李強(qiáng)+陳志彬

摘要：對(duì)工科高校線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行了分析，指出了線性代數(shù)教學(xué)中存在的主要問(wèn)題，并提出了提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。

關(guān)鍵詞：工科;線性代數(shù);教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.3 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）20-0132-02

線性代數(shù)是一門(mén)具有很強(qiáng)的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性的數(shù)學(xué)公共課。它與高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一起構(gòu)成了工科院校的數(shù)學(xué)公共課。它不但廣泛應(yīng)用于概率統(tǒng)計(jì)、空間解析幾何、微分方程和計(jì)算方法等數(shù)學(xué)分支，而且在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。由于線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容多、知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密、技巧性強(qiáng)、計(jì)算和證明靈活等特點(diǎn)，因此學(xué)生普遍感到難以掌握。

一、工科線性代數(shù)課程教學(xué)中普遍存在的問(wèn)題

第一，理論證明多，應(yīng)用實(shí)例少而陳舊。理論越來(lái)越抽象，理論與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合少。線性代數(shù)成了一門(mén)學(xué)生感到抽象、冗繁而乏味的課程，許多學(xué)生感受不到這門(mén)課程的重要性和應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于工科學(xué)生而言，他們更需要的是能應(yīng)用線性代數(shù)理論，指導(dǎo)完成實(shí)際的計(jì)算，而不是十分煩瑣的理論推導(dǎo)和證明過(guò)程。即使有的少量例題也是反映的二戰(zhàn)結(jié)束以前的例子，對(duì)于二戰(zhàn)結(jié)束以后，特別是近二十年的實(shí)例幾乎沒(méi)有。很多學(xué)生學(xué)完課程后，只會(huì)推導(dǎo)一些課本上的公式或進(jìn)行理論計(jì)算，對(duì)于有真實(shí)數(shù)據(jù)的實(shí)例就不會(huì)處理了。

第二，重視代數(shù)推導(dǎo)，忽視幾何意義。形象或直觀和抽象本來(lái)是一切科學(xué)的兩面，只是近年來(lái)過(guò)分強(qiáng)調(diào)了抽象思維能力的訓(xùn)練而忽視了幾何意義的解釋。特別對(duì)于低階的線性代數(shù)問(wèn)題，缺少圖形幫助，就無(wú)法展示幾何意義，這對(duì)于理論和概念理解是非常不利的。

第三，重視手工計(jì)算，忽視計(jì)算機(jī)運(yùn)算。計(jì)算能力是工科大學(xué)生必須具有的一種基本能力。數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“如果我們只強(qiáng)調(diào)用紙筆的基礎(chǔ)訓(xùn)練，忽視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用，也許會(huì)和清末時(shí)代主張用‘武術(shù)功夫抵擋‘洋槍洋炮那樣，最終必然失敗，這一點(diǎn)我們不可掉以輕心。”

事實(shí)上，目前的線性代數(shù)教學(xué)已不能滿足工科后續(xù)課程的要求，按所教的方法在后續(xù)課中是無(wú)法用來(lái)解高階、復(fù)數(shù)的矩陣題目;后續(xù)課程無(wú)法用所學(xué)線性代數(shù)解題;線性代數(shù)教學(xué)普遍不用計(jì)算機(jī)解題，不聯(lián)系應(yīng)用，不符合課程現(xiàn)代化的要求。

第四，教學(xué)內(nèi)容多，授課課時(shí)少。線性代數(shù)課程的內(nèi)容一般包括線性方程組、矩陣、行列式、向量空間與線性空間、相似矩陣和二次型。在每一個(gè)章節(jié)都有大量的定義和定理需要講解，同時(shí)還涉及冗繁的公式計(jì)算。部分教學(xué)內(nèi)容不能得到詳細(xì)的講解，教學(xué)效果受到較大的影響。

二、提高工科線性代數(shù)課程教學(xué)的有效途徑

第一，建立新的課程體系。線性代數(shù)課程不僅僅是讓學(xué)生對(duì)本門(mén)課程中的基本概念、基本理論、基本方法技巧的學(xué)習(xí)和掌握以及應(yīng)用能力培養(yǎng)的一門(mén)課程，而且更重要的是，從思維方法、從大學(xué)生的素質(zhì)教育的高度、從終生教育的角度，線性代數(shù)是一門(mén)培育人才的學(xué)科，它不僅對(duì)學(xué)生的各門(mén)后繼課有滲透作用，而且對(duì)學(xué)生終生教育都有深遠(yuǎn)的意義。

必須對(duì)線性代數(shù)現(xiàn)有課程體系整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化整合，建立一種反映時(shí)代要求的課程體系，使其更加適合不同專(zhuān)業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)，注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)知識(shí)解決專(zhuān)業(yè)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的能力。

要建立以“線性方程組為核心和矩陣為主要工具，突出幾何意義，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”的體系結(jié)構(gòu)，揭示各知識(shí)點(diǎn)之間的有機(jī)聯(lián)系，遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

線性代數(shù)是圍繞求解線性方程組而發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科，主要內(nèi)容都是圍繞其展開(kāi)。向量、矩陣、行列式、特征值、向量空間和線性空間都以線性方程組為背景引入。

以矩陣為主要工具來(lái)處理線性代數(shù)中的各種問(wèn)題。例如，線性方程組可以用一個(gè)逆矩陣來(lái)求解;線性空間中的線性變換可以用一個(gè)矩陣來(lái)表示;內(nèi)積可用其度量矩陣來(lái)表示;正交變換可用正交矩陣表示;對(duì)稱(chēng)變換可用對(duì)稱(chēng)矩陣表示;等等。大部分線性代數(shù)的問(wèn)題都可以利用矩陣這個(gè)工具來(lái)解決。

解析幾何是線性代數(shù)的幾何背景。拉格朗日就曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：如果代數(shù)與幾何各自分開(kāi)發(fā)展，那它的進(jìn)步十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限，但若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，就會(huì)相互加強(qiáng)，并能快速地向著完善化的方向前進(jìn)。在線性代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)突出代數(shù)理論的幾何意義。例如，線性方程組有解作為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，在三維幾何上可解釋為幾個(gè)平面有交點(diǎn)，在高維幾何中可解釋為幾個(gè)超平面有交點(diǎn)。

第二，理論與應(yīng)用有機(jī)結(jié)合。工科線性代數(shù)教學(xué)首先應(yīng)當(dāng)滿足工科專(zhuān)業(yè)面向應(yīng)用的要求。1990年，美國(guó)成立的國(guó)家線性代數(shù)課程研究組對(duì)美國(guó)線性代數(shù)課程教學(xué)的五點(diǎn)要求的第一點(diǎn)就是“首先要滿足非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)面向應(yīng)用的需要”。

線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)概念與理論的背景介紹與應(yīng)用的介紹，將大量的實(shí)際案例融入線性代數(shù)教學(xué)中，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，同時(shí)可以引發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的辦法。

例如，在學(xué)習(xí)線性方程組的時(shí)候，可以引入交通流量、電路分析和化學(xué)方程式配平問(wèn)題;在學(xué)習(xí)克萊姆法則時(shí)，可以引入信息編碼實(shí)例;在學(xué)習(xí)正交性時(shí)，可以引入搜索含有關(guān)鍵字文檔的信息檢索實(shí)例。在學(xué)習(xí)特征值時(shí)，可以將特征值看成是與線性變換相關(guān)聯(lián)的自然頻率，同時(shí)可以引入梁的彎曲和航天飛機(jī)的定位問(wèn)題。

第三，緊密結(jié)合數(shù)學(xué)軟件MATLAB。MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，該語(yǔ)言完全適用于線性代數(shù)。在美國(guó)，線性代數(shù)教學(xué)離不開(kāi)計(jì)算機(jī)是美國(guó)工科教育界的共識(shí)。MATLAB也是美國(guó)大學(xué)工科學(xué)生必須掌握的工具。在西安電子科技大學(xué)陳懷琛教授及其團(tuán)隊(duì)進(jìn)行的線性代數(shù)教改試驗(yàn)中，學(xué)習(xí)MATLAB的學(xué)生理論考試成績(jī)高于不學(xué)習(xí)MATLLAB的學(xué)生，并且實(shí)踐結(jié)題能力也要強(qiáng)得多。因此，線性代數(shù)教學(xué)緊密結(jié)合數(shù)學(xué)軟件MATLAB是完全有必要和可能的。

線性代數(shù)每一章講授內(nèi)容都應(yīng)當(dāng)包含基于MATLAB軟件的計(jì)算練習(xí)，這些練習(xí)可以作為課后作業(yè)，也可以作為上機(jī)實(shí)驗(yàn)的一部分。這些練習(xí)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解線性代數(shù)的基本內(nèi)容，掌握線性代數(shù)的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用線性代數(shù)的基本方法。

在利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不可以迷信其計(jì)算結(jié)果。比如，從理論上講，行列式的值非零的充要條件是對(duì)應(yīng)的矩陣是非奇異的。在有的情形下，矩陣是奇異的，由于計(jì)算機(jī)采用的是有限位精度運(yùn)算，可能會(huì)有誤差的存在，那么計(jì)算出的行列式的值不是零。此外，也有可能計(jì)算機(jī)算出行列式的值等于零，但矩陣是奇異的。

在線性代數(shù)教學(xué)中，還應(yīng)當(dāng)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)可視化教學(xué)。MATLAB是一種適用于科學(xué)工程計(jì)算的高級(jí)語(yǔ)言，它不僅在數(shù)據(jù)計(jì)算方面功能強(qiáng)大，在數(shù)據(jù)可視化方面的功能也不可小視。利用MATLAB的繪圖功能把難以理解的抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化成直觀、豐富的圖形，將會(huì)使難度大大降低，收到事半功倍的效果。著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家John Tukey就曾經(jīng)指出：圖形的呈現(xiàn)方式會(huì)讓人們得到許多出乎意料的結(jié)果。事實(shí)上，人類(lèi)對(duì)圖形的理解能力確實(shí)很強(qiáng)，往往能夠從中發(fā)現(xiàn)一些通過(guò)常規(guī)計(jì)算難以發(fā)掘的信息。

例如，在講授特征值問(wèn)題時(shí)，可以利用MATLAB中的eigshow工具，它可以把一個(gè)平面映射到自身的線性算子的作用可視化。該工具可以同時(shí)顯示一個(gè)單位向量x和x在A下的像Ax。在講授利用正交變換實(shí)現(xiàn)二次型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，也可以利用MATLAB的繪圖語(yǔ)句，這樣學(xué)生可以在視覺(jué)上看到，正交變換的實(shí)質(zhì)就是將二次型圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，同時(shí)保持圖形形狀不變。

第四，建立一支既有堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又有必要的工科知識(shí)的師資隊(duì)伍。國(guó)外的一些經(jīng)驗(yàn)值得我們借鑒，美國(guó)大學(xué)的一些線性代數(shù)教學(xué)工作就是由工程系擔(dān)任的。即使是由數(shù)學(xué)系教授承擔(dān)的線性代數(shù)教學(xué)工作，由于數(shù)學(xué)教授從事與工程相關(guān)的科研項(xiàng)目較多，他們的工科知識(shí)也比中國(guó)的同行們強(qiáng)得多。鑒于目前國(guó)內(nèi)的工科線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐，可以考慮由數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)師資和工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)師資共同擔(dān)任工科線性代數(shù)教學(xué)任務(wù)的模式。

三、結(jié)語(yǔ)

工科線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐與探索是一個(gè)長(zhǎng)期而艱巨的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，要不斷提高師資隊(duì)伍素質(zhì)，利用各種工具和方式，把抽象的線性代數(shù)理論和具體工程實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，使得線性代數(shù)的學(xué)習(xí)由枯燥乏味變得趣味盎然，使學(xué)生能夠成為具備一定理論基礎(chǔ)和較強(qiáng)實(shí)踐能力的人才。

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