果綜合到表1中，其中包括最優(yōu)條件和非最優(yōu)條件下傳統(tǒng)隨機(jī)共振以及VPSR系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)和輸出結(jié)果，從表中可以看出所提出的系統(tǒng)對(duì) LFM 信號(hào)具有更好的去噪和恢復(fù)效果，而且模型可以有效檢測(cè)出信號(hào)的固有參數(shù)，更好地用于后期信號(hào)的恢復(fù)工作。

5 模型輸出的性能分析

前面幾節(jié)以 LFM 信號(hào)為例詳細(xì)介紹了對(duì)噪聲背景下時(shí)變信號(hào)，利用本文所提出的模型進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)和恢復(fù)的過程。為了說明VPSR模型用于時(shí)變信號(hào)恢復(fù)的效果和優(yōu)勢(shì)，本文進(jìn)一步研究分析了系統(tǒng)在不同輸入信號(hào)條件下的輸出結(jié)果，通過對(duì)比分析，具體揭示了輸入信號(hào)參數(shù)的不同對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。

圖2 不同參數(shù)條件下傳統(tǒng)SR模型的輸出結(jié)果及最優(yōu)條件下的系統(tǒng)輸出

圖3 VPSR模型下不同參數(shù)變化對(duì)輸出結(jié)果的影響

圖4 最優(yōu)參數(shù)條件下VPSR模型的輸出波形及其細(xì)節(jié)視圖

表1 不同參數(shù)下兩種模型的輸出比較

5.1 調(diào)頻率k的影響

首先，固定初始頻率f0=1 kHz，輸入信噪比SNR=-5 dB，保持采樣頻率和前面的仿真信號(hào)一樣 fs=200 kHz，初始相位 φ =-π / 2和信號(hào)幅值A(chǔ)=1，采樣時(shí)間T=0.15 s，同時(shí)，將k以200 Hz/s的間隔從4 kHz/s增加到20 kHz/s。對(duì)于每個(gè)k值，獲取最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)并得到輸出信號(hào)的決定系數(shù)R2和相關(guān)系數(shù)Csx，結(jié)果如圖 5 所示，圖 5（a）和圖 5（b）分別表示輸出信號(hào)的決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)，圖中三角點(diǎn)表示VPSR模型中不同 k值對(duì)應(yīng)的輸出結(jié)果，圓點(diǎn)表示傳統(tǒng)SR模型的輸出結(jié)果，星點(diǎn)表示原始信號(hào)的相關(guān)參數(shù)。

圖5 線調(diào)頻率對(duì)不同模型輸出結(jié)果的影響

圖 5（a）和圖 5（b）中，不同模型下輸出參數(shù)都隨著 k的增加而降低，但是本文所提出的模型輸出參數(shù)下降的速率比傳統(tǒng)的SR模型要低得多，其降低的趨勢(shì)并不明顯，而傳統(tǒng)的SR模型的輸出參數(shù)下降迅速，這就說明k值越大，本文所提出的VPSR模型優(yōu)勢(shì)越明顯。

5.2 初始頻率f0的影響

選取調(diào)頻率k=10 kHz/s，將初始頻率f0從0.5 kHz到2.5 kHz之間每隔50 Hz取一個(gè)點(diǎn)，信號(hào)其他參數(shù)保持和5.1節(jié)一致。同樣，對(duì)每一個(gè)f0，搜索最優(yōu)的系統(tǒng)參數(shù)并得到輸出信號(hào)的決定系數(shù)R2和相關(guān)系數(shù)Csx。圖6為不同的初始頻率對(duì)應(yīng)的輸出參數(shù)，可以看出，兩種模型的輸出信號(hào)和輸入信號(hào)相比都能有效地提高輸出參數(shù)，抑制噪聲，恢復(fù)原始信號(hào)。但是還可以發(fā)現(xiàn)，在初始頻率較大時(shí)，VPSR和傳統(tǒng)的 SR模型相比優(yōu)勢(shì)并不明顯，輸出參數(shù)相差無幾，但是在初始頻率較小時(shí)，兩種模型輸出結(jié)果相差很明顯，而且初始頻率越小，VPSR的輸出參數(shù)出現(xiàn)上升的趨勢(shì)，但是傳統(tǒng)SR卻逐漸下降，VPSR模型的優(yōu)勢(shì)也越來越明顯。

圖6 初始頻率對(duì)不同模型輸出結(jié)果的影響

通過上面研究表明，本文所提出的VPSR模型能夠在LFM信號(hào)（時(shí)變信號(hào)）的去噪處理中有著更好的效果并且提供更為理想的恢復(fù)信號(hào)，特別是在低初始頻率、高調(diào)頻率（對(duì)應(yīng)其他時(shí)變信號(hào)的頻率變化率）的輸入信號(hào)時(shí)，該模型更有效，對(duì)于頻率帶寬較寬的信號(hào)具有更強(qiáng)的適應(yīng)性。

6 結(jié)束語

論文針對(duì)已知時(shí)變特性的時(shí)變信號(hào)（以 LFM 信號(hào)為例），提出了一種基于變參數(shù)的隨機(jī)共振系統(tǒng)（VPSR），用于檢測(cè)時(shí)變信號(hào)固有參數(shù)和恢復(fù)強(qiáng)噪聲背景下的信號(hào)。該模型通過以輸出信號(hào)的決定系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，通過搜索估計(jì)輸入信號(hào)的固有參數(shù)（k和f0），確定固有參數(shù)后，再利用相同的指標(biāo)搜索決定模型的最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)，最后通過兩組參數(shù)得到輸入信號(hào)的最優(yōu)輸出結(jié)果，即為本文所需要的去噪后的理想信號(hào)。通過仿真分析，可以看出所提出的模型能夠獲取更滿意的輸出結(jié)果，同時(shí)也具有諸多的優(yōu)勢(shì)。（1）該模型結(jié)合了參數(shù)歸一化方法，有效解決了隨機(jī)共振系統(tǒng)中由于絕熱近似條件所帶來的小參數(shù)限制；（2）本文提出的模型通過引入時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)（a（t）和 b（t）），能夠一樣很好地處理時(shí)變信號(hào)，這為對(duì)處理一些其他的像多普勒信號(hào)等非線性時(shí)變信號(hào)提供了新的方向和思路；（3）仿真結(jié)果顯示，該方法在處理一些頻率變化率較大、初始頻率較小的時(shí)變信號(hào)時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯，也就是對(duì)于一些頻率隨時(shí)間變化較快、頻率范圍較寬的信號(hào)，利用傳統(tǒng)的SR系統(tǒng)就無法有效恢復(fù)出理想信號(hào)，這時(shí)本文所提出的模型仍然具有更好的適應(yīng)性和有效性。

所以，VPSR能夠在時(shí)變信號(hào)的檢測(cè)和恢復(fù)中有著很好的表現(xiàn)，具有一定的指導(dǎo)意義和實(shí)用價(jià)值。但是盡管具有很多優(yōu)點(diǎn)，但是目前該系統(tǒng)需要知道待處理信號(hào)的頻率變化規(guī)律，下一步的工作也將集中在處理一些未知規(guī)律的時(shí)變信號(hào)處理，發(fā)展自適應(yīng)地時(shí)變隨機(jī)共振系統(tǒng)，并且將模型有效利用到實(shí)際信號(hào)和工程應(yīng)用中。

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