分塊矩陣廣義逆的表示

杜法鵬1,2

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，江蘇 南京210096;2.徐州工程學(xué)院，江蘇 徐州221018)

摘要：文章采用矩陣分解的方法討論了2×2分塊矩陣M=的{1,2}逆，{1,3}逆，{1,4}逆顯式表示問題，并利用分塊矩陣M的{1,2}逆的表示給出了分塊矩陣M的Moore|Penrose逆的顯式表達式.

關(guān)鍵詞：分塊矩陣，廣義逆， Moore|Penrose 逆

收稿日期：2015-04-22

基金項目：徐州工程學(xué)院培育項目(XKY2014207)

作者簡介：杜法鵬(1974-)，男,江蘇沛縣人，東南大學(xué)博士后，徐州工程學(xué)院副教授,主要從事算子代數(shù)、應(yīng)用泛函分析、算子廣義逆理論研究.

中圖分類號：O151.21文獻標(biāo)志碼：A

文中記Cm×n為m×n階矩陣的全體. 廣義逆理論是應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)分支，它在數(shù)值線性代數(shù)、數(shù)值分析、最優(yōu)化、控制論、微分方程及應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域中有著非常重要的應(yīng)用.奇異方陣是不可逆的,然而在求解矩陣方程時經(jīng)常遇到奇異矩陣,特別是在求解最小二乘解或最小范數(shù)解得時候，就需要廣義逆的概念.

1920年,E.H.Moore將非奇異方陣的逆矩陣推廣到任意矩陣上去，引入了廣義逆的概念. Moore將滿足方程AG=PA，GA=PG的矩陣G∈Cn×m定義為矩陣A∈Cm×n的廣義逆[1].其中,PX表示矩陣X列向量張成子空間上的投影. 1955年,R.Penrose用以下4個方程給出了1個等價定義：

AXA=A， XAX=X， (AX)*=AX， (XA)*=XA，

稱矩陣X為矩陣A的Mooere|Penrose廣義逆(簡稱MP逆),通常記作為A+[2].由于MP逆與最小二乘解有關(guān)，因而得到廣泛的研究.

為了不同的應(yīng)用目的,人們根據(jù)不同的條件,引入不同的廣義逆. 設(shè)A∈Cm×n，X∈Cn×m，考慮以下方程:

(1)AXA=A， (2)XAX=X, (3)(AX)*=AX,

(4)(XA)*=XA, (5)AX=XA， (6)AkXA=Ak,

其中,A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置,k正整數(shù).

定義1[3]記A{i,j,…,k}為滿足以上方程中第{i,j,…,k}個方程的矩陣X∈Cn×m的全體，矩陣X∈A{i,j,…,k}稱為矩陣A的一個{i,j,…,k}逆，記作A{i,j,…,k}.

MP逆和Drazin逆是最重要的兩類廣義逆,也是研究最多的兩類廣義逆. 本文中主要討論MP逆的相關(guān)問題. 我們知道若MP逆存在,則是唯一的, 由[4, 命題3.5.3]知道下列關(guān)系成立：

A?=A*(AA*)+=(A*A)?A*.

下面的引理給出了A-與A?之間的關(guān)系：

引理1[5,6]設(shè)A∈Cm×n，則有

A?=(I-P-P*)A-(I-Q-Q*)

其中，P=A-A，Q=AA-.

分塊矩陣廣義逆的表示問題很多文獻[3,7,8]都研究過.在文獻[7]中R.E.Hartwig借助于Brown|Mccoy引理([7,Lemma 1])在環(huán)上給出了2×2分塊矩陣廣義逆的表示.在文獻[8]中，陳永林利用矩陣方程的解給出了2×2分塊矩陣{1,2}的表示.在本文中，再次考慮2×2分塊矩陣廣義逆的表示問題，利用矩陣分解的給出2×2分塊矩陣廣義逆的顯式表達式.

1　預(yù)備知識

引理3[4,6,10]設(shè)S∈Cn×n為冪等矩陣,則I-S-S*可逆.記O(S)=S(S+S*-I)-1,則O(S)2=O(S)=O(S)*(即O(S)為投影).

引理4[7]設(shè)A∈Cm×n,則

(1)X為矩陣A的{1,3}逆當(dāng)且僅當(dāng)A*AX=A*;

(2)X為矩陣A的{1,4}逆當(dāng)且僅當(dāng)XAA*=A*.

引理5設(shè)A∈Cm×n,則A-AA-[AA-+(AA-)*-I]-1∈A{1,3}.

證明：記X=A-PR(A)，易知AXA=A及AX=PR(A)，即X∈A-{1,3}，由引理3知PR(A)=O(AA-)=AA-[AA-+(AA-)*-I]-1，因而結(jié)論成立.

引理6設(shè)A∈Cm×n,則[A-A+(A-A)*-I]-1A-AA-∈A{1,4}.

證明：由引理3知PN(A)⊥=I-O(I-A-A)=[A-A+(A-A)*-I]-1A-A，又PN(A)⊥A-∈A{1,4}，故結(jié)論成立.

注：在引理5及引理6中分別將A-換成A+,則A+[AA++(AA+)*-I]-1∈A{1,2,3}以及[A+A+(A+A)*-I]-1A+∈A{1,2,4}.

引理7設(shè)A∈Cm×n，則矩陣A的任何一個{1,3}逆X都可以表示成

X=A{1,3}+(I-A{1,3}A)Z,

其中，A{1,3}為任意固定的一個{1,3}逆, Z∈Cn×m為任意矩陣.

證明：由引理4(1)知

X=(A*A)-A*+Z-(A*A)-A*AZ,

又(A*A)-A*∈A{1,3}，故結(jié)論可得.

引理8設(shè)A∈Cm×n，則矩陣A的任何一個{1,4}逆X都可以表示成

X=A{1,4}+(I-AA{1,4})Z，

其中，A{1,4}為任意固定的一個{1,4}逆, Z∈Cn×m為任意矩陣.

證明：由引理4(2)可得.

引理9設(shè)X,Y∈Cm×n且X+Y=YX+=0， 則G=X++(I-X+X)Y+(I-XX+)為X+Y的一個{1,2}逆，此時，

(X+Y)G=XX++YY+(I-XX+)， G(X+Y)=X+X+(I-X+X)Y+Y.

證明：由X+Y=YX+=0知Y(I-X+X)=Y=(I-XX+)Y,簡單計算可知

(X+Y)G=XX++YY+(I-XX+)， G(X+Y)=X+X+(I-X+X)Y+Y

且(X+Y)G(X+Y)=X+Y，G(X+Y)G=G，即結(jié)論成立.

2　主要結(jié)論

設(shè)

本部分主要來討論分塊矩陣M的{1,2}逆,{1,3}逆,{1,4}逆以及MP逆的顯式表示問題.

記

EA=I-AA+,FA=I-A+A,Z=D-CA+B，U=EAB,V=CFA,S=EVZFU.

注意到：

從而，

(1)

此時，

且

且

再由引理9 及引理10得

利用公式(1),得出2×2分塊矩陣M的{1,2}逆的顯式表達式:

其中

A+BFUS+EVCA+；

此時，

證明：由公式(1)及引理11得

其中：

A+BFUS+EVCA+；

且有

注意到,在定理1中M+的表示與子塊的{1,2}逆的選擇有關(guān). 接下來，考慮分塊矩陣M的{1,3}逆,{1,4}逆以及MP逆的表示問題. 為計算方便，在下文中選取子塊的MP逆,重新記：

EA=I-AA+,FA=I-A+A,Z=D-CA?B，U=EAB,V=CFA,S=EVZFU.

于是有下列各式成立：

U?EA=U?, U?A=0,A?U=0, US?=0,S?EV=S?, V?S=0,

FAV?=V?, AV?=0,VA?=0,S?V=0,FUS?=S?, SU?=0,

以及

EUEA=I-AA?,-UU?, ESEV=I-VV?-SS?,

FAFV=I-A?A-V?V,FUFS=I-U?U-S?S,

(2AA?+2UU?-I)-1=2AA?+2UU?-I, (2VV?+2SS?-I)-1=2VV?+2SS?-I,

(2A?A+2V?V-I)-1=2A?A+2V?V-I,(2U?U+2S?S-I)-1=2U?U+2S?S-I,

(2VV?+2SS?-I)ESEV=-ESEV,FUFS(2U?U+2S?S-I)=-FUFS.

結(jié)合定理1可知此時

(2)

其中：

且有

記

Δ1=(2VV?+2SS?-I)-ESEV(CA?+ZU?)(2AA?+2UU?-I)-1[ESEV(CA?+ZU?)]*

=(2VV?+2SS?-I){I+ESEV(CA?+ZU?)[ESEV(CA?+ZU?)]*}，

ξ1=I+ESEV(CA?+ZU?)[ESEV(CA?+ZU?)]*，

則

記

則由引理2可得：

(3)

類似地, 記

ξ2=I+[(A?B+V?Z)FUFS]*(A?B+V?Z)FUFS,

則

(4)

結(jié)合引理5,引理6, 得到如下結(jié)論：

(1)M有一個{1,3}逆為

(2)M有一個{1,4}逆為

其中

證明：(1)由引理5及公式2,公式3可得; (2)由引理6及 公式2, 公式4可得.

其中

證明： 由引理1及公式(2),公式(3),公式(4)可得.

參考文獻：

[1] Moore E H.On thereciprocal of the general algebra matrix (Abstract)[J].Bull Amer Math Soc,1920,26:394|395.

[2] Penrose R.A generalized inverse for matrices[J].Cambridge University Press,1955,51(3):406|413.

[3] Ben|Israel A,Greville T N E.Generalized inverses: theory and applications[M].Springer Science & Business Media,2003.

[4] Xue Y.Stable perturbations of operators and related topics[M].Singapore:World Scientific,2012.

[5] Du F,Xue Y.The reverse order law for Moore|Penrose inverse of closed operators[J].數(shù)學(xué)季刊.2013,28(1):139|146

[6] Chen G,Xue Y.The expression of the generalized inverse of the perturbed operator under Type I perturbation in Hilbert spaces[J].Linear algebra and its applications,1998,285(1):1|6.

[7] Hartwig R E.Block generalized inverses[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1976,61(3):197|251.

[8] 陳永林.廣義逆矩陣的理論與方法[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2005.

[9] Horn R A,Johnson C R.Matrix analysis[M].Cambridge University Press,2012.

[10] Du F，Xue Y,The expression of the Moore|Penrose inverse of A|XY*[J].華東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2010(5):33|37.

The Expression for the Generalized Inverse of Block Matrix

DU Fapeng1,2

(1.Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 210096, China;

2.Collage of mathematics & Physical Sciences, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221008, China)

Abstract:By decomposition,this paper presented the explicit expressions for the {1,2} inverse, {1,3} inverse and {1,4} inverse of block matrix,respectively.Using the expression of {1,2} inverse,the expression for the Moore|Penrose inverse of was got.

Key words:blocking matrix; generalized inverse; Moore|Penrose inverse

(編輯崔思榮)