葉新榮 朱衛(wèi)平 張愛清② 孟慶民

1 引言

壓縮感知技術(shù)[1,2]能依據(jù)觀測信號 y ∈?M及線性模型 y = Φ x+n高概率地重構(gòu)出稀疏信號x∈?N。這里的Φ ∈ ?M×N表示觀測矩陣，且通常M?N，即高維信號x經(jīng)過線性觀測被降維（壓縮）成y; n表示噪聲。該技術(shù)將傳統(tǒng)信號處理過程中的采樣和壓縮合并成一步實現(xiàn)，有利于提高系統(tǒng)的效率，因而壓縮感知理論及其應(yīng)用是近年來學(xué)術(shù)界的熱點課題[3,4]。信號的稀疏表示、重構(gòu)算法及觀測矩陣的設(shè)計是壓縮感知技術(shù)的3個主要組成部分。近年來國內(nèi)外的學(xué)者已提出了很多優(yōu)秀的重構(gòu)算法，且總體上可分為3類。其一是貪婪追蹤類算法，正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit,OMP[5]）是此類算法的典型代表。其基本思想是先通過觀測矩陣Φ中與殘差信號相關(guān)度最大的列向量估計出x非零元素的位置，接著通過最小二乘準(zhǔn)則計算出非零元素的值，然后更新殘差信號，并繼續(xù)迭代以上過程，直到殘差信號能量小于閾值為止。凸松弛方法[6]是第2類有效的重構(gòu)算法，其用一個凸函數(shù)（?1范數(shù)）代替目標(biāo)函數(shù)里的?0范數(shù)，然后通過最優(yōu)化的方法求解該凸函數(shù)的極值問題。由于x的?0范數(shù)不可微分，因而常用求極值的方法不能直接用于求解含?0范數(shù)的信號重構(gòu)問題。針對?0范數(shù)不可微分問題，文獻[7]設(shè)計了一個近似?0范數(shù)的連續(xù)可微函數(shù)。文獻[7]和文獻[8]將該類方法稱為光滑近似?0范數(shù)法（Smoothed ?0-norm, S?0）。S?0算法不必將信號稀疏度及噪聲方差作為輸入?yún)?shù)，并具有運行速度快的優(yōu)點，但其抗噪能力不強，且運用一個常數(shù)值作為最速下降方向的步長因子，而在實際應(yīng)用場景里很難合理地設(shè)置該常數(shù)值。因此，本文在 S ?0目標(biāo)函數(shù)里添加了一個誤差容允項，以此來提高算法的抗干擾能力，且采用共軛梯度法代替最速下降法求解建立的目標(biāo)優(yōu)化問題，避免了需要設(shè)置步長因子的限制，并將該算法稱為 S ?0正則化的最 小 二 乘 法 （Smoothed ?0-norm regularized least-square, ?2-S?0）。

壓縮感知技術(shù)能憑借少量的觀測信號高概率地重構(gòu)出原始信號，因此相對于傳統(tǒng)信道估計方法而言，運用壓縮感知技術(shù)的信道估計方法能有效地減少導(dǎo)頻符號數(shù)，從而提高了系統(tǒng)的頻譜利用率。文獻[9]較為全面地研究了由不同衰落信道及不同系統(tǒng)模型組合成的多種場景里的壓縮信道估計問題，但缺少研究 OFDM 系統(tǒng)時變信道這種情形。針對OFDM 系統(tǒng)壓縮信道感知方法的最優(yōu)導(dǎo)頻設(shè)計問題，文獻[10]提出了一種迭代搜索局部最優(yōu)的導(dǎo)頻子載波方法，并將該方法推廣到MIMO-OFDM系統(tǒng)[11]，但討論的均是頻率選擇性非時變衰落信道。文獻[12]聯(lián)合離散傅里葉變換基和離散橢球序列（Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS） 來稀疏表示OFDM系統(tǒng)時變信道，并提出一種迭代優(yōu)化該基的算法。文獻[13]針對MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道矩陣從頻-時域變換到時延-多普勒域過程存在譜泄漏問題，提出了一種增強信道稀疏表示的時域加窗方法。與文獻[12,13]的信道稀疏表示思想不同，文獻[14]通過對時頻2維有界區(qū)域進行量化，并將多徑信道每條路徑的時延和多普勒參數(shù)對用一個量化點來近似，由于信道的多徑數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于量化點的個數(shù)，從而實現(xiàn)了無線信道的稀疏表示。另外在此基礎(chǔ)上，文獻[14,15]分別研究了單載波單天線和多天線系統(tǒng)壓縮信道感知方法的最佳導(dǎo)頻信號設(shè)計問題，但并未涉及OFDM系統(tǒng)。本文借鑒文獻[14]的信道稀疏表示思想，將OFDM系統(tǒng)慢時變信道估計問題建模為壓縮感知框架里的信號重構(gòu)問題，并運用?2- S?0算法重構(gòu)信道的參數(shù)，另外通過仿真實驗檢驗了該信道估計方法的可行性。

2 ?2 - S ?0重構(gòu)算法

壓縮感知框架里的信號重構(gòu)問題可表示為

為了提高S?0算法的抗噪聲能力，?2-S?0算法借鑒?2-?1類型[16]重構(gòu)方法的思想，在S?0目標(biāo)函數(shù)里加入一個誤差容許項（或稱數(shù)據(jù)匹配項）|| Φ x-y|，并采用一正則化參數(shù)λ＞0來平衡數(shù)據(jù)匹配項和稀疏引入項，從而構(gòu)建式（2）的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)：

該目標(biāo)函數(shù)F（）x是可微的，且其梯度函數(shù)可表示為

另外，F(xiàn)（）x的 Hess矩陣可表示為

其中 ?2Fσ（x）表示Fσ（x）的 Hess矩陣，且其可計算為

這里采用共軛梯度法（Conjugate Gradient, CG）求解式（2）的優(yōu)化問題，并將該算法簡記為?2- S?0-C G。在其第k次迭代過程中， xk更新為

根據(jù)以上分析可將 ?2- S?0-C G算法描述如表1。

表1 ?2 -S?0-CG 重構(gòu)算法的步驟

3 系統(tǒng)模型

考慮一個具有N個子載波的 OFDM 系統(tǒng)，并將添加循環(huán)前綴的發(fā)送信號記為

其中循環(huán)前綴的長度為cpN , （）Nn 表示數(shù)n模N運算，（）g t代表脈沖成形濾波器。則接收端收到的信號可表示為

這里無線信道的多徑數(shù)目為Q，第q條路徑的衰落系數(shù)、時延和多譜勒頻移分別為a[ q], τ~[q]和~f[ q],w（ t）指高斯噪聲。對接收信號以 1 /Ts的速率進行采樣，并將時延和多譜勒頻移分別歸一化為τ[q ] = τ~[q]/Ts和f[ q ] = ~f[ q ]Ts，則離散化的接收信號（不包括循環(huán)前綴）可表示為

s應(yīng) ， τ [q ] ∈ （τmin,τmax）, NcpTs＞ τmax,f[ q]∈ （- fmax/2,fmax/2）。通常g（ t）具有因果性及有限的時長Tg，若記 L -1= τmax+Tg/Ts，則 h [ k; l]= 0 ，（l ＜ 0 或l＞L-1）。從而式（9）可等效為

假設(shè)系統(tǒng)滿足如下兩個條件：（1）循環(huán)前綴長度不小于信道長度，即Ncp≥L; （2）收發(fā)端具有精確的符號同步，則矢量形式的時域接收信號（不包括循環(huán)前綴）可表示為

其中 y =（y[ 0],y[ 1],… ,y[ N - 1 ]）T∈ ?N×1和 x =（x[0],x[ 1 ],… ,x[ N - 1 ]）T∈ ?N×1分別表示接收和發(fā)送的時域信號， X =（X [ 0],X [1 ],… ,X[ N - 1 ]）T∈ ?N×1表示發(fā)送的頻域信號。DFT變換矩陣F的第（k, n）個元素F=（1/） e-j2πnk/N， 信道脈 沖響 應(yīng) 矩陣k,nH∈?N×N的第（i, j）個元素H=h[ i; m od（i - j, N）],i,jw =（w [ 0],w[1 ],… ,w[ N - 1 ]）T∈ ?N×1表示時域噪聲。N×NL維矩陣A的第（i, iL + j ） 個元素Ai,j=x[（i - j）N], （i=0,1,…,N -1, j = 0,1,…,L-1）,其 余 元 素 為 零 。 h =（h[ 0;0],… ,h[ 0;L - 1],h[1;0],… ,h[ N - 1 ;L - 1 ]）T。

記NL×Q維矩陣G的元素G=ej2πf[q]k

l+kL, q?g（（ l- τ[q]）Ts）, a=（a[ 1 ],a [ 2],… , a [Q]）T，則可得

4 信道估計的方法

若分別對時延τ和多譜勒頻移f所在的區(qū)間（0,τmax） 和 （- fmax/2,fmax/2） 進行Iτ和 If次的均勻量化，則在2維有界區(qū)域 （0 ,τmax） ×（- fmax/2,fmax/2）可獲得 I = IfIτ個點 （τiτ,fif） ，其下標(biāo) iτ∈ { 0,1,… ,Iτ- 1 }, if∈{0,1,… ,If-1}。從而在這I個點中存在一個距離（τ[q],f[ q]）最近的點，將其記為），其中（τ[q],f[ q]）是由第q條路徑的真實時延τ[q]和多譜勒頻移f[ q]確定的點，下標(biāo)∈{0,1,…,Iτ-1}∈{0,1,…, If-1}。

令NL × IτIf維矩陣的元素為[ l+ k L, if+ iτIf]=ej2πkfifg（（ l - τ ）T） ，其中 l ∈ {0,1,…,L -1}； 列向

） ，則向量h及接收信號可分別稀疏線性表示為

其中εy和εh表示用2維區(qū)域的 （）代替真實信道參數(shù)（τ[q],f[ q]）所產(chǎn)生的建模誤差，w~包含噪聲和系統(tǒng)稀疏建模所產(chǎn)生的誤差，= A。

從式（15）可獲得如下的最小二乘問題：

其解為

式（15）與壓縮感知的模型 y = Φ x+n具有相同的形式，且a~是稀疏向量，因此可先采用?2- S?0- C G算法求出式（18）的解 a?CS，然后由=估計出信道的脈沖響應(yīng)。

在 2維區(qū)域 （ 0,τmax） ×（- fmax/2,fmax/2） 已正確地檢測到距離（τ[q],f[ q]）最近點的情形，并將該點的序號記為），（即則可從抽取Q列組成一個NL×Q維的子矩陣G~Q，其中被抽取的Q列的序號為+I , q ∈ { 1,2,… , Q }；從而式（15）可簡f化為

通過求解式（20）的最小二乘問題：

5 仿真結(jié)果與分析

圖1給出的是S?0, ?2-S?0-CG和理想OMP 3種重構(gòu)算法的重構(gòu)信噪比與噪聲功率的關(guān)系曲線。在OMP算法里假設(shè)已提前獲知信號的稀疏度K，且由K來控制算法的終止，這是一種理想化的情形，因此稱為理想OMP。這里原始信號x和測量信號y的長度分別為 N =1000和M= 4 00, x的稀疏度K= 1 00，且隨機抽取的K個非零元素值由復(fù)正態(tài)分布 N （ 0 ,1/2）+ jN（ 0 ,1/2）產(chǎn)生，測量矩陣Φ 的每個元 素 值 由N（ 0 ,1）+j N（ 0 ,1） 生 成 。 采 用 定 義 為20lg（||x ||2/||x - x? | |2）的信噪比 （SNR）來衡量重構(gòu)算法的性能，且?2-S?0-CG算法里的參數(shù)r= 0 .5, P = 2 0。在各種不同的噪聲功率情形，從圖1可看出?2-S?0-CG算法重構(gòu)信噪比優(yōu)于S?0近10 dB，且略優(yōu)于理想OMP。?2-S?0-CG不同于 S ?0之處是其目標(biāo)函數(shù)里包含了誤差容允項|| Φ x - y，從而使重構(gòu)出的x? 滿足 Φ x? 與y之間存在一定的誤差，更符合噪聲環(huán)境里的觀測模型y= Φ x+n。因此，相對于S?0而言，?2-S?0-CG抗噪聲干擾的重構(gòu)能力更強。

在 Q =5, L =2和fmax= 0 .05的場景，且量化點數(shù) Iτ= 1 00和 If= 3 0，圖2和圖3分別給出了不同信道估計方法的MSE和BER與信噪比的關(guān)系曲線。對于時頻雙選擇性慢衰落信道的情形，從圖 2和圖3可看出：隨著信噪比的增大，采用壓縮感知技術(shù)的信道估計獲得的 MSE和 BER會逐漸地減?。磺倚旁氡葍H為9 dB時，采用?2-S?0-CG的信道估計方法也能獲得低于-20 dB的MSE和0.1的BER。這表明文中對多徑信道的時延和多普勒頻移構(gòu)成的時頻2維有界區(qū)域進行量化，并將OFDM系統(tǒng)信道估計問題建模為壓縮感知理論中的稀疏信號重構(gòu)的方法是可行和有效的。另外在相同的信噪比，?2- S?0- CG信道估計方法獲得的MSE和BER均優(yōu)于采用 S ?0和理想 OMP的信道估計方法，且其MSE僅低于理想LS方法的MSE 2 dB左右。由于噪聲的干擾和用2維區(qū)域的（τiτ,fif）代替真實信道參數(shù)（τ[q],f[ q]）引入了誤差，因而，從式（15）可看出接收信號y與之間存在誤差w~。 ?2-S?0- CG算法在 S ?0算法的目標(biāo)函數(shù)里添加了一個誤差容許項，與式（15）的實際情況更匹配，因此取得了優(yōu)于S?0算法的估計效果。

圖1 3種重構(gòu)算法的性能比較圖

圖2 信道估計的MSE與SNR關(guān)系

圖3 信道估計的BER與SNR關(guān)系

文中提出的壓縮信道感知方法是尋求以距離真實信道參數(shù)最近的量化點來近似表示信道的時頻參數(shù)，因此在理論上隨著量化點數(shù)的增加，該近似表示誤差應(yīng)該逐漸降低，從而信道估計的準(zhǔn)確度也會相應(yīng)地得到提高。在 Q = 5 , L = 4 和 fmax= 0 .2的場景，圖4給出了?2-S?0-CG信道估計方法在If= 2 0和不同Iτ量化點數(shù)時的MSE與SNR關(guān)系曲線。從該圖可觀察到在相同的信噪比，信道估計的性能隨著量化點數(shù)的逐漸增加而逐漸獲得提升；這是由于在固定的時頻2維有界區(qū)域，量化點數(shù)越多，真實信道參數(shù)與最臨近量化點之間的距離就越小，從而近似誤差就會隨著量化點數(shù)的增多而減小。

圖4 不同量化點數(shù)的壓縮信道感知MSE與SNR關(guān)系

6 結(jié)束語

本文圍繞 OFDM 系統(tǒng)雙選擇性慢衰落信道估計問題，提出了一種采用壓縮感知技術(shù)的信道估計方法。為了高概率地重構(gòu)壓縮感知框架里有噪聲干擾的稀疏信號，這里首先建立了一個無約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)（20S-??），并采用共軛梯度法求解該優(yōu)化問題。接著通過對多徑信道的時延和多普勒頻移參數(shù)構(gòu)成的時頻2維有界區(qū)域進行量化，將OFDM時頻雙選擇性慢衰落信道估計問題建模為壓縮感知理論中的稀疏信號重構(gòu)問題。最后通過仿真發(fā)現(xiàn)，采用?2- S?0- C G重構(gòu)算法的信道估計方法在估計性能方面優(yōu)于采用 S ?0的信道估計方法，且其BER性能接近于理想最小二乘法的性能。

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