汪金真 宿紹瑩 陳曾平

1 引言

在ISAR成像中，尤其在高分辨成像中，正確估計出目標(biāo)回波線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulated, LFM）信號的多普勒調(diào)頻斜率后對成像結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償，可以有效提高成像質(zhì)量。最大似然法[1]基于2維搜索具有最優(yōu)的性能，但是運(yùn)算量大。為了克服這個問題。文獻(xiàn)[2]提出基于相位域的調(diào)頻斜率估計算法，簡化了運(yùn)算。文獻(xiàn)[3]采用相位線性擬合的方法大大提高了計算效率。文獻(xiàn)[4]提出了短時傅里葉變換調(diào)頻直線線性擬合的方法，較精確地估計出LFM信號的調(diào)頻斜率；但是它們都只能用于單分量LFM信號的場合。在多分量LFM信號應(yīng)用場合，Wigner-Ville分布[5]對各分量LFM信號具有最佳的時頻聚集性，但存在交叉項(xiàng)的影響，通過Hough變換[6,7]可以一定程度上抑制交叉項(xiàng)。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform, FrFT）[8]和離散chirp傅里葉變換[9]都是比較有效的方法，但它們都需要 2維搜索。離散多項(xiàng)式變換[10,11]計算量小，但要求較高的信噪比。文獻(xiàn)[12,13]提出時間-調(diào)頻斜率分布（Time Chirp Distribution, TCD）的定義并作了改進(jìn)，文獻(xiàn)[14,15]將TCD應(yīng)用在多分量線性調(diào)頻信號的檢測與參數(shù)估計當(dāng)中并提出了多分量線性調(diào)頻信號交叉項(xiàng)的抑制方法。文獻(xiàn)[16]改進(jìn)了三次相位函數(shù)計算方法，較快實(shí)現(xiàn)了多分量LFM信號參數(shù)估計，但它們都是直接針對線性調(diào)頻信號進(jìn)行研究的，對目標(biāo)回波線性調(diào)頻信號則研究甚少。

本文建立了單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波模型并分析其瞬時相位特點(diǎn)，提出了基于 TCD的多普勒調(diào)頻斜率估計算法。針對多散射點(diǎn)目標(biāo)回波的TCD的自項(xiàng)和交叉項(xiàng)均在多普勒調(diào)頻斜率處取得極值的特點(diǎn)，采用垂直調(diào)頻斜率軸投影積分有效抑制非多普勒調(diào)頻斜率交叉項(xiàng)和噪聲，增強(qiáng)多普勒調(diào)頻斜率項(xiàng)，通過二次搜索投影積分的最大值位置估計多普勒調(diào)頻斜率，減少了計算耗時。仿真表明，該方法具有很好的單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波多普勒調(diào)頻斜率估計性能。

2 目標(biāo)回波模型

在高斯白噪聲環(huán)境下目標(biāo)回波模型可表示為

式中，t是時間；P是散射點(diǎn)數(shù)； { sm（t） }1是與目標(biāo) P個散射點(diǎn)相對應(yīng)的回波線性調(diào)頻信號；w（t）是與信號無關(guān)的均值為0、方差為 δ2的高斯白噪聲。

距離雷達(dá)為Rm的散射點(diǎn)回波LFM信號經(jīng)距離壓縮后的信號為

式中，A為幅度；fi為起始頻率；Tp為脈寬；k為調(diào)頻率；c為電磁波傳播速度；散射系數(shù)為σm; λ為波長。對于單散射點(diǎn)回波，記瞬時相位為 θm（t），

從式（3）可以看出，瞬時相位 θm（t）是時間t的二次函數(shù)，對 θm（t）進(jìn)行多項(xiàng)式擬合可以估計出多普勒調(diào)頻斜率k。對于多散射點(diǎn)目標(biāo)回波 ∑ sm（t ），雖然各分量相位的二次項(xiàng)系數(shù)均為 k的π倍，但回波相位是各分量的合成相位，不等于各分量相位的線性疊加，因此，必須采用新方法估計多普勒調(diào)頻斜率k。

3 時間-調(diào)頻斜率（TCD）分布

3.1 TCD分布及自項(xiàng)分析

類似WVD定義，信號x（t）的TCD分布定義[12]為

考慮距離雷達(dá) R、散射系數(shù)為σ的單散射點(diǎn)的回波 LFM 信號 x（t），將 x（t）代入式（4），可得

從式（5）可以看出，對于任意時刻t，當(dāng)u=k, T C （ t, u）均具有極大值，并且以極值點(diǎn)為中心沿著調(diào)頻斜率軸急劇下降，而加性高斯白噪聲不具有這種特性。

圖 1（a）是單散射點(diǎn)目標(biāo)模型，圖 1（b）是該單散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的TCD，采樣點(diǎn)數(shù)2501，采樣頻率為 10 MHz，調(diào)頻斜率為 - 1.6 × 10-4MHz/μs，信噪比為1 dB。從圖1（b）可以看出，單散射點(diǎn)回波LFM信號的TCD在時間-調(diào)頻斜率平面投影為一條垂直于調(diào)頻斜率軸的直線，任意時刻的極大值位置均落在該直線上。

3.2 交叉項(xiàng)分析

考慮多散射點(diǎn)目標(biāo)上任意兩個散射點(diǎn)的回波LFM 信號 sm1（t）, sm2（t）, sm1（t）與 sm2（t）之間的 TCD的交叉項(xiàng)為

將式（2）代入式（6），計算可得

圖1 單散射點(diǎn)目標(biāo)模型及回波LFM信號的TCD

由式（7）可以看出，任意時刻 t，當(dāng) u=k 時，sm1（t）與sm2（t）之間的TCD的交叉項(xiàng)絕對值TCm1,m2（t, u）將取得極大值。式（7）取絕對值可得

記多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的TCD交叉項(xiàng)為 T Ccross（t, u），有

將式（7）代入式（9）中，可得

由式（10）可知，在任意時刻 t，多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的 TCD交叉項(xiàng)TCcross（t, u）也將在u=k處取得極大值。

3.3 多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的TCD

綜合3.1節(jié)和3.2節(jié)的分析，可以得到多散射點(diǎn)目標(biāo)回波 LFM 信號 x（t）的 TCD，記為 TCx（t,u） ，如式（11）所示。式中，噪聲w（t）的TCD 自項(xiàng)以及噪聲 w（t）與各散射點(diǎn)回波 LFM 信號sm（t）的交叉項(xiàng)一起記為（,）t uξ。從式（11）可以看出，對于無噪的多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號，其TCD分布將沒有與噪聲有關(guān)的最后一項(xiàng)，任意時刻t, T Cx（t, u）將在u = k 處取得峰值；對于含噪情況，噪聲項(xiàng) ξ（t, u）出現(xiàn)，會使得x（t）的TCD噪底增強(qiáng)，峰值相對不再尖銳，此外，還有可能出現(xiàn)一些虛假偽峰。

圖 2（a）是多散射點(diǎn)飛機(jī)目標(biāo)模型，圖 2（b）是該多散射點(diǎn)目標(biāo)回波的TCD，采樣頻率為10 MHz，采樣點(diǎn)數(shù) 2501，調(diào)頻斜率為 - 1 .6× 1 0-4MHz/μs，信噪比為5 dB。從圖2（b）可以看出，在多散射點(diǎn)目標(biāo)模型下，交叉項(xiàng)TCcross（t, u）在LFM信號調(diào)頻斜率值處取得極大值，該極大值位置與自項(xiàng)極大值位置大致重疊在一起，TCD在時間-調(diào)頻斜率平面投影仍然為一條近似垂直于調(diào)頻斜率軸的直線，受噪聲和交叉項(xiàng)的影響，該直線不是很緊湊，極值點(diǎn)不是嚴(yán)格地分布在該直線上，而是分布在該直線具有一定鄰域的條帶內(nèi)，該直線上各點(diǎn)的分布強(qiáng)度顯然不如圖 1（b）中單散射點(diǎn)情況的分布強(qiáng)度均勻，但從統(tǒng)計學(xué)上，該直線條帶的中心線為 k =-1.6 × 10-4MHz/μs，任意時刻的極值點(diǎn)對應(yīng)的調(diào)頻斜率都將趨近 1 .6×10-4MHz/μs。

4 多普勒調(diào)頻斜率估計

4.1 參數(shù)估計

記 x（t）的 TCD 分布為離散形式為 TCx（n,u），定義垂直調(diào)頻斜率軸投影積分累積量（）uΛ

由于多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的TCD的交叉項(xiàng)和自項(xiàng)均在u=K處取得極值，且以極值點(diǎn)為中心沿著調(diào)頻斜率軸急劇下降，通過式（12）可以很好累積多普勒調(diào)頻斜率處的自項(xiàng)和交叉項(xiàng)，即增強(qiáng)多普勒調(diào)頻斜率項(xiàng)，同時抑制非多普勒調(diào)頻斜率處的交叉項(xiàng)和噪聲。 Λ（u）相當(dāng)于TCx（n, u ） 對整個時間軸進(jìn)行積分，可看作 T Cx（n, u ） 在零度角上的離散Radon變換[17]，由于只在一個角度上進(jìn)行Radon變換，因而運(yùn)算量小。

圖2 多散射點(diǎn)目標(biāo)模型及回波LFM信號的TCD

圖3 給出了單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波TCD在垂直調(diào)頻斜率軸上進(jìn)行投影積分的情況，單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波TCD分別如圖1（b），圖2（b）所示。從圖3中可以看出，經(jīng)過垂直調(diào)頻斜率軸投影積分累積后，多普勒調(diào)頻斜率項(xiàng)得到了有效增強(qiáng)，非多普勒調(diào)頻斜率項(xiàng)得到了有效抑制，因此，可通過搜索（）uΛ最大值位置估計出多普勒調(diào)頻斜率。為了較少計算耗時，本文采用一次粗搜索方法獲取積分累積量（）uΛ最大值粗略位置基礎(chǔ)上進(jìn)行二次精搜索的方法來精確估計多普勒調(diào)頻斜率，具體方法為：

（1）根據(jù)式（11）計算 x（t）的 TCD 分布 TCx（t, u），其離散形式記為 TCx（n,u）；

（2）根據(jù)式（12）計算 TCx（n,u）的垂直調(diào)頻斜率軸投影積分，得到（）uΛ；

（3）設(shè)置 u的初級搜索步長 Nstep1，在u的離散取值范圍 - 1 / N + Nstep1, 1/N - Nstep1內(nèi)搜索 Λ（u）的最大值以及相鄰的次最大值、次次最大值的位置M1, M2, M3；

（4）取M2, M3中較小值賦給 Mmin，較大值賦給Mmax，設(shè)置 u的精細(xì)步長 Nstep2, u =Mmin, Mmin+Nstep2, Mmin+ 2 Nstep2, … ,Mmax，重新計算 TCx（n,u），重復(fù)步驟（2），在u的離散取值范圍[Mmin, Mmax]內(nèi)搜索Λ（u）的最大值的精細(xì)位置M︿；

（5）根據(jù)數(shù)字多普勒調(diào)頻斜率公式 K = k Ts2，得到多散射點(diǎn)目標(biāo)回波 LFM 信號多普勒調(diào)頻斜率精估計值?k 為

4.2 計算量分析

表1，表2分別分析了N為奇數(shù)和偶數(shù)情況下計算TCD的所需的復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法量，Λ（u）計算所需的復(fù)數(shù)加法量以及 Λ （ u ）最大值搜索總次數(shù)，最大值搜索次數(shù)包括第1次搜索次數(shù)和第2次搜索次數(shù)，均與Nstep1, Nstep2有關(guān)。

表1 TCD計算量分析（N為奇數(shù)）

表2 DCD計算量分析（N為偶數(shù)）

其中復(fù)數(shù)乘法最耗時，記復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為N*，在N一定的情況下，N為奇數(shù)時，

圖3 單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波TCD在垂直調(diào)頻斜率軸上的投影積分

N為偶數(shù)時，

當(dāng) 且 僅 當(dāng) 1 /（N Nstep1） = （ Mmax- Mmin） /Nstep2， 即Nstep2=NNstep1（ Mmax- Mmin） 時，式（21）和式（22）取得最小值，此時 N*min= 2 （N + 1 ）（N - 1）/（N Nstep1）或 N*min= 2 （N + 2 ）/Nstep1。取 Nstep1=1/（100N ） ，則Nstep2= （ Mmax- Mmin）/100, N*min= 2 00（N + 1）?（N-1）或N*min= 2 00（N + 2 ）N。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，對不同模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。單散射點(diǎn)目標(biāo)模型和多散射點(diǎn)目標(biāo)模型分別如圖 1（a），圖 2（a）所示，回波 LFM 信號采樣點(diǎn)數(shù) N=2501，采樣頻率 fs=10 MHz，調(diào)頻斜率均為 k =-1 .6× 1 0-4MHz/μs 。

圖4給出了單散射點(diǎn)情況下的多普勒調(diào)頻斜率估計性能曲線，并與二次相位擬合法（Quadratic Phase Fitting, QPF）、平滑二次相位擬合法（Smoothed Quadratic Phase Fitting, SQPF）, FrFT法進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)中TCD法中 Nstep1=1/（100N ）,Nstep2= （ Mmax- Mmin）/100，平滑二次相位擬合法的平滑窗選用點(diǎn)數(shù)為11的中值濾波器。從圖中可以看出，QPF在較高的信噪比下具有較好的性能，當(dāng)SNR≥11 dB時，QPF的性能優(yōu)于FrFT；但當(dāng)SNR減小時，二次相位關(guān)系變差，QPF的性能急劇惡化，明顯次于FrFT。SQPF在一定信噪比范圍內(nèi)能夠改善二次相位關(guān)系，SNR≥9 dB時，SQPF的性能優(yōu)于FrFT，當(dāng)SNR降低時，對相位的平滑也無濟(jì)于改善二次相位關(guān)系，SQPF失效。FrFT具有較穩(wěn)定的性能，RMSE與SNR近似成線性 dB關(guān)系。當(dāng)SNR ≥ -8 dB 時，本文 TCD法的性能明顯優(yōu)于QPF, SQPF, FrFT，而且當(dāng)SNR ≥ -5 dB ，均方根誤差保持在一個很低的穩(wěn)定水平。

圖4 單散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號多普勒調(diào)頻斜率估計性能

圖5 給出了多散射點(diǎn)情況下的多普勒調(diào)頻斜率估計性能曲線，并與 FrFT法進(jìn)行了比較。從圖中可以看出，SNR在-7～0 dB范圍內(nèi)時，本文TCD法的性能優(yōu)于FrFT法的性能；當(dāng)SNR≥1 dB時，本文TCD法的性能趨于穩(wěn)定。在-7～15 dB范圍內(nèi)，本文算法較 FrFT法具有更好的抗噪性能，這主要是因?yàn)槎嗌⑸潼c(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的TCD分布在調(diào)頻斜率處進(jìn)行時間上的累積可以有效抑制噪聲和非多普勒調(diào)頻斜率處的交叉項(xiàng)，而多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號的FrFT峰值受噪聲影響很大。

6 結(jié)束語

本文針對單散射點(diǎn)和多散射點(diǎn)目標(biāo)回波相位自身的特點(diǎn)，提出了基于 TCD的多普勒調(diào)頻斜率估計算法，采用垂直調(diào)頻斜率軸投影積分可以有效抑制 TCD的非多普勒調(diào)頻斜率交叉項(xiàng)及噪聲、增強(qiáng)多普勒調(diào)頻斜率項(xiàng)，計算量分析表明，通過改變數(shù)字調(diào)頻斜率的步長，可以調(diào)節(jié)總計算量，使得復(fù)數(shù)乘法次數(shù)在一定條件下達(dá)到最小。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性，單散射點(diǎn)情況下，SNR 3 dB≥-時，該算法的性能優(yōu)于FrFT, QPF, SQPF；多散射點(diǎn)情況下，該算法的整體抗噪性能優(yōu)于FrFT。雖然TCD計算量較大，然而，隨著計算機(jī)的發(fā)展，其處理能力提升，該問題非常容易得到解決，因此，本文算法具有較好的工程指導(dǎo)意義。

圖5 多散射點(diǎn)目標(biāo)回波LFM信號多普勒調(diào)頻斜率估計性能

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